Teoria dei segnali2/Trasformazioni e spettro di potenza
Trasformazioni lineari di processi casuali
modificaUn sistema deterministico che elabora un processo casuale fornisce alla sua uscita un processo casuale .
Se il sistema è lineare, la media:
e la funzione di autocorrelazione:
dell'uscita sono esprimibili rispettivamente in funzione della media e dell'autocorrelazione dell'ingresso .[1]
Esempi
modifica- Integrale
- Derivata
È spesso molto difficile determinare la distribuzione di probabilità del processo in uscita. Se il processo in ingresso è gaussiano, allora il processo in uscita da un qualsiasi sistema lineare è ancora gaussiano.
Trasformazioni lineari tempo-invarianti
modificaSe il sistema è LTI, di funzione di trasferimento , e il processo di ingresso è stazionario in senso lato, valgono le seguenti espressioni:
Si ricorda che la funzione di autocorrelazione è definita diversamente per i segnali determinati:
Trasformazioni lineari tempo-varianti
modificaModulazione di ampiezza
modificaIl segnale analogico è rappresentato dal processo in ingresso (messaggio). Nella modulazione di ampiezza, il messaggio modula l'ampiezza della sinusoide portante (segnale determinato):
Sotto le ipotesi:
- il processo è stazionario in senso lato;
- il valor medio è nullo;
si ottiene:
Per stazionarizzare il processo in uscita , la fase diventa una variabile casuale uniforme in :
Modulazione di fase
modificaNella modulazione di fase, il messaggio modula la fase della sinusoide portante:
dove è la funzione caratteristica:
Nel caso di un processo gaussiano, stazionarizzando con variabile casuale uniforme in :
La funzione caratteristica del processo gaussiano vale:
Siccome è stazionario in senso lato:
Inoltre:
Se la sinusoide portante è reale:
la funzione di autocorrelazione (sempre nel caso gaussiano) vale:
Densità spettrale di potenza
modificaLa densità spettrale di potenza, o spettro di potenza, di un processo stazionario in senso lato è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione :
Proprietà
modifica- è reale e pari;
- è sempre positiva;
- lo spettro di potenza di un processo stazionario in senso lato in uscita da un sistema LTI è:
- l'integrale di coincide con la potenza media del processo:
- dove è il valore quadratico medio del processo.
Interpretazione fisica
modificaSe il sistema LTI è un filtro passabanda centrato alla frequenza con banda infinitesimale :
la densità spettrale , centrata in , del processo in ingresso è proporzionale alla potenza media del processo in uscita :
Rumore gaussiano bianco
modificaIl rumore gaussiano bianco (WGN) è un modello teorico per il processo termico generato ai capi di una resistenza a temperatura :
- il processo è stazionario e gaussiano;
- il valor medio è nullo;
- la densità spettrale di potenza è costante con la frequenza:
- la funzione di autocorrelazione :
- è nulla per → qualsiasi coppia di campioni non prelevati allo stesso istante è scorrelata, e quindi statisticamente indipendente;
- diverge se la coppia di campioni è prelevata nello stesso istante di tempo ( ) → il processo ha potenza media infinita.
Quando un rumore gaussiano bianco entra in un sistema LTI , il processo di uscita è gaussiano colorato (CGN) con spettro di potenza non più costante:
Note
modifica- ↑ Sotto certe condizioni sul processo di ingresso e sulle sue statistiche del secondo ordine.