Elaborazione numerica dei segnali/Segnali a tempo discreto

L'elaborazione numerica dei segnali (ENS) è l'applicazione di un algoritmo ad una serie di numeri che rappresenta un segnale.

Un segnale è a tempo discreto se è definito rispetto a una variabile indipendente che assume solo valori interi (). Per semplicità si parla di come la sequenza . Il segnale è detto numerico o digitale se assume solo ampiezze discrete.

ClassificazioneModifica

Durata di una sequenzaModifica

Una sequenza può avere:

  • durata finita: la sequenza è identicamente nulla all'esterno di un intervallo finito di tempo  ;
  • durata infinita: il supporto temporale può essere bilatero ( ) o monolatero (  o  ).

CausalitàModifica

Una sequenza è:

  • casuale se è identicamente nulla per valori di n minori di 0;
  • anticasuale se è identicamente nulla per valori di n maggiori o uguali di 0.

ParitàModifica

Una sequenza   reale è detta:

  • pari se  ;
  • dispari se  .

Una sequenza   complessa è detta:

  • coniugata simmetrica se  ;
  • coniugata antisimmetrica se  .

Una qualunque sequenza complessa   può essere scritta come somma di una sequenza coniugata simmetrica   e di una sequenza coniugata antisimmetrica  :

 

dove:

 

PeriodicitàModifica

Una sequenza   è periodica se è possibile trovare un intervallo di tempo   per cui vale la relazione:

 

Il periodo è il più piccolo valore intero positivo di   per cui la sequenza è periodica.

Sequenze limitate in ampiezzaModifica

Una sequenza   è limitata se per qualunque istante di tempo discreto   assume valori contenuti entro un intervallo finito   (costante reale finita positiva):

 

Sequenze sommabiliModifica

Una sequenza   è assolutamente sommabile se:

 

Una sequenza   è quadraticamente sommabile se:

 

Sequenze elementariModifica

Sequenza gradino unitarioModifica

 

Delta di Kronecker (impulso unitario)Modifica

 

Qualsiasi segnale   può essere espresso come somma di impulsi:

 
Relazione tra delta numerica e gradino unitario
 
 

Sequenza rampaModifica

 

Sequenza sincModifica

 

Interseca l'asse orizzontale in  ,  , ecc.

Se  , la sequenza   coincide con la delta di Kronecker.

Sequenza triangoloModifica

 

Sequenza esponenzialeModifica

 

Se   è complesso:

 

Sinusoidi a tempo discretoModifica

Proprietà 1

Sinusoidi che differiscono per un numero intero di angoli giro sono indistinguibili nel dominio del tempo discreto:

 
Proprietà 2

La frequenza delle oscillazioni di una sinusoide a tempo discreto:

  •  : aumenta all'aumentare di  ;
  •  : diminuisce all'aumentare di  .
Proprietà 3

Una sinusoide è periodica se il prodotto   è un numero intero:

 

Una sinusoide discreta perciò non necessariamente è periodica di periodo  . Se   non è un numero razionale, la sinusoide non è periodica (  dev'essere intero).

Operazioni elementariModifica

Somma e prodottoModifica

Le operazioni di somma e prodotto si applicano tra coppie di campioni osservati nei medesimi istanti di tempo.

Traslazione e ribaltamentoModifica

Traslazione

La traslazione consiste nel campio di variabile  , dove   è pari al numero di campioni per cui il segnale è ritardato o anticipato:

 
Ribaltamento

Il ribaltamento consiste nel cambio di variabile   e realizza l'inversione dell'asse dei tempi:

 

L'operazione di traslazione ha la precedenza su quella di ribaltamento:

 

Scalamento temporaleModifica

Sottocampionamento

L'operazione di sottocampionamento corrisponde a costruire la sequenza   prendendo un campione ogni   della sequenza  :

 

Corrisponde all'operazione di compressione nel dominio del tempo continuo. La funzione Matlab è downsample.

Sovracampionamento

L'operazione di sovracampionamento corrisponde a costruire la sequenza   inserendo   zeri tra ogni campione della sequenza  :

 

Corrisponde all'operazione di dilatazione nel dominio del tempo continuo. La funzione Matlab è upsample.

Convoluzione lineareModifica

La convoluzione lineare tra due sequenze discrete   e   è definita:

 
Proprietà

Il supporto della convoluzione è pari alla somma dei singoli supporti meno 1.

  • commutativa:
     
  • distributiva:
     
  • associativa:
     

La funzione Matlab è conv.

Energia e potenza mediaModifica

EnergiaModifica

 

Per sequenze a energia finita, l'energia non dipende da traslazioni temporali di  :

 

L'energia di un segnale analogico   è approssimabile alla sua sequenza   campionata a intervalli   molto piccoli:

 

Potenza mediaModifica

Per sequenze a energia infinita è possibile definire la potenza media:

 
  • Le sequenze a energia finita hanno potenza media nulla.
  • Le sequenze a potenza media finita (e non nulla) hanno energia infinita.
Esempio

La sequenza gradino unitario   ha energia infinita ma potenza media finita:

 
 

La potenza media di un segnale periodico è pari alla potenza media calcolata in un suo periodo. La potenza media   di un segnale periodico dipende dall'energia del segnale all'interno di un singolo periodo:

 

La potenza di un segnale analogico   è approssimabile alla sua sequenza   campionata a intervalli   molto piccoli:

 

Inoltre, se il segnale è periodico:

 

Funzioni di correlazioneModifica

Mutua correlazione Autocorrelazione
   
Sequenze a potenza finita    
Sequenze periodiche    
Proprietà se la sequenza è reale:
 
 

Esempio: segnale radarModifica

La funzione di mutua correlazione può essere usata per ricavare informazioni sul grado di similarità tra due sequenze a energia finita.

L'eco   di un segnale radar   è del tipo:

 
  •   è l'attenuazione del segnale;
  •   è il ritardo del segnale;
  •   è il rumore.

La funzione di mutua correlazione   ha un picco in   → sapendo il ritardo è possibile calcolare la distanza dell'oggetto:  .