Teoria dei segnali2/Sistemi lineari

Un sistema è un blocco che trasforma un segnale $x\left(t\right)$ in un altro segnale $y\left(t\right)$:

$y\left(t\right)={\mathcal {T}}\left\{x\left(t\right)\right\}$

È una relazione deterministica: a un certo segnale $x\left(t\right)$ corrisponde sempre il segnale $y\left(t\right)$.

Classificazione

Sistemi lineari

Un sistema è lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti:

${\mathcal {T}}\left\{a_{1}x_{1}\left(t\right)+a_{2}x_{2}\left(t\right)\right\}=a_{1}{\mathcal {T}}\left\{x_{1}\left(t\right)\right\}+a_{2}{\mathcal {T}}\left\{x_{2}\left(t\right)\right\}$

La trasformata di Fourier è un sistema lineare.

Sistemi tempo-invarianti

Un sistema è tempo-invariante se un ritardo sugli ingressi si traduce in un ritardo sulle uscite:

${\mathcal {T}}\left\{x\left(t-\theta \right)\right\}=y\left(t-\theta \right)$

Sistemi causali

Un sistema è causale se l'uscita in un certo istante $t_{0}$ non dipende dagli ingressi negli istanti successivi, ma dipende solo dagli ingressi negli istanti precedenti e nell'istante corrente:

$y\left(t_{0}\right)={\mathcal {T}}\left\{\left.x\left(t\right)\right\vert _{-\infty }^{t_{0}}\right\}\quad \forall t_{0}$

Sistemi senza memoria

Un sistema è senza memoria se l'uscita $y\left(t\right)$ dipende solo dal valore assunto dall'ingresso $x\left(t\right)$ nel dato istante di tempo $t_{0}$:

$y\left(t_{0}\right)={\mathcal {T}}\left\{x\left(t_{0}\right)\right\}\quad \forall t_{0}$

Sistemi reali

Un sistema è reale se a un ingresso reale corrisponde un'uscita reale.

Un sistema è fisicamente realizzabile se è causale e reale.

Sistemi stabili

Un sistema è stabile se a un ingresso limitato in ampiezza corrisponde un'uscita limitata in ampiezza, e per questo motivo viene detto Bounded Input Bounded Output (BIBO):

$\forall x\left(t\right):\,\left|x\left(t\right)\right|\in \mathbb {R} ,\,\forall t\Rightarrow \left|y\left(t\right)\right|\in \mathbb {R} ,\,\forall t$

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

I sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) possono essere descritti da un'unica funzione $h\left(t\right)$ che è la risposta all'impulso:

$y\left(t\right)={\mathcal {T}}\left\{x\left(t\right)\right\}=x\left(t\right)*h\left(t\right)$

dove:

$h\left(t\right)\triangleq {\mathcal {T}}\left\{\delta \left(t\right)\right\}$

Dimostrazione

Ogni segnale è ottenibile come combinazione lineare dell'insieme di delta:

$x\left(t\right)=\int x\left(u\right)\delta \left(t-u\right)du$

Perciò:

$y\left(t\right)={\mathcal {T}}\left\{x\left(t\right)\right\}={\mathcal {T}}\left\{\int x\left(u\right)\delta \left(t-u\right)du\right\}=$

Poiché il sistema ${\mathcal {T}}$ è lineare:

$=\int x\left(u\right){\mathcal {L}}\left\{\delta \left(t-u\right)\right\}du=$

Poiché il sistema ${\mathcal {T}}$ è tempo-invariante:

$=\int x\left(u\right)h\left(t-u\right)du=x\left(t\right)*h\left(t\right)$

La trasformata di Fourier dell'uscita di un sistema LTI vale:

$Y\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{{\mathcal {T}}\left\{x\left(t\right)\right\}\right\}=H\left(f\right)X\left(f\right)$

dove $H\left(f\right)$ è detta funzione di trasferimento:

$H\left(f\right)={\frac {Y\left(f\right)}{X\left(f\right)}}$

I sistemi LTI non alterano la frequenza di un segnale sinusoidale posto all'ingresso, ma solo la fase e l'ampiezza → le sinusoidi sono autofunzioni di un sistema LTI: l'uscita di una sinusoide è la sinusoide stessa moltiplicata per una costante (complessa → modulo e fase).

