Il segnale è una funzione complessa in funzione del tempo che definisce la "forma" del segnale.
Operazioni sui segnali
trasmissione: il trasporto da un punto all'altro dello spazio del segnale;
memorizzazione: il segnale è fruibile anche a distanza di tempo;
elaborazione: eliminazione del rumore, combinazione di più segnali...
Esempi di segnali
segnale elettrico: costituito da una tensione o una corrente variante nel tempo, spesso generate da trasduttori, ossia dispositivi che permettono di misurare una grandezza scalare (es. temperatura, altezza, velocità) convertendola in un segnale elettrico;
segnale vocale: si misura fisicamente come variazione della pressione dell'aria in funzione del tempo;
segnale video: è più complesso perché è necessario discretizzare due delle tre variabili indipendenti x, y e t e definire le informazioni sul colore (o sulla luminosità se in bianco e nero).
Nel caso di un segnale video, discretizzare il tempo t corrisponde a considerare i singoli fotogrammi, e discretizzare le coordinate y significa suddividere il fotogramma in righe orizzontali.
In generale, una sequenza o è la rappresentazione matematica discretizzata nel tempo del segnale di funzione .
Il convertitore A/D serve per digitalizzare un segnale analogico:
campionamento: il segnale viene campionato in base all'intervallo di campionamento scelto;
quantizzazione: il quantizzatore traduce ogni valore scalare campionato in un simbolo che appartiene a un alfabeto di cardinalità finita, cioè lo approssima al valore più vicino tra quelli scelti da un insieme finito.
Il processo casuale è lo strumento matematico che definisce le caratteristiche di una certa classe di segnale (vocali, video, dati...). Nel caso dei segnali vocali, teoricamente si dovrebbe registrare un certo numero statistico di parlatori e cercare di capire quali caratteristiche (come la frequenza) sono proprie di un segnale vocale, associando a ciascuna caratteristica di ciascun parlatore una probabilità.
Lo spazio dei segnali può essere visto come uno spazio vettoriale: un segnale può essere costruito a partire da più segnali elementari così come un vettore può essere costruito a partire da più vettori.
Secondo la disuguaglianza di Schwarz, il modulo del prodotto scalare tra due vettori al quadrato è sempre minore o uguale del prodotto delle loro energie:
da cui deriva:
L'uguaglianza vale quando e sono proporzionali:
L'angolo tra due segnali e è così definito:
Due segnali e si dicono ortogonali tra loro se l'angolo è nullo, cioè se il loro prodotto scalare è nullo:[2]
Una coppia di vettori appartiene a una base ortonormale se e solo se:
e sono ortogonali tra loro:
e hanno entrambi norma unitaria:
Queste due condizioni possono essere riassunte da questa relazione:
dove è la delta di Kronecker:
Data una base ortonormale , un generico vettore può essere rappresentato come combinazione lineare degli elementi della base:
Nello spazio dei segnali esistono infinite basi ortonormali: a partire da una qualsiasi base ortonormale, è possibile ottenere un'altra base ortonormale applicando una rotazione di un certo angolo a tutti gli elementi della base. Ad esempio, nello spazio euclideo a 2 dimensioni si applica la trasformazione unitaria partendo dalla base canonica:
Fissata una delle possibili basi ortonormali, si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i segnali ed uno spazio vettoriale euclideo a dimensioni, associando a ogni segnale il vettore a dimensioni costituito dai suoi coefficienti:
Lo spazio dei segnali in realtà ha dimensione infinita, cioè per rappresentare tutti i segnali possibili sarebbe necessaria una base costituita da infiniti versori → si può semplificare approssimando un segnale generico a un segnale , formato dalla combinazione lineare dei versori che sono basi ortonormali di uno spazio ridotto di dimensioni finite . Si dimostra che la migliore approssimazione, corrispondente alla minima distanza euclidea dal segnale di partenza, si ottiene se i coefficienti della combinazione lineare coincidono con i prodotti scalari tra il segnale generico stesso e i versori della base:
Il segnale perde un po' di energia nella proiezione su :
Dimostrazione
Poiché il segnale errore , che è il segnale differenza, è ortogonale al segnale approssimante :
Si ricava la diseguaglianza di Bessel:
Se il segnale è descritto da una base completa, vale l'uguaglianza di Parseval:
In uno spazio vettoriale a dimensioni, cioè di cardinalità , si ha un insieme finito di vettori . La procedura di Gram-Schmidt permette di trovare il minimo numero , detto dimensionalità, di versori , ortonormali tra di loro, necessario per formare una base per questi vettori:
L'algoritmo termina alla -esima iterazione quando il vettore errore è nullo, ovvero quando il vettore proiezione è linearmente dipendente rispetto al vettore e non si genera un nuovo versore. Se significa che si è riusciti a introdurre una semplificazione. Cambiando l'ordine dei vettori considerati si possono ottenere versori diversi, ma la dimensionalità non varia.
Esempio
Si considerano due vettori e nello spazio bidimensionale ():