Teoria dei segnali2/Proprietà trasformata

Convoluzione

L'operatore prodotto di convoluzione è definito in questo modo:

$z\left(t\right)=x\left(t\right)*y\left(t\right)\triangleq \int _{-\infty }^{+\infty }x\left(\tau \right)y\left(t-\tau \right)d\tau$

La convoluzione tra due segnali $x\left(t\right)$, a supporto finito $\left[-a,+a\right]$ e $y\left(t\right)$, a supporto finito $\left[-b,+b\right]$:

• ha un supporto di ampiezza pari alla somma delle ampiezze: $\left[-\left(b+a\right),+\left(b+a\right)\right]$;
• riduce le discontinuità, e in particolare è di classe $C^{n+1}$ se le due funzioni sono di classe $C^{n}$.

Convoluzione di porte

La convoluzione $z\left(t\right)$ tra la porta $x\left(\tau \right)={\Pi }_{2a}\left(\tau \right)$ e la porta $y\left(\tau \right)={\Pi }_{2b}\left(\tau \right)$ ha supporto $2\left(b+a\right)$ ed è una funzione continua (classe $C^{0}$):

Se $a=b$ la convoluzione $z\left(t\right)$ è la funzione $2a\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{2a}}\right)$:

Effettuando infinite convoluzioni si ottiene una gaussiana.

Al contrario, nel dominio delle frequenze il supporto è ristretto all'intervallo di frequenze in cui entrambe le trasformate $X\left(f\right)$ e $Y\left(f\right)$ non sono nulle:

Proprietà

Commutativa

$x\left(t\right)*y\left(t\right)=y\left(t\right)*x\left(t\right)$

Associativa

$x\left(t\right)*\left[y\left(t\right)*w\left(t\right)\right]=\left[x\left(t\right)*y\left(t\right)\right]*w\left(t\right)$

Distributiva

$x\left(t\right)*\left[y\left(t\right)+w\left(t\right)\right]=x\left(t\right)*y\left(t\right)+x\left(t\right)*w\left(t\right)$

Proprietà della delta di Dirac

Campionamento

La moltiplicazione di una funzione $x\left(t\right)$ per una funzione delta $\delta \left(t-\tau \right)$, traslata di $\tau$, restituisce il campione di $x\left(t\right)$ in $t=\tau$:

$x\left(t\right)\delta \left(t-\tau \right)=x\left(\tau \right)\delta \left(t-\tau \right)$

e pertanto si può introdurre una semplificazione sostituendo $x\left(t\right)$ una qualsiasi funzione $y\left(t\right)$ che assuma lo stesso valore in $t=\tau$, in particolare la funzione costante $y\left(t\right)=x\left(\tau \right)$.

Traslazione

La convoluzione di una funzione $x\left(t\right)$ con una funzione delta $\delta \left(t-\tau \right)$, traslata di $\tau$, restituisce il segnale traslato:

$x\left(t\right)*\delta \left(t-\tau \right)=x\left(t-\tau \right)$

Dimostrazione

$x\left(t\right)*\delta \left(t-\tau \right)=\int _{-\infty }^{+\infty }\delta \left(t'-\tau \right)x\left(t-t'\right)dt'=x\left(t-\tau \right)$

Proprietà della trasformata di Fourier

Linearità

La trasformata di Fourier e la sua inversa sono operatori lineari:

${\mathcal {F}}\left\{a_{1}x_{1}\left(t\right)+a_{2}x_{2}\left(t\right)\right\}=a_{1}{\mathcal {F}}\left\{x_{1}\left(t\right)\right\}+a_{2}{\mathcal {F}}\left\{x_{2}\left(t\right)\right\}$

Anticipo o ritardo

La trasformata di Fourier del segnale $x\left(t\right)$ ritardato o anticipato di una fase $\theta$ vale:

${\mathcal {F}}\left\{x\left(t-\theta \right)\right\}={\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\right\}e^{-j2\pi \theta f}$

Corrisponde graficamente a una rotazione della fase ($\arg X\left(f\right)-2\pi \theta f$), mentre il modulo $\left|X\left(f\right)\right|$ non varia.

