Teoria dei segnali2/Proprietà trasformata

Indice del libro

ConvoluzioneModifica

L'operatore prodotto di convoluzione è definito in questo modo:

 

La convoluzione tra due segnali  , a supporto finito   e  , a supporto finito  :

  • ha un supporto di ampiezza pari alla somma delle ampiezze:  ;
  • riduce le discontinuità, e in particolare è di classe   se le due funzioni sono di classe  .

Convoluzione di porteModifica

La convoluzione   tra la porta   e la porta   ha supporto   ed è una funzione continua (classe  ):

Se   la convoluzione   è la funzione  :

Effettuando infinite convoluzioni si ottiene una gaussiana.

Al contrario, nel dominio delle frequenze il supporto è ristretto all'intervallo di frequenze in cui entrambe le trasformate   e   non sono nulle:

ProprietàModifica

Commutativa
 
Associativa
 
Distributiva
 

Proprietà della delta di DiracModifica

CampionamentoModifica

La moltiplicazione di una funzione   per una funzione delta  , traslata di  , restituisce il campione di   in  :

 

e pertanto si può introdurre una semplificazione sostituendo   una qualsiasi funzione   che assuma lo stesso valore in  , in particolare la funzione costante  .

TraslazioneModifica

La convoluzione di una funzione   con una funzione delta  , traslata di  , restituisce il segnale traslato:

 

Proprietà della trasformata di FourierModifica

LinearitàModifica

La trasformata di Fourier e la sua inversa sono operatori lineari:[1]

 

Anticipo o ritardoModifica

La trasformata di Fourier del segnale   ritardato o anticipato di una fase   vale:

 

Corrisponde graficamente a una rotazione della fase ( ), mentre il modulo   non varia.

Modulazione e traslazioneModifica

La modulazione del segnale  , di una frequenza  , corrisponde alla traslazione della sua trasformata di Fourier:

 

e si ottiene dalla composizione di due trasformate del segnale una simmetrica all'altra rispetto all'asse verticale:

 
 

ScalamentoModifica

Lo scalamento corrisponde a una dilatazione o un restrigimento sull'asse dei tempi, e a rispettivamente un restringimento o una dilatazione sull'asse delle frequenze:

 

Relazioni di paritàModifica

Se il segnale   è reale, allora la sua trasformata di Fourier   ha le seguenti relazioni di parità:

  • la parte reale   è pari:
     
  • la parte immaginaria   è dispari:
     
  • il modulo   è pari:
     
  • la fase   è dispari:
     

Se il segnale   è reale vale inoltre la simmetria hermitiana (o simmetria coniugata):

 

Convoluzione e prodottoModifica

La trasformata di Fourier della convoluzione è pari al prodotto delle singole trasformate:

 

Derivazione ed integrazioneModifica

Derivazione
 
 
Integrazione
 

DualitàModifica

 

Altre proprietàModifica

Uguaglianza di Parseval
 
Invarianza prodotto scalare
 
Diseguaglianza di Schwarz
 

Relazione tempo-frequenzaModifica

Secondo la proprietà dello scalamento espandere l'asse dei tempi corrisponde a comprimere l'asse delle frequenze.

Per valutare quantitativamente la compattezza non si può tuttavia usare il supporto, perché si dimostra che:[2]

  • se la funzione   ha supporto finito, la sua trasformata   non ha supporto finito;
  • se la funzione   ha supporto finito, la sua antitrasformata   non ha supporto finito.

Si definisce estensione temporale  :

 

Si definisce estensione di frequenza  :

 

È possibile dimostrare che vale:

 

L'estensione è il valore quadratico medio di una variabile casuale con distribuzione pari a:

  • tempo:  
  • frequenza:  

Supponendo nullo il valor medio, il valore quadratico medio coincide con la varianza.

Linearità  
Anticipo o ritardo  
Modulazione e traslazione  
Scalamento  
Relazioni di parità  
Convoluzione e prodotto  
Dualità  

Esempi di trasformateModifica

Funzione porta
 
Segnale numerico

Nel trasferimento in modulazione di un segnale digitale, il segnale sagomatore di riferimento viene moltiplicato in ampiezza per +1 o −1 (invertito) a seconda se il bit da trasferire è rispettivamente 1 o 0. Generalizzando da una base binaria a una base qualunque, il segnale sagomatore   viene moltiplicato per una opportuna costante  , e il segnale digitale   sia ottenuto dalla seguente combinazione lineare:

 

Per la proprietà del ritardo:

 

Per la proprietà di linearità:

 

Siccome   è a coefficiente della sommatoria, un segnale numerico   non può avere un'occupazione spettrale maggiore di quella del segnale sagomatore   → l'ampiezza dello spettro   del segnale è controllabile tramite un opportuno segnale sagomatore.

Infine per la proprietà di modulazione:

 

NoteModifica

  1. Questa proprietà discende direttamente dalla linearità dell'operatore integrale.
  2. Si noti che se la funzione o la sua trasformata hanno supporto infinito non si può dire niente sul supporto della corrispondente funzione.