I segnali periodici:
x
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
x
T
(
t
−
n
T
)
=
x
(
t
+
T
)
{\displaystyle x\left(t\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }x_{T}\left(t-nT\right)=x\left(t+T\right)}
sono un caso particolare dei segnali ciclici :
x
c
(
t
)
=
∫
n
1
n
2
x
T
(
t
−
n
T
)
≠
x
c
(
t
+
T
)
{\displaystyle x_{c}\left(t\right)=\int _{n_{1}}^{n_{2}}x_{T}\left(t-nT\right)\neq x_{c}\left(t+T\right)}
La serie di Fourier derivata per il segnale a supporto finito:
x
T
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
μ
n
e
j
2
π
T
n
t
,
−
T
2
≤
t
≤
T
2
μ
n
=
1
T
∫
−
T
2
T
2
x
T
(
t
)
e
−
j
2
π
T
n
t
d
t
{\displaystyle x_{T}\left(t\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\mu }_{n}e^{j{\frac {2\pi }{T}}nt}\,,\quad -{\frac {T}{2}}\leq t\leq {\frac {T}{2}}\,\quad {\mu }_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x_{T}\left(t\right)e^{-j{\frac {2\pi }{T}}nt}dt}
quando interpretata su tutto l'asse dei tempi è anche la serie di Fourier del segnale periodico
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
:
x
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
μ
n
e
j
2
π
T
n
t
,
∀
t
{\displaystyle x\left(t\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\mu }_{n}e^{j{\frac {2\pi }{T}}nt}\,,\quad \forall t}
da cui si può ottenere la trasformata di Fourier del segnale periodico:
X
(
f
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
μ
n
∫
−
∞
+
∞
e
j
2
π
T
n
t
e
−
j
2
π
f
t
d
t
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
μ
n
δ
(
f
−
n
T
)
{\displaystyle X\left(f\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\mu }_{n}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{j{\frac {2\pi }{T}}nt}e^{-j2\pi ft}dt=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\mu }_{n}\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)}
dove:
μ
n
=
1
T
∫
−
T
2
T
2
x
(
t
)
e
−
j
2
π
T
n
t
d
t
=
{\displaystyle {\mu }_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x\left(t\right)e^{-j{\frac {2\pi }{T}}nt}dt=}
e poiché
x
T
(
t
)
{\displaystyle x_{T}\left(t\right)}
è il segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
troncato in
[
0
,
T
]
{\displaystyle \left[0,T\right]}
:
=
1
T
∫
−
∞
+
∞
x
T
(
t
)
e
−
j
2
π
T
n
t
d
t
=
1
T
X
T
(
n
T
)
{\displaystyle ={\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{+\infty }x_{T}\left(t\right)e^{-j{\frac {2\pi }{T}}nt}dt={\frac {1}{T}}X_{T}\left({\frac {n}{T}}\right)}
La trasformata di Fourier del segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
è quindi una sommatoria dei campioni, presi a multipli di
1
T
{\displaystyle {\frac {1}{T}}}
, della trasformata di Fourier del segnale troncato
x
T
(
t
)
{\displaystyle x_{T}\left(t\right)}
:
X
(
f
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
X
T
(
n
T
)
δ
(
f
−
n
T
)
{\displaystyle X\left(f\right)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }X_{T}\left({\frac {n}{T}}\right)\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)}
Rappresentazioni di un segnale periodico
modifica
Il segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
:
x
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
z
(
t
−
n
T
)
=
x
(
t
+
T
)
{\displaystyle x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }z\left(t-nT\right)=x\left(t+T\right)}
è periodico di periodo
T
{\displaystyle T}
anche quando il segnale
z
(
t
)
{\displaystyle z\left(t\right)}
non è a supporto limitato in
[
0
,
T
]
{\displaystyle \left[0,T\right]}
, e quindi nella periodicizzazione di
z
(
t
)
{\displaystyle z\left(t\right)}
alcune parti si vanno a sovrapporre. La sua trasformata di Fourier vale ancora:
x
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
z
(
t
−
n
T
)
=
z
(
t
)
∗
∑
n
=
−
∞
+
∞
δ
(
t
−
n
T
)
{\displaystyle x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }z\left(t-nT\right)=z\left(t\right)*\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-nT\right)}
X
(
f
)
=
Z
(
f
)
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
δ
(
t
−
n
T
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
Z
(
n
T
)
δ
(
t
−
n
T
)
{\displaystyle X\left(f\right)=Z\left(f\right){\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-{\frac {n}{T}}\right)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }Z\left({\frac {n}{T}}\right)\delta \left(t-{\frac {n}{T}}\right)}
La seguente rappresentazione di un segnale periodico
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
:
x
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
z
(
t
−
n
T
)
=
x
(
t
+
T
)
{\displaystyle x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }z\left(t-nT\right)=x\left(t+T\right)}
non è univoca, ma possono essere utilizzati tutti i segnali
z
(
t
)
{\displaystyle z\left(t\right)}
che:
nel dominio del tempo: coincidono con il segnale troncato
x
T
(
t
)
{\displaystyle x_{T}\left(t\right)}
all'interno del periodo
T
{\displaystyle T}
:
z
(
t
)
:
∑
n
=
−
∞
+
∞
z
(
t
−
n
T
)
=
x
T
(
t
)
∀
t
∈
[
0
,
T
]
{\displaystyle z\left(t\right):\,\sum _{n=-\infty }^{+\infty }z\left(t-nT\right)=x_{T}\left(t\right)\quad \forall t\in \left[0,T\right]}
nel dominio della frequenza: assumono gli stessi valori della trasformata di Fourier nelle frequenze
n
T
{\displaystyle {\tfrac {n}{T}}}
, le uniche che contano nel segnale periodico:
X
(
f
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
X
T
(
n
T
)
δ
(
f
−
n
T
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
Z
(
n
T
)
δ
(
f
−
n
T
)
{\displaystyle X\left(f\right)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }X_{T}\left({\frac {n}{T}}\right)\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }Z\left({\frac {n}{T}}\right)\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)}
Esempio: segnale periodico costante
modifica
Il segnale periodico costante
x
(
t
)
=
1
{\displaystyle x\left(t\right)=1}
si può rappresentare come sommatoria di due diverse funzioni periodiche:
{
x
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
Π
T
(
t
−
n
T
)
z
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
Λ
T
(
t
−
n
T
)
=
x
(
t
)
{\displaystyle {\begin{cases}x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\Pi }_{T}\left(t-nT\right)\\z\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\Lambda }_{T}\left(t-nT\right)=x\left(t\right)\end{cases}}}
che hanno due differenti supporti (rispettivamente
T
{\displaystyle T}
e
2
T
{\displaystyle 2T}
), ma che nella periodicizzazione (di egual periodo
T
{\displaystyle T}
) vengono a coincidere.
