Teoria dei segnali2/Sistemi lineari

Indice del libro

Un sistema è un blocco che trasforma un segnale in un altro segnale :

È una relazione deterministica: a un certo segnale corrisponde sempre il segnale .

ClassificazioneModifica

Sistemi lineariModifica

Un sistema è lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti:

 

La trasformata di Fourier è un sistema lineare.

Sistemi tempo-invariantiModifica

Un sistema è tempo-invariante se un ritardo sugli ingressi si traduce in un ritardo sulle uscite:

 

Sistemi causaliModifica

Un sistema è causale se l'uscita in un certo istante   non dipende dagli ingressi negli istanti successivi, ma dipende solo dagli ingressi negli istanti precedenti e nell'istante corrente:

 

Sistemi senza memoriaModifica

Un sistema è senza memoria se l'uscita   dipende solo dal valore assunto dall'ingresso   nel dato istante di tempo  :

 

Sistemi realiModifica

Un sistema è reale se a un ingresso reale corrisponde un'uscita reale.

Un sistema è fisicamente realizzabile se è causale e reale.

Sistemi stabiliModifica

Un sistema è stabile se a un ingresso limitato in ampiezza corrisponde un'uscita limitata in ampiezza, e per questo motivo viene detto Bounded Input Bounded Output (BIBO):

 

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)Modifica

I sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) possono essere descritti da un'unica funzione   che è la risposta all'impulso:

 

dove:

 

La trasformata di Fourier dell'uscita di un sistema LTI vale:

 

dove   è detta funzione di trasferimento:

 

I sistemi LTI non alterano la frequenza di un segnale sinusoidale posto all'ingresso, ma solo la fase e l'ampiezza → le sinusoidi sono autofunzioni di un sistema LTI: l'uscita di una sinusoide è la sinusoide stessa moltiplicata per una costante (complessa → modulo e fase).

Sistemi LTI causaliModifica

La risposta all'impulso   di un sistema LTI causale è nulla per  :

 

Sistemi LTI realiModifica

La risposta all'impulso   di un sistema LTI reale è reale, e la funzione di trasferimento   deve avere:

  • parte reale pari;
  • parte immaginaria dispari;
  • modulo pari;
  • fase dispari.

Sistemi LTI stabiliModifica

Un sistema LTI è stabile se e solo se la risposta all'impulso   è modulo integrabile:

 


EsempiModifica

Filtro RC con una porta di ingresso
 
 
Canale radio con eco

Un segnale radio quando viene trasmesso si propaga in tutte le direzioni, e viene riflesso dagli oggetti fisici dell'ambiente, detti scatterer. Gli echi arrivano perciò al ricevitore ognuno con un certo ritardo   e una certa amplificazione/attenuazione  . Trasmettendo un impulso  , viene ricevuto un segnale con eco  :

 

dove   è il numero di segnali eco che arrivano al ricevitore.

La sua trasformata   vale:

 

Si dimostra che il suo modulo al quadrato vale:

 

Se  , il canale non è selettivo in frequenza, cioè tutte le sinusoidi vengono moltiplicate per la stessa ampiezza:

 

Se   si introduce la selettività in frequenza: