Teoria dei segnali2/Spettro di energia e segnali troncati

Indice del libro

Segnali troncatiModifica

A volte non si conosce il segnale su tutto il supporto ma solo su un certo intervallo  :[1]

 

Se il segnale   ha una banda limitata in frequenza:

 

si può scrivere:

 

Siccome un segnale a supporto limitato nel tempo non può avere una banda limitata in frequenza e viceversa, il segnale   è a banda limitata e al contrario il segnale troncato ha una banda illimitata:

 

per effetto delle oscillazioni della funzione sinc:

Fenomeno di GibbsModifica

Benché facendo tendere la funzione sinc a una delta si eliminano le oscillazioni:

 

la seguente relazione:

 

continua a non valere se il segnale   presenta delle discontinuità nel dominio delle frequenze.

Esempio
 

Facendo tendere   a infinito si possono restringere le oscillazioni secondarie fino a rette verticali, come nel segnale di partenza, ma i massimi e i minimi, rispettivamente 1,09 e −0,09, non cambiano e rimangono diversi da quelli del segnale di partenza, rispettivamente 1 e 0:

Spettri di energia e di potenza e funzione di autocorrelazioneModifica

Segnali a energia finitaModifica

Spettro di energiaModifica

Lo spettro di energia   di un segnale dà informazioni sul contenuto di energia alle singole frequenze:

 

Per un segnale all'uscita di un sistema LTI:

 

Funzione di autocorrelazioneModifica

La funzione di autocorrelazione   è definita:

 

Nell'origine:

 
Proprietà
  • Per la funzione di autocorrelazione vale la simmetria hermitiana:
 
Se il segnale   è reale, la funzione di autocorrelazione è pari:
 
  • Per la disuguaglianza di Schwarz, la funzione di autocorrelazione ha un massimo nell'origine:
 

Mutua correlazioneModifica

Considerando una coppia di segnali   e  , si definiscono funzione di mutua correlazione  :

 

e spettro di energia mutua  :

 

Considerando la somma   di questi due segnali:

 

Segnali periodiciModifica

Ricordando le formule della potenza e dell'energia, la potenza media di un segnale periodico   è finita:

 

Spettro di potenzaModifica

Lo spettro di potenza   di un segnale periodico   vale:

 

La formula dello spettro di potenza   ricorda quella della trasformata di Fourier di  :

 

Funzione di autocorrelazioneModifica

La funzione di autocorrelazione   di un segnale periodico   vale:

 

Si noti che la formula della funzione di autocorrelazione per un segnale periodico è leggermente diversa da quella per i segnali non periodici definita sopra.

Segnali aperiodici a potenza finitaModifica

Tutti i segnali periodici hanno potenza finita, ma non tutti i segnali a potenza finita sono periodici.

Spettro di energiaModifica

Per segnali non periodici ma a potenza finita si definisce periodogramma lo spettro di energia del segnale troncato   (normalizzato):

 

dove   è un intervallo a piacere.

Spettro di potenzaModifica

Lo spettro di potenza   è definito:

 

Anche in questo caso la formula dello spettro di potenza per segnali aperiodici è differente da quella per segnali periodici.

Per un segnale all'uscita di un sistema LTI, lo spettro di potenza è pari a:

 

Funzione di autocorrelazioneModifica

La funzione di autocorrelazione   è definita:

 

L'integrale   cresce linearmente con  , quindi questa crescita è compensata da  .

NoteModifica

  1. Si sottointende che l'intervallo   è centrato rispetto all'origine.