Dimostrazione

Considerando la sinusoide complessa $x\left(t\right)=e^{j2\pi f_{0}t}$:

$Y\left(f\right)=X\left(f\right)H\left(f\right)=\delta \left(f-f_{0}\right)H\left(f\right)=$

Per la proprietà della delta di Dirac:

$=\delta \left(f-f_{0}\right)H\left(f_{0}\right)$

Antitrasformando:

$y\left(t\right)=H\left(f_{0}\right)e^{j2\pi f_{0}t}=x\left(t\right)H\left(f_{0}\right)$

Se $h\left(t\right)$ è una funzione reale, vale la simmetria hermitiana:

$H\left(-f\right)=H^{*}\left(-f\right)$

---

Se $x\left(t\right)=\cos {\left(2\pi f_{0}t\right)}$:

$Y\left(f\right)=X\left(f\right)H\left(f\right)={\frac {1}{2}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)+\delta \left(f+f_{0}\right)\right]H\left(f\right)={\frac {1}{2}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)H\left(f_{0}\right)+\delta \left(f+f_{0}\right)H\left(-f_{0}\right)\right]$

$y\left(t\right)={\frac {1}{2}}\left[H\left(f_{0}\right)e^{j2\pi f_{0}t}+H\left(-f_{0}\right)e^{-j2\pi f_{0}t}\right]=$

Se $h\left(t\right)\in \mathbb {R}$:

$=\Re {\left\{H\left(f_{0}\right)e^{j2\pi f_{0}t}\right\}}=\left|H\left(f_{0}\right)\right|\cos {\left[2\pi f_{0}t+\arg {X\left(f_{0}\right)}\right]}$

---

Se $x\left(t\right)=\sin {\left(2\pi f_{0}t\right)}$:

$Y\left(f\right)=X\left(f\right)H\left(f\right)={\frac {1}{2j}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)-\delta \left(f+f_{0}\right)\right]H\left(f\right)={\frac {1}{2j}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)H\left(f_{0}\right)-\delta \left(f+f_{0}\right)H\left(-f_{0}\right)\right]$

$y\left(t\right)={\frac {1}{2j}}\left[H\left(f_{0}\right)e^{j2\pi f_{0}t}-H\left(-f_{0}\right)e^{-j2\pi f_{0}t}\right]=$

Se $h\left(t\right)\in \mathbb {R}$:

$=\Im {\left\{H\left(f_{0}\right)e^{j2\pi f_{0}t}\right\}}=\left|H\left(f_{0}\right)\right|\sin {\left[2\pi f_{0}t+\arg {X\left(f_{0}\right)}\right]}$

Sistemi LTI causali

La risposta all'impulso $h\left(t\right)$ di un sistema LTI causale è nulla per $t<0$:

$h\left(t\right)=u\left(t\right)h\left(t\right)$

Dimostrazione

$y\left(t\right)=x\left(t\right)*h\left(t\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }y\left(\tau \right)h\left(t-\tau \right)d\tau =$

Siccome il sistema è causale:

$=\int _{-\infty }^{t}y\left(\tau \right)h\left(t-\tau \right)d\tau =\int _{-\infty }^{+\infty }x\left(\tau \right)u\left(t-\tau \right)h\left(t-\tau \right)d\tau$

Sistemi LTI reali

La risposta all'impulso $h\left(t\right)$ di un sistema LTI reale è reale, e la funzione di trasferimento $H\left(f\right)$ deve avere:

• parte reale pari;
• parte immaginaria dispari;
• modulo pari;
• fase dispari.

Sistemi LTI stabili

Un sistema LTI è stabile se e solo se la risposta all'impulso $h\left(t\right)$ è modulo integrabile:

${\text{stabile}}\,\Leftrightarrow \int \left|h\left(t\right)\right|dt\in \mathbb {R} \Rightarrow \left|H\left(f\right)\right|\in \mathbb {R}$

Dimostrazione

Condizione sufficiente

${\text{stabile}}\,\Leftarrow \int \left|h\left(t\right)\right|dt\in \mathbb {R}$

$\left|y\left(t\right)\right|=\left|\int x\left(t-\tau \right)h\left(\tau \right)d\tau \right|\leq \int \left|x\left(x-\tau \right)\right|\left|h\left(\tau \right)\right|d\tau \leq \int \max {\left|x\left(t-\tau \right)\right|}\left|h\left(\tau \right)\right|d\tau =\max {\left|x\left(t-\tau \right)\right|}\int \left|h\left(\tau \right)\right|d\tau$

$\int \left|h\left(\tau \right)\right|d\tau \in \mathbb {R} \Rightarrow \left|y\left(t\right)\right|\in \mathbb {R}$

Condizione necessaria

${\text{stabile}}\,\Rightarrow \int \left|h\left(t\right)\right|dt\in \mathbb {R}$

Consideriamo una funzione $x\left(t\right)$:

$x\left(t\right)=e^{-j\arg {h\left(-t\right)}}$

che è di ampiezza limitata:

$\left|x\left(t\right)\right|=1\;\forall t$

$y\left(0\right)=\int \left.x\left(t-\tau \right)\right\vert _{t=0}h\left(\tau \right)d\tau =\int e^{-j\arg {h\left(\tau \right)}}\left|h\left(\tau \right)\right|e^{j\arg {h\left(\tau \right)}}d\tau =\int \left|h\left(\tau \right)\right|d\tau$

Esempi

Filtro RC con una porta di ingresso

$v_{2}\left(t\right)=Ri\left(t\right)+v_{1}\left(t\right)=RC{\frac {dv_{1}\left(t\right)}{dt}}+v_{1}\left(t\right)$

$V_{2}\left(f\right)=\left(1+j2\pi fRC\right)V_{1}\left(f\right)\Rightarrow H\left(f\right)={\frac {1}{1+j2\pi fRC}}$

Canale radio con eco

Un segnale radio quando viene trasmesso si propaga in tutte le direzioni, e viene riflesso dagli oggetti fisici dell'ambiente, detti scatterer. Gli echi arrivano perciò al ricevitore ognuno con un certo ritardo ${\tau }_{i}$ e una certa amplificazione/attenuazione ${\alpha }_{i}$. Trasmettendo un impulso $\delta$, viene ricevuto un segnale con eco $h\left(t\right)$:

$h\left(t\right)=\sum _{i=1}^{P}{\alpha }_{i}\delta \left(t-{\tau }_{i}\right)$

dove $P$ è il numero di segnali eco che arrivano al ricevitore.

La sua trasformata $H\left(f\right)$ vale:

$H\left(f\right)=\sum _{i=1}^{P}{\alpha }_{i}e^{-j2\pi f{\tau }_{i}}$

Si dimostra che il suo modulo al quadrato vale:

${\left|H\left(f\right)\right|}^{2}=\sum _{i=1}^{P}{\left|{\alpha }_{i}\right|}^{2}+\sum _{i=1}^{P}\sum _{\overset {\scriptstyle k=1}{\scriptstyle k>1}}^{P}2{\alpha }_{i}{\alpha }_{k}\cos {\left(2\pi f\Delta {\tau }_{ik}\right)}$

Se $P=1$, il canale non è selettivo in frequenza, cioè tutte le sinusoidi vengono moltiplicate per la stessa ampiezza:

$\left|H\left(f\right)\right|=\left|{\alpha }_{1}\right|$

Se $P=2$ si introduce la selettività in frequenza:

${\left|H\left(f\right)\right|}^{2}={\left|{\alpha }_{1}\right|}^{2}+{\left|{\alpha }_{2}\right|}^{2}+2{\alpha }_{1}{\alpha }_{2}\cos {\left(2\pi f\Delta {\tau }_{12}\right)}$