Teoria dei segnali2/Diagrammi a blocchi

Diagrammi a blocchi

Un diagramma a blocchi è un sistema LTI costituito da un insieme di sistemi LTI interconnessi tramite dei blocchi fondamentali.

Blocchi fondamentali

Sommatore		$y\left(t\right)=x_{1}\left(t\right)+x_{2}\left(t\right)$ $Y\left(f\right)=X_{1}\left(f\right)+X_{2}\left(f\right)$
Ritardatore		$h\left(t\right)=\delta \left(t-T\right)$ $H\left(f\right)=e^{-j2\pi fT}$	$y\left(t\right)=x\left(t-T\right)$ $Y\left(f\right)=X\left(f\right)e^{-j2\pi fT}$
Amplificatore		$h\left(t\right)=A\delta \left(t\right)$ $H\left(f\right)=A$	$y\left(t\right)=Ax\left(t\right)$ $Y\left(f\right)=AX\left(f\right)$

Tipi di interconnessione

Serie		$y\left(t\right)=x\left(t\right)*h_{1}\left(t\right)*h_{2}\left(t\right)$ $Y\left(f\right)=X\left(f\right)H_{1}\left(f\right)H_{2}\left(f\right)$
Parallelo		$y\left(t\right)=x\left(t\right)*\left[h_{1}\left(t\right)+h_{2}\left(t\right)\right]$ $Y\left(f\right)=X\left(f\right)\left[H_{1}\left(f\right)+H_{2}\left(f\right)\right]$
Retroazione (o feedback)		$y\left(t\right)=\left[x\left(t\right)+y\left(t\right)*h_{2}\left(t\right)\right]*h_{1}\left(t\right)$ $Y\left(f\right)=X\left(f\right){\frac {H_{1}\left(f\right)}{1-H_{1}\left(f\right)H_{2}\left(f\right)}}$

Dimostrazione retroazione

$Y\left(f\right)=\left[X\left(f\right)+Y\left(f\right)H_{2}\left(f\right)\right]H_{1}\left(f\right)$

$Y\left(f\right)\left[1-H_{2}\left(f\right)H_{1}\left(f\right)\right]=X\left(f\right)H_{1}\left(f\right)$

$H\left(f\right)={\frac {Y\left(f\right)}{X\left(f\right)}}={\frac {H_{1}\left(f\right)}{1-H_{2}\left(f\right)H_{1}\left(f\right)}}$

Con ritardatori e amplificatori opportunamente concatenati si possono ottenere sistemi LTI con funzioni di trasferimento desiderate nella forma:

• senza retroazione (FIR):

  $H_{\text{FIR}}\left(f\right)=\sideset {}{_{i}}\sum {{\alpha }_{i}e^{-j2\pi f{\tau }_{i}}}$

• con retroazione (IIR):

  $H_{\text{IIR}}\left(f\right)={\frac {\sideset {}{_{i}}\sum {{\alpha }_{i}e^{-j2\pi f{\tau }_{i}}}}{\sideset {}{_{k}}\sum {{\beta }_{k}e^{-j2\pi f{\tau }_{k}}}}}$

Definizioni di banda

La banda di un segnale o di un sistema può essere definita in vari modi a seconda del contesto applicativo.

Siccome la trasformata di Fourier di un segnale o di un sistema reale è pari, quindi simmetrica rispetto all'asse delle ordinate, spesso si considera solo la parte positiva dell'asse delle frequenze misurando la banda unilatera, che equivale alla metà della banda bilatera.

Misura del supporto

La larghezza di banda è pari al supporto del segnale nel dominio della frequenza, cioè all'intervallo di frequenze in cui il segnale non è nullo.

Spesso la definizione di banda come misura del supporto della trasformata di Fourier è troppo restrittiva, perché molti segnali e sistemi hanno in realtà una trasformata di Fourier con supporto infinito. Molti sistemi tuttavia presentano un intervallo di frequenze dove la funzione di trasferimento è quasi nulla.

Banda a 3 dB

Questa definizione è usata in particolare quando si parla di filtri.

Su scala lineare (${\left|H\left(f\right)\right|}^{2}$)

La larghezza di banda $B_{p}$ è pari all'intervallo di frequenze compreso tra la frequenza di taglio inferiore $f_{1}$ e la frequenza di taglio superiore $f_{2}$:

• la frequenza di taglio inferiore $f_{1}$ corrisponde a un dimezzamento rispetto al valore massimo $A$;
• la frequenza di taglio superiore $f_{2}$ corrisponde a un dimezzamento rispetto al valore massimo $A$.

