Teoria dei segnali2/Campionamento

Indice del libro

Un segnale analogico è più facile da elaborare se viene campionato in un segnale numerico, cioè tempo discreto e discreto in ampiezza. Come campionare un segnale tempo-continuo senza perdere informazione?

Teorema del campionamento (o di Nyquist-Shannon)

Un segnale tempo-continuo può essere campionato e perfettamente ricostruito a partire dai suoi campioni se la frequenza di campionamento è maggiore del doppio della banda[1] del segnale:

con la condizione che la banda sia limitata.

Il teorema del campionamento garantisce che il segnale campionato può essere ricostruito perfettamente tramite un filtro interpolatore (ricostruttore), e che il segnale ricostruito coinciderà con il segnale tempo-continuo di partenza.

Filtro anti-aliasingModifica

La maggioranza dei segnali utilizzati nella realtà ha banda illimitata: esiste un intervallo al di fuori del quale il segnale è significativamente vicino a zero, ma non è mai identicamente nullo. Il segnale campionato quindi presenterà nel dominio della frequenza delle sovrapposizioni degli spettri che alla fine non possono essere ricostruite dal filtro interpolatore. Il filtro anti-aliasing serve per eliminare le parti ad alta frequenza prima del campionamento:

 

con  . La distorsione del filtro anti-aliasing non è ugualmente rimediabile, ma è comunque preferibile rispetto all'effetto di aliasing (o sovrapposizione).

Campionatori realiModifica

Il campionatore ideale (treno di delta):

 

è impossibile da realizzare nella realtà, perché la delta   è un impulso con ampiezza illimitata e supporto infinitesimo → si utilizza un impulso   il più possibile simile alla delta, cioè con ampiezza molto grande e supporto molto piccolo:

 

InterpolatoriModifica

Condizioni idealiModifica

Un segnale campionato:

 

può essere ricostruito tramite un filtro passa-basso ideale, detto filtro ricostruttore ottimo  :

 

Il filtro ricostruttore ottimo   deve essere:

  • non distorcente nella banda del segnale (piatto);
  • nullo al di fuori della banda del segnale per eliminare le componenti ad alta frequenza.

Esempi di interpolatori distorcentiModifica

Costante a tratti

Il segnale viene approssimato a una serie di rettangoli:

 
Lineare

Il segnale viene approssimato a una serie di trapezi:

 

Esempi di interpolatori non distorcentiModifica

Funzione sinc

Il filtro interpolatore ideale è il seguente:

 

perché il segnale viene ricostruito da una sommatoria di infinite funzioni sinc, dove per ogni   esiste una sinc che assume esattamente il valore del campione  -esimo all'istante   e un valore nullo in tutti gli altri istanti di campionamento:

 

Tuttavia nei punti intermedi agli istanti di campionamento il segnale   è dato dalla somma dei contributi di infinite funzioni sinc:

Coseno rialzato
 

Condizioni:

  • roll-off  :   (se   diventa la funzione sinc)
  •  
  •  

Condizioni realiModifica

Il filtro ricostruttore può integrare anche un filtro equalizzatore che rimedi agli effetti del filtro anti-aliasing e alle distorsioni provocate da un campionatore reale:

 

a patto che  , cioè la trasformata di Fourier dell'impulso campionatore  , non cancelli definitivamente qualche frequenza compresa nella banda   del filtro anti-aliasing:

 

NoteModifica

  1. Per banda si intende qui la lunghezza del supporto in frequenza.