Teoria dei segnali2/Serie e trasformata

Indice del libro

Base canonicaModifica

Funzione portaModifica

  è la funzione porta unitaria di supporto   centrato nell'origine. Un segnale   può essere approssimato con un segnale   costante a tratti ottenuto da una combinazione lineare di infinite porte ortogonali tra di loro (cioè con supporto disgiunto):

 

Se   l'approssimazione diventa un'identità:

 

Seno cardinaleModifica

 

Delta di DiracModifica

Definizione
 

La delta di Dirac si può costruire come limite di varie funzioni, tra cui:

 

dove:

 
Proprietà
  • La delta di Dirac ha area unitaria:
     
  • Traslare la delta di Dirac significa trovare tutti i campioni che assume la funzione  :
     
  • La delta di Dirac ha energia infinita:
     
  • La radice della delta di Dirac:
     
ha energia unitaria:
 

Definizione della base canonicaModifica

L'insieme infinito e non numerabile di delta   può essere quindi visto come una base canonica non normalizzata per l'insieme dei segnali, cioè un segnale può essere rappresentato come l'insieme dei suoi campioni:

 

dove gli elementi della base (infiniti e non numerabili) sono:

 

e i coefficienti (infiniti e non numerabili) sono:

 

È però una base ortogonale non normalizzata perché ha energia infinita. Le radici della delta invece formano una base ortonormale:

 
Energia[1]
 
Prodotto scalare
 

Tuttavia non conviene usare questa base perché non introduce alcuna semplificazione.

Base alternativa sinusoidaleModifica

Serie di FourierModifica

Un segnale è a supporto finito se non è nullo solo nell'intervallo  .[2] La base canonica per questa classe di segnali è l'insieme dei campioni ristretto al supporto:

 

Esiste un'altra base ortonormale completa per tutti i segnali complessi ad energia finita e supporto finito, che è un insieme infinito ma, a differenza della base canonica, numerabile:

 

dove gli elementi della base   (infiniti e numerabili) sono:

 

e i coefficienti   (complessi, infiniti e numerabili) sono:

 

Siccome la base è completa vale l'uguaglianza di Parseval:

 

Il segnale   è in corrispondenza biunivoca con una sequenza infinita di coefficienti, e si può vedere come un vettore a infinite dimensioni:

 

La base ortonormale introdotta precedentemente è la normalizzazione della seguente base ortogonale:

 

dove gli elementi della base   sono:

 

e i coefficienti   sono:

 

Usando questa base l'energia vale:

 

Trasformata di FourierModifica

Segnali a supporto   infinito si approssimano con la trasformata di Fourier:

 
  •  
  •  
Condizione di esistenza[4]

Nel dominio delle funzioni, il segnale   deve essere modulo integrabile:

 

Alcune trasformate fondamentaliModifica

Delta di Dirac
 
Funzione segno
 
Funzione gradino
 

NoteModifica

  1. Si assume un segnale   reale.
  2. Si assume che il supporto sia simmetrico rispetto all'origine.
  3. Per semplicità non si considerano alcune condizioni al contorno.
  4. Non si considera l'estensione del dominio delle funzioni al dominio delle distribuzioni.