Modulazione e traslazione

La modulazione del segnale $x\left(t\right)$, di una frequenza $f_{0}$, corrisponde alla traslazione della sua trasformata di Fourier:

${\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)e^{j2\pi f_{0}t}\right\}=X\left(f-f_{0}\right)$

e si ottiene dalla composizione di due trasformate del segnale una simmetrica all'altra rispetto all'asse verticale:

${\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\cos {\left(2\pi f_{0}t\right)}\right\}={\frac {1}{2}}\left[X\left(f-f_{0}\right)+X\left(f+f_{0}\right)\right]$

${\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\sin {\left(2\pi f_{0}t\right)}\right\}={\frac {1}{2j}}\left[X\left(f-f_{0}\right)-X\left(f+f_{0}\right)\right]$

Scalamento

Lo scalamento corrisponde a una dilatazione o un restrigimento sull'asse dei tempi, e a rispettivamente un restringimento o una dilatazione sull'asse delle frequenze:

${\mathcal {F}}\left\{x\left(Kt\right)\right\}={\frac {1}{\left|K\right|}}X\left({\frac {f}{K}}\right)$

Relazioni di parità

Se il segnale $x\left(t\right)$ è reale, allora la sua trasformata di Fourier $X\left(f\right)$ ha le seguenti relazioni di parità:

• la parte reale $\Re {\left\{X\left(f\right)\right\}}$ è pari:

  $\Re {\left\{X\left(-f\right)\right\}}=\Re {\left\{X\left(f\right)\right\}}$

• la parte immaginaria $\Im {\left\{X\left(f\right)\right\}}$ è dispari:

  $\Im {\left\{X\left(-f\right)\right\}}=-\Im {\left\{X\left(f\right)\right\}}$

• il modulo $\left|X\left(f\right)\right|$ è pari:

  ${\left|X\left(f\right)\right|}^{2}={\Re }^{2}{\left\{X\left(f\right)\right\}}+{\Im }^{2}{\left\{X\left(f\right)\right\}}=\,{\text{pari}}\,\times \,{\text{pari}}\,+\,{\text{dispari}}\,\times \,{\text{dispari}}\,=\,{\text{pari}}$

• la fase $\arg {X\left(f\right)}$ è dispari:

  $\arg {X\left(f\right)}=\mathrm {arctg} {\frac {\Im {\left\{X\left(f\right)\right\}}}{\Re {\left\{X\left(f\right)\right\}}}}=\mathrm {arctg} \left({\text{dispari}}\right)=\,{\text{dispari}}$

Se il segnale $x\left(t\right)$ è reale vale inoltre la simmetria hermitiana (o simmetria coniugata):

$X^{*}\left(-f\right)=X\left(f\right)$

Convoluzione e prodotto

La trasformata di Fourier della convoluzione è pari al prodotto delle singole trasformate:

$Z\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)*y\left(t\right)\right\}=X\left(f\right)Y\left(f\right)$

Derivazione ed integrazione

Derivazione

${\mathcal {F}}\left\{{\partial \over \partial t}x\left(t\right)\right\}=j2\pi fX\left(f\right)$

${\mathcal {F}}\left\{{{\partial }^{n} \over \partial t^{n}}x\left(t\right)\right\}={\left(j2\pi f\right)}^{n}X\left(f\right)$

Integrazione

${\mathcal {F}}\left\{\int _{-\infty }^{t}x\left(r\right)dr\right\}={\frac {1}{2}}X\left(0\right)\delta \left(f\right)+{\frac {X\left(f\right)}{j2\pi f}}$

Dimostrazione

L'integrale fino a $t$ si può estendere fino a $+\infty$ cancellando la parte a destra di $t$ con una funzione gradino:

$\int _{-\infty }^{t}x\left(r\right)dr=\int _{-\infty }^{+\infty }u\left(t-r\right)x\left(r\right)dt=u\left(t\right)*x\left(t\right)$

${\mathcal {F}}\left\{\int _{-\infty }^{t}x\left(r\right)dr\right\}={\mathcal {F}}\left\{u\left(t\right)*x\left(t\right)\right\}=U\left(f\right)X\left(f\right)=$

Ricordando la trasformata fondamentale della funzione gradino $u\left(t\right)$:

$U\left(f\right)={\frac {1}{2}}\delta \left(f\right)+{\frac {1}{j2\pi f}}$

si trova:

$={\frac {1}{2}}X\left(0\right)\delta \left(f\right)+{\frac {X\left(f\right)}{j2\pi f}}$

Dualità

${\mathcal {F}}\left\{X\left(t\right)\right\}=x\left(-f\right)\Rightarrow {\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\right\}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{x\left(-f\right)\right\}$

Altre proprietà

Uguaglianza di Parseval

$E\left(x\right)=\int {\left|x\left(t\right)\right|}^{2}dt=\int {\left|X\left(f\right)\right|}^{2}df$

Invarianza prodotto scalare

$\langle x\left(t\right),y\left(t\right)\rangle =\langle X\left(f\right),Y\left(f\right)\rangle$

Diseguaglianza di Schwarz

$\left|\langle X\left(f\right),Y\left(f\right)\rangle \right|\leq \left\|X\left(f\right)\right\|\left\|Y\left(f\right)\right\|$

Relazione tempo-frequenza

Secondo la proprietà dello scalamento espandere l'asse dei tempi corrisponde a comprimere l'asse delle frequenze.

