Teoria dei segnali2/Segnali e vettori

Indice del libro

Il segnale è una funzione complessa in funzione del tempo che definisce la "forma" del segnale.

Operazioni sui segnali
  • trasmissione: il trasporto da un punto all'altro dello spazio del segnale;
  • memorizzazione: il segnale è fruibile anche a distanza di tempo;
  • elaborazione: eliminazione del rumore, combinazione di più segnali...
Esempi di segnali
  • segnale elettrico: costituito da una tensione o una corrente variante nel tempo, spesso generate da trasduttori, ossia dispositivi che permettono di misurare una grandezza scalare (es. temperatura, altezza, velocità) convertendola in un segnale elettrico;
  • segnale vocale: si misura fisicamente come variazione della pressione dell'aria in funzione del tempo;
  • segnale video: è più complesso perché è necessario discretizzare due delle tre variabili indipendenti x, y e t e definire le informazioni sul colore (o sulla luminosità se in bianco e nero).

Nel caso di un segnale video, discretizzare il tempo t corrisponde a considerare i singoli fotogrammi, e discretizzare le coordinate y significa suddividere il fotogramma in righe orizzontali.

In generale, una sequenza o è la rappresentazione matematica discretizzata nel tempo del segnale di funzione .

Il convertitore A/D serve per digitalizzare un segnale analogico:

  • campionamento: il segnale viene campionato in base all'intervallo di campionamento scelto;
  • quantizzazione: il quantizzatore traduce ogni valore scalare campionato in un simbolo che appartiene a un alfabeto di cardinalità finita, cioè lo approssima al valore più vicino tra quelli scelti da un insieme finito.

Il processo casuale è lo strumento matematico che definisce le caratteristiche di una certa classe di segnale (vocali, video, dati...). Nel caso dei segnali vocali, teoricamente si dovrebbe registrare un certo numero statistico di parlatori e cercare di capire quali caratteristiche (come la frequenza) sono proprie di un segnale vocale, associando a ciascuna caratteristica di ciascun parlatore una probabilità.

Segnali analogici tempo-continuiModifica

Un segnale analogico tempo-continuo è descritto da una funzione complessa  , che si rappresenta graficamente nelle due parti reale   e immaginaria  .

Un segnale è a supporto limitato se la sua funzione è nulla al di fuori di un intervallo finito   detto supporto.

Un segnale è ad ampiezza limitata se la funzione assume valori compresi in un intervallo finito.

Un segnale fisico si distingue dal segnale matematico per il fatto che è sia ad ampiezza limitata sia a supporto limitato.

I segnali impulsivi divergono ad un'ampiezza illimitata all'interno di un supporto infinitesimo.

Energia e potenza mediaModifica

L'energia di un segnale   vale:

 

Se l'integrale nella definizione di energia diverge, si prende in considerazione la potenza media di un segnale:

 

In questo caso   è detta potenza istantanea.

Un segnale fisico ha energia finita. I segnali a energia finita hanno potenza media nulla.

PeriodicitàModifica

Un segnale è periodico di periodo   e funzione  :

 

se vale la proprietà seguente:

 

Un segnale aperiodico si può pensare come come un segnale periodico di periodo  .

Energia

L'energia   di un segnale periodico è infinita.[1]

Potenza media

La potenza media   di un segnale periodico dipende dall'energia del segnale all'interno di un singolo periodo  :

 

La presenza di uno o più impulsi non fa diventare infinita la potenza.

Spazio dei segnaliModifica

Lo spazio dei segnali può essere visto come uno spazio vettoriale: un segnale può essere costruito a partire da più segnali elementari così come un vettore può essere costruito a partire da più vettori.

DistanzaModifica

Uno spazio metrico è un insieme di elementi su cui è possibile definire una distanza. La distanza ha le seguenti proprietà:

  • non negativa:  
  • simmetrica:  
  •  
  • disuguaglianza triangolare:  

Lo spazio dei segnali è uno spazio metrico.