Su scala logaritmica (${\left|H\left(f\right)\right|}_{\text{dB}}^{2}=20\log _{10}{\left|H\left(f\right)\right|}$)

La larghezza di banda $B_{p}$ è pari all'intervallo di frequenze compreso tra la frequenza di taglio inferiore $f_{1}$ e la frequenza di taglio superiore $f_{2}$:

• la frequenza di taglio inferiore $f_{1}$ corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo $A_{\text{dB}}$;
• la frequenza di taglio superiore $f_{2}$ corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo $A_{\text{dB}}$.

Classificazione dei filtri

• filtro passa-basso (detto banda base): il filtro ha banda finita centrata intorno all'origine (DC);
• filtro passa-banda: il filtro ha banda finita, che non include l'origine;
• filtro passa-alto: il filtro ha banda infinita, che non include l'origine;
• filtro elimina-banda: il filtro ha banda infinita, e non include un certo intervallo di frequenze.

Gli ultimi due tipi di filtri sono ideali perché non esistono filtri a banda infinita.

Per filtro ideale si intende quello che presenta le migliori caratteristiche possibili:

• guadagno unitario nella banda passante;
• guadagno nullo nella banda attenuata (o oscura).

I filtri ideali non sono realizzabili.

Banda equivalente di rumore

La larghezza di banda $B_{\text{eq}}$ è pari alla larghezza del rettangolo:

• la cui altezza è pari al massimo $A$ di ${\left|H\left(f\right)\right|}^{2}$;
• la cui area è uguale all'energia complessiva $E\left(H\right)$ della funzione di trasferimento, cioè all'area di ${\left|H\left(f\right)\right|}^{2}$ sull'intero asse delle frequenze:

$B_{\text{eq}}={\frac {E\left(H\left(f\right)\right)}{A}}$

Banda che contiene una data percentuale di energia

La larghezza di banda $B_{x\%}$ è pari al supporto della parte di grafico la cui energia corrisponde all'$x\%$ dell'energia complessiva $E\left(H\right)$ della funzione di trasferimento, ovvero dell'area di ${\left|H\left(f\right)\right|}^{2}$ sull'intero asse delle frequenze:

$B_{x\%}=\left|a-b\right|:\,\int _{a}^{b}{\left|H\left(f\right)\right|}^{2}df={\frac {x}{100}}E\left(H\right)$

Estensione di frequenza

La banda è l'estensione di frequenza $D$:

$D^{2}=4{\pi }^{2}\int f^{2}{\frac {{\left|X\left(f\right)\right|}^{2}}{E\left(x\right)}}df$

Per approfondire, vedi 3. Proprietà trasformata.

Distorsione lineare

La distorsione lineare è il fenomeno che modifica la forma del segnale di ingresso di un sistema LTI: le sinusoidi che passano per un sistema LTI non sono tutte moltiplicate per uno stesso valore costante. Un sistema LTI non presenta distorsione lineare se introduce solo un'amplificazione e/o un ritardo, senza modificare la forma:

$y\left(t\right)=kx\left(t-t_{D}\right)$

cioè la funzione di trasferimento $H\left(f\right)$ del sistema deve avere modulo costante e fase lineare:

$H\left(f\right)=ke^{-j2\pi t_{D}f}$

I blocchi fondamentali ideali, amplificatore e ritardatore, qualsiasi frequenza si consideri non introducono alcuna distorsione lineare. Nella realtà non è possibile realizzare un sistema non distorcente ideale, ma si possono realizzare dei sistemi che non introducono distorsione limitatamente a una certa banda.

