Elaborazione numerica dei segnali/Sistemi LTI a tempo discreto

Classificazione dei sistemi a tempo discretoModifica

Un sistema per i segnali a tempo discreto è definito tramite la sua relazione ingresso-uscita:

 

Sistemi lineariModifica

Un sistema è lineare se soddisfa il principio di sovrapposizione degli effetti:

 

Sistemi tempo-invarianti o stazionariModifica

Un sistema è tempo-invariante (o stazionario) se un ritardo/anticipo   sull'ingresso   si traduce in un ritardo/anticipo uguale sull'uscita   senza che cambi la forma del segnale di uscita  :

 

Sistemi passiviModifica

Un sistema è passivo se a un ingresso   con energia finita   corrisponde un segnale   con energia   minore o uguale all'energia dell'ingresso:

 

Il sistema è senza perdite se la relazione vale con il segno di uguaglianza: tutta l'energia dell'ingresso   viene conservata:

 

Sistemi causaliModifica

Un sistema è causale se l'uscita   non dipende dai valori futuri dell'ingresso  , ma solo da quelli passati e da quello corrente.

Il comportamento di sistemi LTI causali a tempo discreto può essere descritto da un'equazione alle differenze finite e coefficienti costanti, che esprime l'uscita   all'istante corrente come combinazione lineare degli ingressi agli istanti passati e a quello corrente e delle uscite agli istanti passati (di solito  ):

 
  • Il sistema è ricorsivo se l'uscita   dipende da almeno un valore dell'uscita in istanti precedenti.
  • Il sistema è non ricorsivo se tutti i coefficienti   sono nulli.

L'equazione alle differenze di un sistema causale permette di trovare i valori di   per  , noti i valori di   e le condizioni iniziali  :

 

Risposta forzataModifica

  è detta risposta allo stato nullo, e rappresenta l'evoluzione del sistema con condizioni iniziali nulle, tenendo conto solo degli ingressi:

 

Trascurare le condizioni iniziali significa studiare il comportamento del sistema a regime (sistema scarico).

Risposta liberaModifica

  è detta risposta all'ingresso nullo, e rappresenta l'evoluzione del sistema con ingresso nullo, ma tenendo conto delle condizioni iniziali:

 

Per sistemi LTI stabili,   è anche detta risposta al transitorio perché siccome l'ingresso è nullo tende a smorzarsi nel tempo fino ad annullarsi.

Sistemi senza memoriaModifica

Un sistema è senza memoria se l'uscita   dipende solo dal valore corrente dell'ingresso  .

Il sistema non ricorsivo:

 

ha memoria pari a  , perché l'uscita   dipende anche da   valori passati dell'ingresso  .

Sistemi LTIModifica

Risposta all'impulsoModifica

I sistemi LTI causali scarichi sono caratterizzati da una risposta all'impulso  , che è la risposta del sistema quando in ingresso è presente la sequenza  :

 

La risposta all'impulso   lega l'ingresso   e l'uscita   del sistema:

 

Tutti i sistemi LTI possono essere quindi espressi in forma non ricorsiva, dove  .

L'uscita del sistema dipende dai contributi causale ( ) e anticausale ( ):

 

Siccome il sistema è causale, la parte anticausale è nulla:

 

Risposta in frequenzaModifica

Ipotesi
  •   e   sono trasformabili mediante DTFT;
  • si trascura la risposta al transitorio  .

La DTFT del segnale in uscita   è pari al prodotto delle DTFT del segnale in ingresso   e della risposta all'impulso   del sistema LTI:

 

La DTFT   della risposta all'impulso   è detta risposta in frequenza del sistema LTI:

 
Interconnessione di sistemi LTI
Serie    
 
Parallelo    
 
Con reazione    
 

Risposta a esponenziali complessiModifica

Gli esponenziali complessi sono delle autofunzioni dei sistemi LTI, perché a un ingresso a esponenziale complesso corrisponde ancora un'uscita a esponenziale complesso:

 

Se la risposta all'impulso   è reale, e la sinusoide   è reale:

 

Sistemi IIRModifica

L'uscita   di un sistema IIR dipende non solo dal segnale in ingresso  , ma anche dai campioni del segnale in uscita  :

 

La risposta in frequenza   del sistema si può scrivere:

 
Sistemi IIR puramente ricorsiviModifica

Un sistema IIR è puramente ricorsivo se:

 

La risposta all'impulso   di un sistema IIR puramente ricorsivo è a supporto illimitato.

