Teoria dei segnali2/Segnali periodici

Indice del libro

I segnali periodici:

sono un caso particolare dei segnali ciclici:

Trasformata di Fourier di un segnale periodicoModifica

La serie di Fourier derivata per il segnale a supporto finito:

 

quando interpretata su tutto l'asse dei tempi è anche la serie di Fourier del segnale periodico  :

 

da cui si può ottenere la trasformata di Fourier del segnale periodico:

 

dove:

 

e poiché   è il segnale   troncato in  :

 

La trasformata di Fourier del segnale   è quindi una sommatoria dei campioni, presi a multipli di  , della trasformata di Fourier del segnale troncato  :

 

Treno di impulsiModifica

Considerando come segnale periodico il segnale campionatore, o treno di impulsi:

 

secondo la formula appena ricavata la sua trasformata, poiché  , è ancora un treno di impulsi:

 

Siccome per definizione di trasformata di Fourier vale anche:

 

vale anche la seguente uguaglianza:

 

Aumentare il periodo del treno di impulsi nel periodo del tempo corrisponde a diminuire il suo periodo nel dominio della frequenza.

Campionamento nel tempo e periodicizzazione in frequenzaModifica

Moltiplicando un segnale   per un treno di impulsi si ottiene:

  • nel dominio del tempo una sequenza equispaziata di suoi campioni:
     
  • nel dominio della frequenza una trasformata periodica di periodo  :
     

Quindi si ottiene la seguente relazione:

 

Periodicizzazione nel tempo e campionamento in frequenzaModifica

Facendo il prodotto di convoluzione di un segnale   per un treno di impulsi si ottiene:

  • nel dominio del tempo un segnale periodico di periodo pari alla spaziatura degli impulsi:
     
  • nel dominio della frequenza una trasformata campionata con spaziatura  :
     

Quindi si ottiene una relazione parallela alla precedente:

 

Rappresentazioni di un segnale periodicoModifica

Il segnale  :

 

è periodico di periodo   anche quando il segnale   non è a supporto limitato in  , e quindi nella periodicizzazione di   alcune parti si vanno a sovrapporre. La sua trasformata di Fourier vale ancora:

 
 

La seguente rappresentazione di un segnale periodico  :

 

non è univoca, ma possono essere utilizzati tutti i segnali   che:

  • nel dominio del tempo: coincidono con il segnale troncato   all'interno del periodo  :
     
  • nel dominio della frequenza: assumono gli stessi valori della trasformata di Fourier nelle frequenze  , le uniche che contano nel segnale periodico:
     

Esempio: segnale periodico costanteModifica

Il segnale periodico costante   si può rappresentare come sommatoria di due diverse funzioni periodiche:

 

che hanno due differenti supporti (rispettivamente   e  ), ma che nella periodicizzazione (di egual periodo  ) vengono a coincidere.

Nel dominio della frequenza i campioni di   e   coincidono:

 

EsempioModifica

Considerando i segnali  , di supporto  , e  , di supporto  :

 

e campionando le loro trasformate di Fourier:

 

nelle frequenze  , i campioni coincidono: