Teoria dei segnali2/Trasformazioni e spettro di potenza

Indice del libro

Trasformazioni lineari di processi casualiModifica

Un sistema deterministico che elabora un processo casuale   fornisce alla sua uscita un processo casuale  .

Se il sistema è lineare, la media:

 

e la funzione di autocorrelazione:

 

dell'uscita sono esprimibili rispettivamente in funzione della media e dell'autocorrelazione dell'ingresso  .[1]

EsempiModifica

Integrale
 
Derivata
 

È spesso molto difficile determinare la distribuzione di probabilità del processo in uscita. Se il processo   in ingresso è gaussiano, allora il processo   in uscita da un qualsiasi sistema lineare è ancora gaussiano.

Trasformazioni lineari tempo-invariantiModifica

Se il sistema è LTI, di funzione di trasferimento  , e il processo di ingresso   è stazionario in senso lato, valgono le seguenti espressioni:

  •  
  •  
  •  

Si ricorda che la funzione di autocorrelazione   è definita diversamente per i segnali determinati:

 

Trasformazioni lineari tempo-variantiModifica

Modulazione di ampiezzaModifica

Il segnale analogico è rappresentato dal processo in ingresso   (messaggio). Nella modulazione di ampiezza, il messaggio modula l'ampiezza della sinusoide portante (segnale determinato):

 

Sotto le ipotesi:

  • il processo   è stazionario in senso lato;
  • il valor medio   è nullo;

si ottiene:

 

Per stazionarizzare il processo in uscita  , la fase   diventa una variabile casuale uniforme in  :

 

Modulazione di faseModifica

Nella modulazione di fase, il messaggio modula la fase della sinusoide portante:

 

dove   è la funzione caratteristica:

 

Nel caso di un processo gaussiano, stazionarizzando con   variabile casuale uniforme in  :

 

Se la sinusoide portante è reale:

 

la funzione di autocorrelazione (sempre nel caso gaussiano) vale:

 

Densità spettrale di potenzaModifica

La densità spettrale di potenza, o spettro di potenza,   di un processo   stazionario in senso lato è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione  :

 

ProprietàModifica

  •   è reale e pari;
  •   è sempre positiva;
  • lo spettro di potenza   di un processo   stazionario in senso lato in uscita da un sistema LTI è:
     
  • l'integrale di   coincide con la potenza media   del processo:
     
dove   è il valore quadratico medio del processo.

Interpretazione fisicaModifica

Se il sistema LTI è un filtro   passabanda centrato alla frequenza   con banda infinitesimale  :

la densità spettrale  , centrata in  , del processo in ingresso   è proporzionale alla potenza media del processo in uscita  :

 

Rumore gaussiano biancoModifica

Il rumore gaussiano bianco (WGN) è un modello teorico per il processo termico generato ai capi di una resistenza a temperatura  :

  • il processo   è stazionario e gaussiano;
  • il valor medio è nullo;
  • la densità spettrale di potenza è costante con la frequenza:
     
  • la funzione di autocorrelazione  :
     
    • è nulla per   → qualsiasi coppia di campioni non prelevati allo stesso istante è scorrelata, e quindi statisticamente indipendente;
    • diverge se la coppia di campioni è prelevata nello stesso istante di tempo ( ) → il processo ha potenza media infinita.

Quando un rumore gaussiano bianco   entra in un sistema LTI  , il processo di uscita   è gaussiano colorato (CGN) con spettro di potenza non più costante:

 

NoteModifica

  1. Sotto certe condizioni sul processo di ingresso e sulle sue statistiche del secondo ordine.