La distanza è utile nel confronto di due segnali   e  :

 

Si usa di solito la distanza euclidea:

 

Prodotto scalareModifica

Nello spazio dei numeri complessi il prodotto scalare è così definito:

 

Nello spazio dei segnali il prodotto scalare è così definito:

 

NormaModifica

La norma nello spazio dei segnali è così definita:

 

e ricordando che nei numeri complessi vale  :

 

OrtogonalitàModifica

Secondo la disuguaglianza di Schwarz, il modulo del prodotto scalare tra due vettori al quadrato è sempre minore o uguale del prodotto delle loro energie:

 

da cui deriva:

 

L'uguaglianza vale quando   e   sono proporzionali:

 

L'angolo   tra due segnali   e   è così definito:

 

Due segnali   e   si dicono ortogonali tra loro se l'angolo   è nullo, cioè se il loro prodotto scalare è nullo:[2]

 

L'energia della somma di due segnali   e   è data da:

 

Se i due segnali sono ortogonali:

 

Basi ortonormaliModifica

Una coppia di vettori   appartiene a una base ortonormale se e solo se:

  •   e   sono ortogonali tra loro:
     
  •   e   hanno entrambi norma unitaria:
     

Queste due condizioni possono essere riassunte da questa relazione:

 

dove   è la delta di Kronecker:

 

Data una base ortonormale  , un generico vettore   può essere rappresentato come combinazione lineare degli elementi della base:

 

Nello spazio dei segnali esistono infinite basi ortonormali: a partire da una qualsiasi base ortonormale, è possibile ottenere un'altra base ortonormale applicando una rotazione di un certo angolo   a tutti gli elementi della base. Ad esempio, nello spazio euclideo a 2 dimensioni si applica la trasformazione unitaria partendo dalla base canonica:

 

Fissata una delle possibili basi ortonormali, si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i segnali ed uno spazio vettoriale euclideo a   dimensioni, associando a ogni segnale   il vettore   a   dimensioni costituito dai suoi coefficienti:

 

Approssimazione di un segnaleModifica

Lo spazio dei segnali in realtà ha dimensione infinita, cioè per rappresentare tutti i segnali possibili sarebbe necessaria una base costituita da infiniti versori → si può semplificare approssimando un segnale generico   a un segnale  , formato dalla combinazione lineare dei versori   che sono basi ortonormali di uno spazio ridotto di dimensioni finite  . Si dimostra che la migliore approssimazione, corrispondente alla minima distanza euclidea dal segnale di partenza, si ottiene se i coefficienti della combinazione lineare coincidono con i prodotti scalari tra il segnale generico   stesso e i versori   della base:

 

Semplificazione formule[3]Modifica

Definendo una base ortonormale di   elementi è possibile semplificare il calcolo del prodotto scalare, della distanza e dell'energia.

Prodotto scalare
 
Energia
 
Distanza
 
Definizione Segnale Vettore
Prodotto scalare      
Energia      
Norma      
Distanza      

Procedura di Gram-SchmidtModifica

 
In questo esempio il segnale   viene approssimato in uno spazio bidimensionale generato dai due versori   e  .

Il segnale   perde un po' di energia nella proiezione su  :

 

Si ricava la diseguaglianza di Bessel:

 

Se il segnale   è descritto da una base completa, vale l'uguaglianza di Parseval:

 

In uno spazio vettoriale a   dimensioni, cioè di cardinalità  , si ha un insieme finito di vettori  . La procedura di Gram-Schmidt permette di trovare il minimo numero  , detto dimensionalità, di versori  , ortonormali tra di loro, necessario per formare una base per questi vettori:

 

L'algoritmo termina alla  -esima iterazione quando il vettore errore   è nullo, ovvero quando il vettore proiezione   è linearmente dipendente rispetto al vettore   e non si genera un nuovo versore. Se   significa che si è riusciti a introdurre una semplificazione. Cambiando l'ordine dei vettori considerati si possono ottenere versori diversi, ma la dimensionalità   non varia.

Esempio

Si considerano due vettori   e   nello spazio bidimensionale ( ):

1) viene scelto per primo il vettore  :

2) viene scelto per primo il vettore  :

NoteModifica

  1. Nel caso ultraparticolare di un segnale identicamente nullo, l'energia converge a 0.
  2. Si suppone che le energie di   e   non siano identicamente nulle.
  3. In questa sezione si ritorna temporaneamente per comodità alla vecchia notazione per i segnali.