Teoria dei segnali2/Serie e trasformata

Base canonica

Funzione porta

${\Pi }_{\Delta t}\left(t\right)$ è la funzione porta unitaria di supporto $\Delta t$ centrato nell'origine. Un segnale $x\left(t\right)$ può essere approssimato con un segnale $x'\left(t\right)$ costante a tratti ottenuto da una combinazione lineare di infinite porte ortogonali tra di loro (cioè con supporto disgiunto):

$x\left(t\right)\approx x'\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\Delta t\right){\Pi }_{\Delta t}\left(t-n\Delta t\right)$

Se $\Delta t\rightarrow 0$ l'approssimazione diventa un'identità:

$x\left(t\right)=x'\left(t\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\Delta t\right){\Pi }_{\Delta t}\left(t-n\Delta t\right)$

Seno cardinale

$\mathrm {sinc} \left(t\right)\triangleq {\frac {\sin {\left(\pi t\right)}}{\pi t}}$

Delta di Dirac

Definizione

$x\left(0\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }x\left(\tau \right)\delta \left(\tau \right)d\tau$

La delta di Dirac si può costruire come limite di varie funzioni, tra cui:

$\delta \left(t\right)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}{\Pi }_{\Delta t}\left(t\right)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{\pi \Delta t}}\right)$

dove:

$\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{\pi \Delta t}}\right)={\frac {\sin {\frac {t}{\Delta t}}}{\frac {t}{\Delta t}}}$

Proprietà

• La delta di Dirac ha area unitaria:

  $\int _{-\infty }^{+\infty }\delta \left(\tau \right)d\tau =1$

• Traslare la delta di Dirac significa trovare tutti i campioni che assume la funzione $x\left(t\right)$:

  $\int _{-\infty }^{+\infty }x\left(\tau \right)\delta \left(t-\tau \right)d\tau =x\left(t\right)$

• La delta di Dirac ha energia infinita:

  $E\left(\delta \right)\to +\infty$

Dimostrazione

${\delta }^{2}\left(t\right)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{{\Delta t}^{2}}}{\Pi }_{\Delta t}\left(t\right)$

$E\left(\delta \right)=\int {\delta }^{2}\left(t\right)dt=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{{\Delta t}^{2}}}\int {\Pi }_{\Delta t}\left(t\right)dt=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{{\Delta t}^{2}}}\Delta t\to +\infty$

• La radice della delta di Dirac:

  ${\sqrt {\delta \left(t\right)}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\sqrt {\Delta t}}}{\Pi }_{\Delta t}\left(t\right)$

ha energia unitaria:

$E\left({\sqrt {\delta }}\right)=1$

Dimostrazione

$E\left({\sqrt {\delta }}\right)=\int {\sqrt {\delta \left(t\right)}}^{2}dt=\int \delta \left(t\right)dt=1$

Definizione della base canonica

L'insieme infinito e non numerabile di delta $\delta \left(t-\tau \right)$ può essere quindi visto come una base canonica non normalizzata per l'insieme dei segnali, cioè un segnale può essere rappresentato come l'insieme dei suoi campioni:

$x\left(t\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }x\left(\tau \right)\delta \left(t-\tau \right)d\tau =\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\Delta t\right)\Delta t\cdot {\frac {1}{\Delta t}}{\Pi }_{\Delta t}\left(t-n\Delta t\right)$

dove gli elementi della base (infiniti e non numerabili) sono:

$\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {1}{\Delta t}}{\Pi }_{\Delta t}\left(t-n\Delta t\right)$

e i coefficienti (infiniti e non numerabili) sono:

$\lim _{\Delta t\rightarrow 0}x\left(n\Delta t\right)\Delta t$

È però una base ortogonale non normalizzata perché ha energia infinita. Le radici della delta invece formano una base ortonormale:

$x\left(t\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\Delta t\right){\sqrt {\Delta t}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\Delta t}}}{\Pi }_{\Delta t}\left(t-n\Delta t\right)$

Energia

$E\left(x\right)=\int x^{2}\left(t\right)dt=\lim _{\Delta \to 0}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x^{2}\left(n\Delta \tau \right)\Delta \tau$

Prodotto scalare

$\langle x,y\rangle =\int x\left(t\right)y^{*}\left(t\right)dt=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(n\Delta \tau \right)y^{*}\left(n\Delta \tau \right)\Delta \tau$

Tuttavia non conviene usare questa base perché non introduce alcuna semplificazione.

Base alternativa sinusoidale

Serie di Fourier

Un segnale è a supporto finito se non è nullo solo nell'intervallo $\left[-{\tfrac {T}{2}},{\tfrac {T}{2}}\right]$. La base canonica per questa classe di segnali è l'insieme dei campioni ristretto al supporto:

$x\left(t\right)=\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x\left(\tau \right)\delta \left(t-\tau \right)d\tau$

Esiste un'altra base ortonormale completa per tutti i segnali complessi ad energia finita e supporto finito, che è un insieme infinito ma, a differenza della base canonica, numerabile:

$x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}w_{n}\left(t\right)={\frac {1}{\sqrt {T}}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\langle x\left(t\right),w_{n}\left(t\right)\rangle e^{j{\frac {2\pi }{T}}nt}$

dove gli elementi della base $w_{n}\left(t\right)$ (infiniti e numerabili) sono:

$w_{n}\left(t\right)={\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{j{\frac {2\pi }{T}}nt}\,,\quad -{\frac {T}{2}}\leq t\leq {\frac {T}{2}}$

e i coefficienti $c_{n}$ (complessi, infiniti e numerabili) sono:

$c_{n}=\langle x\left(t\right),w_{n}\left(t\right)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {T}}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x\left(\theta \right)e^{-j{\frac {2\pi }{T}}n\theta }d\theta$

Siccome la base è completa vale l'uguaglianza di Parseval:

$E\left(x\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\left|c_{n}\right|}^{2}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\left|\langle x\left(t\right),w_{n}\left(t\right)\rangle \right|}^{2}$

Il segnale $x\left(t\right)$ è in corrispondenza biunivoca con una sequenza infinita di coefficienti, e si può vedere come un vettore a infinite dimensioni:

$x\left(t\right)\Leftrightarrow {\left(c_{n}\right)}_{n=-\infty }^{+\infty }$

La base ortonormale introdotta precedentemente è la normalizzazione della seguente base ortogonale:

$x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\mu }_{n}w_{n}'\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\langle x\left(t\right),w_{n}'\left(t\right)\rangle e^{j{\frac {2\pi }{T}}nt}$

dove gli elementi della base $w_{n}'\left(t\right)$ sono:

$w_{n}'\left(t\right)={\sqrt {T}}w_{n}\left(t\right)=e^{j{\frac {2\pi }{T}}nt}\,,\quad -{\frac {T}{2}}\leq t\leq {\frac {T}{2}}$

e i coefficienti ${\mu }_{n}$ sono:

${\mu }_{n}={\frac {1}{\sqrt {T}}}c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x\left(\theta \right)e^{-j{\frac {2\pi }{T}}n\theta }d\theta$

Usando questa base l'energia vale:

$E\left(x\right)=T\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\left|{\mu }_{n}\right|}^{2}$

Trasformata di Fourier

Segnali a supporto $T$ infinito si approssimano con la trasformata di Fourier:

$x\left(t\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }X\left(f\right)e^{j2\pi ft}df$

• $X\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\right\}\triangleq \int _{-\infty }^{+\infty }x\left(\theta \right)e^{-j2\pi f\theta }d\theta$
• $x\left(t\right)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X\left(f\right)\right\}\triangleq \int _{-\infty }^{+\infty }X\left(f\right)e^{j2\pi ft}df$

Dimostrazione

Partendo dalla base ortogonale per supporti finiti:

$x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left[{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x\left(\theta \right)e^{-j2\pi {\frac {n}{T}}\theta }d\theta \right]e^{j2\pi {\frac {n}{T}}t}=$

facendo tendere a infinito l'ampiezza del supporto $T$ e considerando che la variabile discreta $T$ diventa la variabile continua $f$ (sequenza di infinitesimi $df$):

$={\begin{cases}\sum \longrightarrow \int \\\Delta f={\frac {1}{T}}\longrightarrow df\\{\frac {n}{T}}\longrightarrow f\end{cases}}\Rightarrow x\left(t\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }\left[df\int _{-\infty }^{+\infty }x\left(\theta \right)e^{-j2\pi f\theta }d\theta \right]e^{j2\pi ft}$

Condizione di esistenza

Nel dominio delle funzioni, il segnale $x\left(t\right)$ deve essere modulo integrabile:

$\int _{-\infty }^{+\infty }\left|x\left(t\right)\right|dt\in \mathbb {R}$

Alcune trasformate fondamentali

Delta di Dirac

${\mathcal {F}}\left\{\delta \left(t\right)\right\}=1\Rightarrow \delta \left(t\right)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{1\right\}=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{j2\pi ft}df$

Dimostrazione

${\mathcal {F}}\left\{\delta \left(t\right)\right\}=\int _{-\infty }^{+\infty }\delta \left(t\right)e^{-j2\pi ft}dt=e^{-j2\pi f0}=1$

Funzione segno

${\mathcal {F}}\left\{\operatorname {sgn} t\right\}={\frac {1}{j\pi f}}$

Dimostrazione

${\mathcal {F}}\left\{\operatorname {sgn} t\right\}=\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {sgn} te^{-j2\pi ft}dt=\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {sgn} t\left[\cos {\left(2\pi ft\right)}-j\sin {\left(2\pi ft\right)}\right]dt=\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {sgn} t\cos {\left(2\pi ft\right)}dt-j\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {sgn} t\sin {\left(2\pi ft\right)}dt=-2j\int _{0}^{+\infty }\sin {\left(2\pi ft\right)}dt={\frac {j}{\pi f}}{\left[\cos {\left(2\pi ft\right)}\right]}_{0}^{+\infty }=\lim _{a\to +\infty }ja{\frac {\cos {\left(2\pi fa\right)}}{\pi fa}}-{\frac {j}{\pi f}}=-{\frac {j}{\pi f}}={\frac {1}{j\pi f}}$

Funzione gradino

$U\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{u\left(t\right)\right\}={\frac {1}{2}}\delta \left(f\right)+{\frac {1}{j2\pi f}}$