Esempio: risposta all'impulso di un sistema IIR puramente ricorsivo
 

Sistemi FIRModifica

L'uscita   di un sistema FIR dipende solo dal segnale d'ingresso  :

 
 

La risposta all'impulso   di un sistema FIR è a supporto finito  :

 

StabilitàModifica

Un sistema è stabile secondo il criterio BIBO (o BIBO-stabile) se e solo se ad ogni ingresso   di ampiezza limitata corrisponde un'uscita   di ampiezza limitata:

 

La risposta al transitorio di un sistema BIBO-stabile tende a smorzarsi al crescere di  .

Teorema

Un sistema LTI è BIBO-stabile se e solo se la sua risposta all'impulso   è sommabile in modulo:

 

Realizzabilità fisicaModifica

Un sistema LTI è fisicamente realizzabile se l'equazione alle differenze è causale e i coefficienti   e   della sua equazione alle differenze sono tutti reali:

 

Un sistema è fisicamente realizzabile se la sua risposta all'impulso   è reale e causale:

 

La risposta in frequenza   di un sistema fisicamente realizzabile è unilatera:

 

ed ha le seguenti relazioni di parità:

  • la parte reale e il modulo sono pari;
  • la parte immaginaria e la fase sono dispari.

Esempio: filtro passa-bassoModifica

Si vogliono confrontare tre sistemi LTI che hanno risposte all'impulso  ,   e  :

 

dove:

 
 
 
 
 
 
 

La risposta in frequenza   è pari a:

 
 
 

Si introduce come ingresso   una porta:

 
 
 
 
 

Il filtro passa-basso smorza le alte frequenze. L'uscita   appare più simile all'ingresso   con il filtro  :

 
 
 
 
 
 
 
 

L'ingresso   risulta quindi meno smorzato con il filtro  :

 
 
 
 

Questo sistema LTI è di tipo passivo perché l'energia dell'uscita   è sempre minore dell'energia dell'ingresso  .

DistorsioneModifica

  • Se il modulo della risposta in frequenza   non è costante, il sistema introduce una distorsione in ampiezza.
  • Se la fase della risposta in frequenza   non è lineare in  , il sistema introduce una distorsione di fase.

Si definisce ritardo di gruppo   il ritardo medio subito dalle componenti armoniche del segnale in ingresso  :

 

Sistema LTI non distorcenteModifica

Si vuole realizzare un amplificatore non distorcente:

 

dove:

  •   è il tempo impiegato dal segnale in ingresso   per attraversare il sistema (ritardo);
  •   è l'amplificazione.

La sua risposta in frequenza  :

 

ha:

  • modulo   costante;
  • rotazione di fase   lineare in  .

La sua risposta all'impulso  :

 

è una delta di ampiezza   centrata in  .

Se il ritardo di gruppo   è costante, cioè le componenti armoniche nel segnale di ingresso   subiscono lo stesso ritardo costante, allora la fase è lineare e il sistema è non distorcente.

Analisi tramite DFTModifica

L'uscita   di un sistema LTI si può ottenere dalla IDTFT del prodotto tra la DTFT dell'ingresso   e la risposta in frequenza  :

 

dove   e   sono i supporti rispettivamente di   e  .

Se si vuole sostituire la DTFT con la DFT, la IDFT non restituisce lo stesso risultato:

 

perché la convoluzione circolare ha un supporto diverso dalla convoluzione lineare.

Per far sì che il risultato coincida con la convoluzione lineare, occorre procedere all'inserimento di zeri (zero padding) nelle due sequenze   e  , in numero tale da garantire la lunghezza di una convoluzione lineare:

 
 

In questo modo la convoluzione circolare ottenuta dalla IDFT coincide con la convoluzione lineare, e quindi con l'uscita del sistema  :

 

Se il supporto   viene scelto come potenza di 2, si può impiegare la FFT per il calcolo delle 3 DFT, con complessità finale proporzionale a  , invece della complessità dell'ordine di   operazioni per il calcolo della convoluzione nel dominio del tempo.