Teoria dei segnali2/Stazionarietà

Indice del libro

StazionarietàModifica

Un processo è stazionario se la traslazione di una sua realizzazione, per un qualsiasi intervallo di tempo, produce un'altra sua possibile realizzazione, e se tutte queste realizzazioni hanno la stessa probabilità:

 
Esempi
  • processi stazionari: sinusoide con fase variabile casuale, rumore termico
  • processi non stazionari: segnale numerico, segnale sample & hold, sinusoide con ampiezza variabile casuale, segnale determinato

Stazionarietà in senso strettoModifica

Siccome per la densità di probabilità congiunta   vale:

 

si può far coincidere il primo istante di tempo con l'origine ( ) eliminando una variabile temporale → le statistiche di ordine   dipendono da   variabili, che rappresentano la differenza di tempo rispetto al primo campione, che si può sempre assumere nell'origine. Ad esempio, per un processo stazionario in senso stretto di ordine   vale:

 

Stazionarietà in senso lato (WSS)Modifica

  • Se il processo è stazionario in senso stretto di ordine 1, la media   è una costante e non dipende dal tempo:
 
  • Se il processo è stazionario in senso stretto di ordine 2, la funzione di autocorrelazione   dipende solo dalla differenza  :
 

Un processo è stazionario in senso lato se la media   è una costante, e la funzione di autocorrelazione   dipende solo da  :

 

La stazionarietà in senso lato non implica la stazionarietà in senso stretto.

CiclostazionarietàModifica

Un processo è ciclostazionario se la traslazione di una sua realizzazione, per multipli di una costante finita   detta periodo di stazionarietà, produce un'altra sua possibile realizzazione, e se tutte queste realizzazioni hanno la stessa probabilità:

 
Esempi
  • processi ciclostazionari: segnale numerico, segnale sample & hold, sinusoide con ampiezza variabile casuale, segnale determinato periodico, processi stazionari
  • processi non ciclostazionari: segnale determinato non periodico

Ciclostazionarietà in senso strettoModifica

Un processo è ciclostazionario in senso stretto se la densità di probabilità congiunta   è periodica di periodo  :

 

Ciclostazionarietà in senso latoModifica

Un processo è ciclostazionario in senso lato se la media   è periodica, e la funzione di autocorrelazione   è periodica rispetto a   e  :

 

StazionarizzazioneModifica

La stazionarietà implica la ciclostazionarietà, ma non viceversa → l'operazione di stazionarizzazione serve per trasformare un processo ciclostazionario in un processo stazionario: si aggiungono tutte le replice mancanti all'interno del periodo di ciclostazionarietà  , tramite la nuova variabile casuale   che corrisponde al ritardo casuale uniforme. Questa operazione modifica il processo stesso e può essere fatta solo se ha senso nel sistema considerato: tipicamente si può fare se il sistema che lo processa è stazionario (tempo invariante).