Una distorsione lineare è eliminabile con un equalizzatore posto in serie. Ad esempio, se un segnale $x\left(t\right)$ viene distorto da un canale, cioè un sistema LTI la cui funzione di trasferimento $H_{c}\left(f\right)$ non è modificabile, è possibile porre in serie un equalizzatore che abbia una funzione di trasferimento $H_{e}\left(f\right)$ con a denominatore proprio $H_{e}\left(f\right)$ (che si semplifica nel prodotto delle funzioni di trasferimento nella serie):

$H_{e}\left(f\right)={\frac {ke^{-j2\pi t_{D}f}}{H_{e}\left(f\right)}}$

Modulazione e demodulazione

Modulazione

Si ricorda che la modulazione di un segnale $x\left(t\right)$, cioè la sua moltiplicazione con una cosinusoide, corrisponde nel dominio della frequenza a uno "sdoppiamento" dello spettro:

${\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\cos {\left(2\pi f_{0}t\right)}\right\}={\frac {1}{2}}\left[X\left(f-f_{0}\right)+X\left(f+f_{0}\right)\right]$

Grazie alla modulazione è possibile trasferire un segnale $x\left(t\right)$ in banda base attraverso un canale (ad esempio radio) avente una funzione di trasferimento $H_{c}\left(f\right)$ di tipo passa-banda.

Il segnale modulato $X'\left(f\right)$:

$X'\left(f\right)={\frac {1}{2}}\left[X\left(f-f_{0}\right)+X\left(f+f_{0}\right)\right]$

attraversa il canale e viene ricevuto amplificato (o attenuato) dal filtro passa-banda:

$Y\left(f\right)={\frac {A}{2}}\left[X\left(f-f_{0}\right)+X\left(f+f_{0}\right)\right]$

Demodulazione

Il segnale originario può essere ora ricostruito tramite la demodulazione:

1. il segnale ricevuto $Y\left(f\right)$ viene modulato di nuovo in base alla stessa frequenza $f_{0}$ di prima:

$Y'\left(f\right)={\frac {A}{2}}X\left(f\right)+{\frac {A}{4}}\left[X\left(f-2f_{0}\right)+X\left(f+2f_{0}\right)\right]$

Dimostrazione

Assumendo per semplicità che l'ampiezza del segnale $x\left(t\right)$ sia pari a 1, il segnale modulato vale:

${\mathcal {F}}\left\{\cos {\left(2\pi f_{0}t\right)}\right\}={\frac {1}{2}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)+\delta \left(f+f_{0}\right)\right]$

Con un'ulteriore modulazione si ottiene:

${\mathcal {F}}\left\{\cos {\left(2\pi f_{0}t\right)\cos {\left(2\pi f_{0}t\right)}}\right\}=\left\{{\frac {1}{2}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)+\delta \left(f+f_{0}\right)\right]\right\}*\left\{{\frac {1}{2}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)+\delta \left(f+f_{0}\right)\right]\right\}={\frac {1}{4}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)*\delta \left(f-f_{0}\right)+2\delta \left(f-f_{0}\right)*\delta \left(f+f_{0}\right)+\delta \left(f+f_{0}\right)*\delta \left(f+f_{0}\right)\right]$

$\delta \left(f-f_{0}\right)*\delta \left(f-f_{0}\right)=\delta \left(f-2f_{0}\right)$

$\delta \left(f-f_{0}\right)*\delta \left(f+f_{0}\right)=\delta \left(f\right)$

$\delta \left(f+f_{0}\right)*\delta \left(f+f_{0}\right)=\delta \left(f+2f_{0}\right)$

$={\frac {1}{4}}\left[\delta \left(f-2f_{0}\right)+2\delta \left(f\right)+\delta \left(f+2f_{0}\right)\right]$

ottenendo nel dominio della frequenza tre repliche, di cui quella centrale è proprio il segnale originario solo amplificato (o attenuato):

2. le componenti ad alta frequenza vengono eliminate tramite un opportuno filtro passa-basso, riottenendo così il segnale originario.

Perché il sistema funzioni devono essere rispettate le seguenti condizioni:

• la banda passante del canale deve essere più grande della banda del segnale da trasmettere;
• la banda del filtro in ricezione deve essere più grande della banda del segnale trasmesso;
• la frequenza centrale $f_{0}$ deve essere maggiore della banda unilatera del segnale da trasmettere.

Se la funzione di trasferimento del canale non è piatta, cioè è distorcente, nell'intervallo di frequenze del segnale trasmesso il filtro di ricezione può, oltre a fare da filtro passa-banda, anche compensare la distorsione e quindi servire da filtro di equalizzazione.

Multiplazione in frequenza

Più segnali con occupazione di banda sovrapposta possono essere multiplati, cioè trasmessi in contemporanea, su un singolo canale modulandoli in base a frequenze $f_{i}$ diverse, in modo che gli spettri non si sovrappongano l'un l'altro.