Nel dominio della frequenza i campioni di
X
T
(
f
)
{\displaystyle X_{T}\left(f\right)}
e
Z
(
f
)
{\displaystyle Z\left(f\right)}
coincidono:
{
X
(
f
)
=
F
{
Λ
T
(
t
)
}
=
T
s
i
n
c
(
f
T
)
Z
(
f
)
=
F
{
Π
T
(
t
)
}
=
T
s
i
n
c
2
(
f
T
)
{\displaystyle {\begin{cases}X\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{{\Lambda }_{T}\left(t\right)\right\}=T\mathrm {sinc} \left(fT\right)\\Z\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{{\Pi }_{T}\left(t\right)\right\}=T{\mathrm {sinc} }^{2}\left(fT\right)\end{cases}}}
Considerando i segnali
x
2
T
(
t
)
{\displaystyle x_{2T}\left(t\right)}
, di supporto
2
T
{\displaystyle 2T}
, e
z
(
t
)
{\displaystyle z\left(t\right)}
, di supporto
4
T
{\displaystyle 4T}
:
{
x
2
T
(
t
)
=
Π
T
(
t
+
T
2
)
−
Π
T
(
t
−
T
2
)
z
(
t
)
=
Π
T
(
t
+
T
2
)
−
Π
T
(
t
−
5
T
2
)
{\displaystyle {\begin{cases}x_{2T}\left(t\right)={\Pi }_{T}\left(t+{\frac {T}{2}}\right)-{\Pi }_{T}\left(t-{\frac {T}{2}}\right)\\z\left(t\right)={\Pi }_{T}\left(t+{\frac {T}{2}}\right)-{\Pi }_{T}\left(t-{\frac {5T}{2}}\right)\end{cases}}}
e campionando le loro trasformate di Fourier:
{
X
2
T
(
f
)
=
T
s
i
n
c
(
f
T
)
(
e
j
π
f
T
−
e
−
j
π
f
T
)
Z
(
f
)
=
T
s
i
n
c
(
f
T
)
(
e
j
π
f
T
−
e
−
j
π
f
5
T
)
{\displaystyle {\begin{cases}X_{2T}\left(f\right)=T\mathrm {sinc} \left(fT\right)\left(e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}\right)\\Z\left(f\right)=T\mathrm {sinc} \left(fT\right)\left(e^{j\pi fT}-e^{-j\pi f5T}\right)\end{cases}}}
nelle frequenze
n
2
T
{\displaystyle {\tfrac {n}{2T}}}
, i campioni coincidono:
{
X
2
T
(
n
2
T
)
=
T
s
i
n
c
(
n
2
)
(
e
j
n
π
2
−
e
−
j
n
π
2
)
=
j
T
s
i
n
c
(
n
2
)
sin
π
n
2
Z
(
n
2
T
)
=
T
s
i
n
c
(
n
2
)
(
e
j
n
π
2
−
e
−
j
π
n
5
2
)
=
j
T
s
i
n
c
(
n
2
)
sin
π
n
2
=
X
2
T
(
n
2
T
)
{\displaystyle {\begin{cases}X_{2T}\left({\frac {n}{2T}}\right)=T\mathrm {sinc} \left({\frac {n}{2}}\right)\left(e^{jn{\frac {\pi }{2}}}-e^{-jn{\frac {\pi }{2}}}\right)=jT\mathrm {sinc} \left({\frac {n}{2}}\right)\sin {\frac {\pi n}{2}}\\Z\left({\frac {n}{2T}}\right)=T\mathrm {sinc} \left({\frac {n}{2}}\right)\left(e^{jn{\frac {\pi }{2}}}-e^{-j\pi n{\frac {5}{2}}}\right)=jT\mathrm {sinc} \left({\frac {n}{2}}\right)\sin {\frac {\pi n}{2}}=X_{2T}\left({\frac {n}{2T}}\right)\end{cases}}}