I segnali periodici:
x ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ x T ( t − n T ) = x ( t + T ) {\displaystyle x\left(t\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }x_{T}\left(t-nT\right)=x\left(t+T\right)} sono un caso particolare dei segnali ciclici :
x c ( t ) = ∫ n 1 n 2 x T ( t − n T ) ≠ x c ( t + T ) {\displaystyle x_{c}\left(t\right)=\int _{n_{1}}^{n_{2}}x_{T}\left(t-nT\right)\neq x_{c}\left(t+T\right)}
Trasformata di Fourier di un segnale periodico
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La serie di Fourier derivata per il segnale a supporto finito:
x T ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ μ n e j 2 π T n t , − T 2 ≤ t ≤ T 2 μ n = 1 T ∫ − T 2 T 2 x T ( t ) e − j 2 π T n t d t {\displaystyle x_{T}\left(t\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\mu }_{n}e^{j{\frac {2\pi }{T}}nt}\,,\quad -{\frac {T}{2}}\leq t\leq {\frac {T}{2}}\,\quad {\mu }_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x_{T}\left(t\right)e^{-j{\frac {2\pi }{T}}nt}dt} quando interpretata su tutto l'asse dei tempi è anche la serie di Fourier del segnale periodico x ( t ) {\displaystyle x\left(t\right)} :
x ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ μ n e j 2 π T n t , ∀ t {\displaystyle x\left(t\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\mu }_{n}e^{j{\frac {2\pi }{T}}nt}\,,\quad \forall t} da cui si può ottenere la trasformata di Fourier del segnale periodico:
X ( f ) = ∑ n = − ∞ + ∞ μ n ∫ − ∞ + ∞ e j 2 π T n t e − j 2 π f t d t = ∑ n = − ∞ + ∞ μ n δ ( f − n T ) {\displaystyle X\left(f\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\mu }_{n}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{j{\frac {2\pi }{T}}nt}e^{-j2\pi ft}dt=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\mu }_{n}\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)} dove:
μ n = 1 T ∫ − T 2 T 2 x ( t ) e − j 2 π T n t d t = {\displaystyle {\mu }_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x\left(t\right)e^{-j{\frac {2\pi }{T}}nt}dt=} e poiché x T ( t ) {\displaystyle x_{T}\left(t\right)} è il segnale x ( t ) {\displaystyle x\left(t\right)} troncato in [ 0 , T ] {\displaystyle \left[0,T\right]} :
= 1 T ∫ − ∞ + ∞ x T ( t ) e − j 2 π T n t d t = 1 T X T ( n T ) {\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{+\infty }x_{T}\left(t\right)e^{-j{\frac {2\pi }{T}}nt}dt={\frac {1}{T}}X_{T}\left({\frac {n}{T}}\right)} La trasformata di Fourier del segnale x ( t ) {\displaystyle x\left(t\right)} è quindi una sommatoria dei campioni, presi a multipli di 1 T {\displaystyle {\frac {1}{T}}} , della trasformata di Fourier del segnale troncato x T ( t ) {\displaystyle x_{T}\left(t\right)} :
X ( f ) = 1 T ∑ n = − ∞ + ∞ X T ( n T ) δ ( f − n T ) {\displaystyle X\left(f\right)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }X_{T}\left({\frac {n}{T}}\right)\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)} Treno di impulsi
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Rappresentazioni di un segnale periodico
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Il segnale x ( t ) {\displaystyle x\left(t\right)} :
x ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ z ( t − n T ) = x ( t + T ) {\displaystyle x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }z\left(t-nT\right)=x\left(t+T\right)} è periodico di periodo T {\displaystyle T} anche quando il segnale z ( t ) {\displaystyle z\left(t\right)} non è a supporto limitato in [ 0 , T ] {\displaystyle \left[0,T\right]} , e quindi nella periodicizzazione di z ( t ) {\displaystyle z\left(t\right)} alcune parti si vanno a sovrapporre. La sua trasformata di Fourier vale ancora:
x ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ z ( t − n T ) = z ( t ) ∗ ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( t − n T ) {\displaystyle x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }z\left(t-nT\right)=z\left(t\right)*\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-nT\right)}
X ( f ) = Z ( f ) 1 T ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( t − n T ) = 1 T ∑ n = − ∞ + ∞ Z ( n T ) δ ( t − n T ) {\displaystyle X\left(f\right)=Z\left(f\right){\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-{\frac {n}{T}}\right)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }Z\left({\frac {n}{T}}\right)\delta \left(t-{\frac {n}{T}}\right)} La seguente rappresentazione di un segnale periodico x ( t ) {\displaystyle x\left(t\right)} :
x ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ z ( t − n T ) = x ( t + T ) {\displaystyle x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }z\left(t-nT\right)=x\left(t+T\right)} non è univoca, ma possono essere utilizzati tutti i segnali z ( t ) {\displaystyle z\left(t\right)} che:
nel dominio del tempo: coincidono con il segnale troncato x T ( t ) {\displaystyle x_{T}\left(t\right)} all'interno del periodo T {\displaystyle T} :
z ( t ) : ∑ n = − ∞ + ∞ z ( t − n T ) = x T ( t ) ∀ t ∈ [ 0 , T ] {\displaystyle z\left(t\right):\,\sum _{n=-\infty }^{+\infty }z\left(t-nT\right)=x_{T}\left(t\right)\quad \forall t\in \left[0,T\right]}
nel dominio della frequenza: assumono gli stessi valori della trasformata di Fourier nelle frequenze n T {\displaystyle {\tfrac {n}{T}}} , le uniche che contano nel segnale periodico:
X ( f ) = 1 T ∑ n = − ∞ + ∞ X T ( n T ) δ ( f − n T ) = 1 T ∑ n = − ∞ + ∞ Z ( n T ) δ ( f − n T ) {\displaystyle X\left(f\right)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }X_{T}\left({\frac {n}{T}}\right)\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }Z\left({\frac {n}{T}}\right)\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)} Esempio: segnale periodico costante
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Il segnale periodico costante x ( t ) = 1 {\displaystyle x\left(t\right)=1} si può rappresentare come sommatoria di due diverse funzioni periodiche:
{ x ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ Π T ( t − n T ) z ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ Λ T ( t − n T ) = x ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\Pi }_{T}\left(t-nT\right)\\z\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\Lambda }_{T}\left(t-nT\right)=x\left(t\right)\end{cases}}} che hanno due differenti supporti (rispettivamente T {\displaystyle T} e 2 T {\displaystyle 2T} ), ma che nella periodicizzazione (di egual periodo T {\displaystyle T} ) vengono a coincidere.
Nel dominio della frequenza i campioni di X T ( f ) {\displaystyle X_{T}\left(f\right)} e Z ( f ) {\displaystyle Z\left(f\right)} coincidono:
{ X ( f ) = F { Λ T ( t ) } = T s i n c ( f T ) Z ( f ) = F { Π T ( t ) } = T s i n c 2 ( f T ) {\displaystyle {\begin{cases}X\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{{\Lambda }_{T}\left(t\right)\right\}=T\mathrm {sinc} \left(fT\right)\\Z\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{{\Pi }_{T}\left(t\right)\right\}=T{\mathrm {sinc} }^{2}\left(fT\right)\end{cases}}}
Considerando i segnali x 2 T ( t ) {\displaystyle x_{2T}\left(t\right)} , di supporto 2 T {\displaystyle 2T} , e z ( t ) {\displaystyle z\left(t\right)} , di supporto 4 T {\displaystyle 4T} :
{ x 2 T ( t ) = Π T ( t + T 2 ) − Π T ( t − T 2 ) z ( t ) = Π T ( t + T 2 ) − Π T ( t − 5 T 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}x_{2T}\left(t\right)={\Pi }_{T}\left(t+{\frac {T}{2}}\right)-{\Pi }_{T}\left(t-{\frac {T}{2}}\right)\\z\left(t\right)={\Pi }_{T}\left(t+{\frac {T}{2}}\right)-{\Pi }_{T}\left(t-{\frac {5T}{2}}\right)\end{cases}}} e campionando le loro trasformate di Fourier:
{ X 2 T ( f ) = T s i n c ( f T ) ( e j π f T − e − j π f T ) Z ( f ) = T s i n c ( f T ) ( e j π f T − e − j π f 5 T ) {\displaystyle {\begin{cases}X_{2T}\left(f\right)=T\mathrm {sinc} \left(fT\right)\left(e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}\right)\\Z\left(f\right)=T\mathrm {sinc} \left(fT\right)\left(e^{j\pi fT}-e^{-j\pi f5T}\right)\end{cases}}} nelle frequenze n 2 T {\displaystyle {\tfrac {n}{2T}}} , i campioni coincidono:
{ X 2 T ( n 2 T ) = T s i n c ( n 2 ) ( e j n π 2 − e − j n π 2 ) = j T s i n c ( n 2 ) sin π n 2 Z ( n 2 T ) = T s i n c ( n 2 ) ( e j n π 2 − e − j π n 5 2 ) = j T s i n c ( n 2 ) sin π n 2 = X 2 T ( n 2 T ) {\displaystyle {\begin{cases}X_{2T}\left({\frac {n}{2T}}\right)=T\mathrm {sinc} \left({\frac {n}{2}}\right)\left(e^{jn{\frac {\pi }{2}}}-e^{-jn{\frac {\pi }{2}}}\right)=jT\mathrm {sinc} \left({\frac {n}{2}}\right)\sin {\frac {\pi n}{2}}\\Z\left({\frac {n}{2T}}\right)=T\mathrm {sinc} \left({\frac {n}{2}}\right)\left(e^{jn{\frac {\pi }{2}}}-e^{-j\pi n{\frac {5}{2}}}\right)=jT\mathrm {sinc} \left({\frac {n}{2}}\right)\sin {\frac {\pi n}{2}}=X_{2T}\left({\frac {n}{2T}}\right)\end{cases}}}