Teoria dei segnali2/Medie temporali ed ergodicità

Indice del libro

Se il processo è ergodico, è sufficiente una sua qualunque realizzazione per estrarne le statistiche. Il sistema che genera il processo può evolvere attraverso tutti i suoi possibili stati partendo da una qualsiasi condizione iniziale.

MediaModifica

Media d'insieme di un processo casualeModifica

Dato un processo casuale   ed una qualsiasi funzione  , la media d'insieme:

 

su un insieme "discreto" di realizzazioni si può interpretare come la media pesata delle realizzazioni del processo  , e a differenza della media temporale restituisce un valore dipendente dal tempo:

 

Media temporaleModifica

Media temporale di un segnale determinatoModifica

Dato un segnale determinato   ed una qualsiasi funzione  , l'operatore di media temporale è definito:[1]

 
Valor medio
 
Potenza media
 

Media temporale di più segnali determinatiModifica

La media temporale di una funzione   di   segnali  , valutati a istanti di tempo anche differenti, è una funzione di   variabili   (la variabile   viene integrata):

 

Media temporale di una realizzazioneModifica

Siccome una specifica realizzazione   di un processo casuale   è un segnale determinato, anche ad esso è possibile applicare l'operatore di media temporale:

 

Il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.

Esempio: Potenza

La media temporale è la potenza istantanea di una certa realizzazione:

 

La media d'insieme è legata alla potenza media del processo:[non chiaro]

 

Ergodicità per la mediaModifica

Un processo   è ergodico per la media se la sua media d'insieme coincide con la media temporale di una sua qualsiasi realizzazione:

 

Nel caso di   funzione identità, se l'autocovarianza   è modulo integrabile il processo   è ergodico per la media.

Ergodicità per la media e stazionarietàModifica

  • Il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.
  • Il processo è stazionario in senso stretto di ordine 1 se la sua media d'insieme è costante nel tempo.

L'ergodicità per la media implica la stazionarietà per la media, ma la stazionarietà per la media non implica l'ergodicità per la media.

Esempi
  • se il processo   contiene tutte le traslazioni di un segnale  , e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo è ergodico:
 
  • se il processo   contiene tutte le traslazioni di due segnali diversi   e  , e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo non è ergodico perché una qualsiasi realizzazione può essere la traslazione o di   o di  :
 
  • segnale vocale:[2] non è ergodico perché una persona non può fisicamente generare tutti i segnali generabili da un qualunque essere umano;
  • rumore termico[3] a una temperatura data: è ergodico perché non dipende dalla resistenza scelta.

AutocorrelazioneModifica

Si ricorda che esistono due diverse definizioni per l'autocorrelazione a seconda se si parli di segnali determinati o di processi casuali:

  • autocorrelazione per segnali determinati a potenza finita:
     
  • autocorrelazione per processi casuali:
     

Ergodicità per l'autocorrelazioneModifica

Un processo   è ergodico per l'autocorrelazione se la sua autocorrelazione   coincide con l'autocorrelazione   di una sua qualsiasi realizzazione:

 

dove   è l'autocorrelazione della realizzazione  :

 

Se il processo   è ergodico per l'autocorrelazione, allora lo spettro di potenza   può essere valutato a partire da una sua qualsiasi realizzazione:

 

Ergodicità per l'autocorrelazione e stazionarietàModifica

  • Il processo è stazionario per la sua autocorrelazione   se questa non dipende dalla realizzazione.
  • Il processo è stazionario in senso stretto di ordine 2 se la sua autocorrelazione   dipende solo da  .

L'ergodicità per l'autocorrelazione implica la stazionarietà per l'autocorrelazione, ma la stazionarietà per l'autocorrelazione non implica l'ergodicità per l'autocorrelazione.

NoteModifica

  1. Da non confondere con l'operatore di prodotto scalare.
  2. Un segnale vocale è l'insieme dei segnali generabili dall'apparato fonatorio di un umano.
  3. Il rumore termico è l'insieme dei segnali generabili da una qualsiasi resistenza posta a temperatura  .