Elaborazione numerica dei segnali/Progetto di filtri FIR

Rotazione di fase lineare

Un filtro FIR non causale può essere reso causale semplicemente ritardandone la risposta all'impulso $h\left(n\right)$ (che è a supporto finito) in modo che tutti i campioni siano a destra dell'asse delle ordinate ($n>0$). Il ritardo temporale di $k$ campioni conduce ad una nuova sequenza $h\left(n-k\right)$ che introduce in frequenza solo una rotazione di fase lineare:

${\mathcal {F}}\left\{h\left(n-k\right)\right\}=H\left(e^{j\omega }\right)e^{-j\omega k}$

senza variare il modulo della risposta in frequenza, e di conseguenza senza variare la maschera del filtro $\left|H_{a}\left(j\Omega \right)\right|$.

La rotazione di fase lineare introdotta introduce un ritardo costante sulla sequenza $x\left(n\right)$ di ingresso:

$y\left(n\right)=x\left(n\right)*h\left(n-k\right)\Rightarrow Y\left(e^{j\omega }\right)=X\left(e^{j\omega }\right)\cdot \left[H\left(e^{j\omega }\right)e^{-j\omega k}\right]=\left[X\left(e^{j\omega }\right)e^{-j\omega k}\right]\cdot H\left(e^{j\omega }\right)\Rightarrow y\left(n\right)=x\left(n-k\right)*h\left(n\right)$

Nel caso la risposta all'impulso $h\left(n\right)$ abbia simmetria pari o dispari rispetto all'asse delle ordinate, con conseguente simmetria pari della risposta in frequenza $H\left(e^{j\omega }\right)$, allora basta determinare il nuovo asse di simmetria della risposta all'impulso traslata $h\left(n-k\right)$.

Tecniche a finestra

La risposta all'impulso $h\left(n\right)$, ottenuta mediante IDTFT della risposta in frequenza $H\left(e^{j2\pi f}\right)$, oltre a non essere causale è solitamente di durata infinita → affinché il filtro sia fisicamente realizzabile, la risposta all'impulso deve essere troncata tramite una finestra.

Finestra rettangolare

Alla risposta in frequenza $H_{\text{id}}\left(e^{j2\pi f}\right)$ del filtro passa-basso ideale (provvista di rotazione di fase lineare):

$H_{\text{id}}\left(e^{j2\pi f}\right)={\begin{cases}e^{-j2\pi {\frac {M-1}{2}}f}&\left|f\right|\leq f_{c}\\0&\left|f\right|>f_{c}\end{cases}}$

corrisponde una risposta all'impulso $h_{\text{id}}$ a supporto infinito (traslata):

$h_{\text{id}}=2f_{c}{\text{sinc}}\left[2f_{c}\left(n-{\frac {M-1}{2}}\right)\right]$

La risposta all'impulso $h_{\text{id}}$ viene troncata a un numero finito $M$ di campioni con la moltiplicazione per la porta $p_{M}\left(n\right)$ (finestra rettangolare):

$h\left(n\right)=h_{\text{id}}\left(n\right)\cdot p_{M}\left(n\right)={\begin{cases}h_{\text{id}}&n=0,\ldots ,M-1\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$

Una troncatura così brutale però si manifesta in frequenza con la comparsa di oscillazioni (effetto di Gibbs):

$H\left(e^{j2\pi f}\right)=H_{\text{id}}\left(e^{j2\pi f}\right)*P_{M}\left(e^{j2\pi f}\right)$

dove:

$P_{M}\left(e^{j2\pi f}\right)={\frac {1-e^{-j2\pi fM}}{1-e^{-j2\pi f}}}=e^{-j2\pi f{\frac {M-1}{2}}}{\frac {\sin {\left(M\pi f\right)}}{\sin {\left(\pi f\right)}}}$

Osservazioni

• L'ampiezza massima delle oscillazioni in banda attenuata coincide con l'ampiezza massima delle oscillazioni in banda passante.
• All'aumentare di $M$ aumenta la frequenza di ripetizione delle oscillazioni, non la loro ampiezza massima → la riduzione dell'oscillazione massima nella risposta in frequenza può essere ottenuta solamente cambiando il tipo di finestra di troncamento, non la sua lunghezza.

Finestra di Bartlett

La finestra di Bartlett riduce leggermente le oscillazioni:

$p\left(n\right)={\begin{cases}{\frac {2n}{M-1}}&0\leq n\leq {\frac {M-1}{2}}\\2-{\frac {2n}{M-1}}&{\frac {M-1}{2}}\leq n\leq M-1\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$

Finestra di Hanning

La finestra di Hanning è una funzione triangolo, e riduce ulteriormente le oscillazioni:

$p\left(n\right)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left[1-\cos {\left({\frac {2\pi n}{M-1}}\right)}\right]&0\leq n\leq M-1\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$

Finestra di Hamming

La finestra di Hamming è una finestra di Hanning più attenuata verso gli estremi del supporto, e riduce ulteriormente le oscillazioni:

$p\left(n\right)={\begin{cases}0,54-0,46\cos {\left({\frac {2\pi n}{M-1}}\right)}&0\leq n\leq M-1\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$

Finestra di Blackman

La finestra di Blackman è una finestra di Hamming più attenuata verso gli estremi del supporto, e riduce ulteriormente le oscillazioni:

$p\left(n\right)={\begin{cases}0,42-{\frac {1}{2}}\cos {\left({\frac {2\pi n}{M-1}}\right)}+0,08\cos {\left({\frac {4\pi n}{M-1}}\right)}&0\leq n\leq M-1\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$

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Un aumento della minima attenuazione in banda attenuata $A_{s}$ si paga però con l'aumento della banda di transizione $B_{T}$:

Finestra	Banda di transizione $B_{T}$	Minima attenuazione in banda attenuata $A_{s}$
Rettangolare	${\frac {1,8\pi }{M}}$	$21\;{\text{dB}}$
Bartlett	${\frac {6,1\pi }{M}}$	$25\;{\text{dB}}$
Hanning	${\frac {6,2\pi }{M}}$	$44\;{\text{dB}}$
Hamming	${\frac {6,6\pi }{M}}$	$53\;{\text{dB}}$
Blackman	${\frac {11\pi }{M}}$	$74\;{\text{dB}}$