Per valutare quantitativamente la compattezza non si può tuttavia usare il supporto, perché si dimostra che:

• se la funzione $x\left(t\right)$ ha supporto finito, la sua trasformata $X\left(f\right)$ non ha supporto finito;
• se la funzione $X\left(f\right)$ ha supporto finito, la sua antitrasformata $x\left(t\right)$ non ha supporto finito.

Si definisce estensione temporale $d$:

$d^{2}=\int t^{2}{\frac {{\left|x\left(t\right)\right|}^{2}}{E\left(x\right)}}dt$

Si definisce estensione di frequenza $D$:

$D^{2}=4{\pi }^{2}\int f^{2}{\frac {{\left|X\left(f\right)\right|}^{2}}{E\left(x\right)}}df$

È possibile dimostrare che vale:

$d\cdot D\geq {\frac {1}{2}}$

L'estensione è il valore quadratico medio di una variabile casuale con distribuzione pari a:

• tempo: ${\frac {{\left|x\left(t\right)\right|}^{2}}{E\left(x\right)}}$
• frequenza: ${\frac {{\left|X\left(f\right)\right|}^{2}}{E\left(x\right)}}$

Supponendo nullo il valor medio, il valore quadratico medio coincide con la varianza.

Linearità	${\mathcal {F}}\left\{a_{1}x_{1}\left(t\right)+a_{2}x_{2}\left(t\right)\right\}=a_{1}{\mathcal {F}}\left\{x_{1}\left(t\right)\right\}+a_{2}{\mathcal {F}}\left\{x_{2}\left(t\right)\right\}$
Anticipo o ritardo	${\mathcal {F}}\left\{x\left(t-\theta \right)\right\}={\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\right\}e^{-j2\pi \theta f}$
Modulazione e traslazione	${\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)e^{j2\pi f_{0}t}\right\}=X\left(f-f_{0}\right)$
Scalamento	${\mathcal {F}}\left\{x\left(Kt\right)\right\}={\frac {1}{\left|K\right|}}X\left({\frac {f}{K}}\right)$
Relazioni di parità	$x\left(t\right)\in \mathbb {R} \Leftrightarrow {\begin{cases}\Re {\left\{X\left(f\right)\right\}}\,{\text{e}}\,\left|X\left(f\right)\right|\,{\text{sono pari}}\\\Im {\left\{X\left(f\right)\right\}}\,{\text{e}}\,\arg {X\left(f\right)}\,{\text{sono dispari}}\end{cases}}$
Convoluzione e prodotto	${\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)*y\left(t\right)\right\}=X\left(f\right)Y\left(f\right)$
Dualità	${\mathcal {F}}\left\{X\left(f\right)\right\}=x\left(-t\right)\Rightarrow {\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\right\}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{x\left(-t\right)\right\}$

Esempi di trasformate

Funzione porta

${\mathcal {F}}\left\{{\Pi }_{T}\left(t\right)\right\}=T\mathrm {sinc} \left(fT\right)$

Segnale numerico

Nel trasferimento in modulazione di un segnale digitale, il segnale sagomatore di riferimento viene moltiplicato in ampiezza per +1 o −1 (invertito) a seconda se il bit da trasferire è rispettivamente 1 o 0. Generalizzando da una base binaria a una base qualunque, il segnale sagomatore $r\left(t-iT\right)$ viene moltiplicato per una opportuna costante $a_{i}$, e il segnale digitale $x\left(t\right)$ sia ottenuto dalla seguente combinazione lineare:

$x\left(t\right)=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }a_{i}r\left(t-iT\right)\cos {\left(2\pi f_{0}t\right)}$

Per la proprietà del ritardo:

${\mathcal {F}}\left\{r\left(t-iT\right)\right\}=R\left(f\right)e^{-j2\pi fiT}$

Per la proprietà di linearità:

${\mathcal {F}}\left\{\sum _{i=-\infty }^{+\infty }a_{i}r\left(t-iT\right)\right\}=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }a_{i}{\mathcal {F}}\left\{r\left(t-iT\right)\right\}=R\left(f\right)\sum _{-\infty }^{+\infty }a_{i}e^{-j2\pi fiT}=Z\left(f\right)$

Siccome $R\left(t\right)$ è a coefficiente della sommatoria, un segnale numerico $z\left(t\right)$ non può avere un'occupazione spettrale maggiore di quella del segnale sagomatore $r\left(t\right)$ → l'ampiezza dello spettro $Z\left(t\right)$ del segnale è controllabile tramite un opportuno segnale sagomatore.

Infine per la proprietà di modulazione:

${\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\right\}={\frac {1}{2}}\left[Z\left(f-f_{0}\right)+Z\left(f-f_{0}\right)\right]$