Teoria dei segnali2/Spettro di energia e segnali troncati

Indice del libro

Segnali troncati Modifica

A volte non si conosce il segnale su tutto il supporto ma solo su un certo intervallo  :[1]

 

Se il segnale   ha una banda limitata in frequenza:

 

si può scrivere:

 

Siccome un segnale a supporto limitato nel tempo non può avere una banda limitata in frequenza e viceversa, il segnale   è a banda limitata e al contrario il segnale troncato ha una banda illimitata:

 

per effetto delle oscillazioni della funzione sinc:

 

Fenomeno di Gibbs Modifica

Benché facendo tendere la funzione sinc a una delta si eliminano le oscillazioni:

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \lim_{T \to + \infty} \left[ T \mathrm{sinc} \left( f T \right) \right] = \delta \left( f \right)}

la seguente relazione:

 

continua a non valere se il segnale   presenta delle discontinuità nel dominio delle frequenze.

Esempio
 

Facendo tendere   a infinito si possono restringere le oscillazioni secondarie fino a rette verticali, come nel segnale di partenza, ma i massimi e i minimi, rispettivamente 1,09 e −0,09, non cambiano e rimangono diversi da quelli del segnale di partenza, rispettivamente 1 e 0:

 

Spettri di energia e di potenza e funzione di autocorrelazione Modifica

Segnali a energia finita Modifica

Spettro di energia Modifica

Lo spettro di energia   di un segnale dà informazioni sul contenuto di energia alle singole frequenze:

 

Per un segnale all'uscita di un sistema LTI:

 

Funzione di autocorrelazione Modifica

La funzione di autocorrelazione   è definita:

 

Nell'origine:

 
Proprietà
  • Per la funzione di autocorrelazione vale la simmetria hermitiana:
 
Se il segnale   è reale, la funzione di autocorrelazione è pari:
 
  • Per la disuguaglianza di Schwarz, la funzione di autocorrelazione ha un massimo nell'origine:
 

Mutua correlazione Modifica

Considerando una coppia di segnali   e  , si definiscono funzione di mutua correlazione  :

 

e spettro di energia mutua  :

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle S_{xy} \left( f \right) \triangleq \mathcal{F} \left( R_{xy} \left( \tau \right) \right) = X \left( f \right) Y^* \left( f \right) = S_{yx}^* \left( f \right)}

Considerando la somma   di questi due segnali:

 

Segnali periodici Modifica

Ricordando le formule della potenza e dell'energia, la potenza media di un segnale periodico   è finita:

 

Spettro di potenza Modifica

Lo spettro di potenza   di un segnale periodico Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle x \left( t \right)} vale:

 

La formula dello spettro di potenza   ricorda quella della trasformata di Fourier di  :

 

Funzione di autocorrelazione Modifica

La funzione di autocorrelazione   di un segnale periodico   vale:

 

Si noti che la formula della funzione di autocorrelazione per un segnale periodico è leggermente diversa da quella per i segnali non periodici definita sopra.

Segnali aperiodici a potenza finita Modifica

Tutti i segnali periodici hanno potenza finita, ma non tutti i segnali a potenza finita sono periodici.

Spettro di energia Modifica

Per segnali non periodici ma a potenza finita si definisce periodogramma lo spettro di energia del segnale troncato Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle x_T \left( t \right)} (normalizzato):

 

dove   è un intervallo a piacere.

Spettro di potenza Modifica

Lo spettro di potenza   è definito:

 

Anche in questo caso la formula dello spettro di potenza per segnali aperiodici è differente da quella per segnali periodici.

Per un segnale all'uscita di un sistema LTI, lo spettro di potenza è pari a:

 

Funzione di autocorrelazione Modifica

La funzione di autocorrelazione   è definita:

Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \Phi_x \left( \tau \right) \triangleq {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ G_x \left( f \right) \right\} = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) dt}

L'integrale   cresce linearmente con  , quindi questa crescita è compensata da  .

Note Modifica

  1. Si sottointende che l'intervallo   è centrato rispetto all'origine.