Teoria dei segnali2/Spettro di energia e segnali troncati
Segnali troncati Modifica
A volte non si conosce il segnale su tutto il supporto ma solo su un certo intervallo :[1]
Se il segnale ha una banda limitata in frequenza:
si può scrivere:
Siccome un segnale a supporto limitato nel tempo non può avere una banda limitata in frequenza e viceversa, il segnale è a banda limitata e al contrario il segnale troncato ha una banda illimitata:
per effetto delle oscillazioni della funzione sinc:
Fenomeno di Gibbs Modifica
Benché facendo tendere la funzione sinc a una delta si eliminano le oscillazioni:
- Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \lim_{T \to + \infty} \left[ T \mathrm{sinc} \left( f T \right) \right] = \delta \left( f \right)}
la seguente relazione:
continua a non valere se il segnale presenta delle discontinuità nel dominio delle frequenze.
- Esempio
Facendo tendere a infinito si possono restringere le oscillazioni secondarie fino a rette verticali, come nel segnale di partenza, ma i massimi e i minimi, rispettivamente 1,09 e −0,09, non cambiano e rimangono diversi da quelli del segnale di partenza, rispettivamente 1 e 0:
Spettri di energia e di potenza e funzione di autocorrelazione Modifica
Segnali a energia finita Modifica
Spettro di energia Modifica
Lo spettro di energia di un segnale dà informazioni sul contenuto di energia alle singole frequenze:
Per un segnale all'uscita di un sistema LTI:
Funzione di autocorrelazione Modifica
La funzione di autocorrelazione è definita:
Nell'origine:
- Proprietà
- Per la funzione di autocorrelazione vale la simmetria hermitiana:
- Se il segnale è reale, la funzione di autocorrelazione è pari:
- Per la disuguaglianza di Schwarz, la funzione di autocorrelazione ha un massimo nell'origine:
Mutua correlazione Modifica
Considerando una coppia di segnali e , si definiscono funzione di mutua correlazione :
e spettro di energia mutua :
- Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle S_{xy} \left( f \right) \triangleq \mathcal{F} \left( R_{xy} \left( \tau \right) \right) = X \left( f \right) Y^* \left( f \right) = S_{yx}^* \left( f \right)}
Considerando la somma di questi due segnali:
Segnali periodici Modifica
Ricordando le formule della potenza e dell'energia, la potenza media di un segnale periodico è finita:
Spettro di potenza Modifica
Lo spettro di potenza di un segnale periodico Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle x \left( t \right)} vale:
La formula dello spettro di potenza ricorda quella della trasformata di Fourier di :
Funzione di autocorrelazione Modifica
La funzione di autocorrelazione di un segnale periodico vale:
Si noti che la formula della funzione di autocorrelazione per un segnale periodico è leggermente diversa da quella per i segnali non periodici definita sopra.
Segnali aperiodici a potenza finita Modifica
Tutti i segnali periodici hanno potenza finita, ma non tutti i segnali a potenza finita sono periodici.
Spettro di energia Modifica
Per segnali non periodici ma a potenza finita si definisce periodogramma lo spettro di energia del segnale troncato Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle x_T \left( t \right)} (normalizzato):
dove è un intervallo a piacere.
Spettro di potenza Modifica
Lo spettro di potenza è definito:
Anche in questo caso la formula dello spettro di potenza per segnali aperiodici è differente da quella per segnali periodici.
Per un segnale all'uscita di un sistema LTI, lo spettro di potenza è pari a:
Funzione di autocorrelazione Modifica
La funzione di autocorrelazione è definita:
- Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \Phi_x \left( \tau \right) \triangleq {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ G_x \left( f \right) \right\} = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) dt}
L'integrale cresce linearmente con , quindi questa crescita è compensata da .
Note Modifica
- ↑ Si sottointende che l'intervallo è centrato rispetto all'origine.