Controlli automatici/Reiezione disturbi polinomiali

Indice del libro

Un disturbo è costituito da un segnale indesiderato che agisce sul sistema modificandone il comportamento dinamico e quindi l'andamento dell'uscita. I disturbi possono essere generati da:

  • il rumore dei dispositivi elettronici interni al sistema da controllare e/o presenti negli attuatori e trasduttori impiegati;
  • elementi fisici del sistema, quali il carico variabile di un braccio robotico, il vento per un'antenna radar, l'attrito in un sistema meccanico, ecc.
Schema a blocchi di un sistema di controllo in catena chiusa con retroazione dall'uscita in presenza di disturbi
Tipi di disturbo
  • disturbi polinomiali: rappresentano offset o derive nel tempo;
  • disturbi sinusoidali: rappresentano la componente principale di rumore di un dispositivo.

Effetti di disturbi polinomiali sull'uscita in regime permanente

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Tipi di disturbo polinomiale
  • disturbo costante (polinomio di grado zero): rappresenta un offset:
     
  • disturbo a rampa (polinomio di primo grado): rappresenta una deriva nel tempo:
     

Un disturbo polinomiale è caratterizzato da:

  • posizione nell'anello;
  • tipo e guadagno stazionario dei blocchi sull'anello.

Per ogni disturbo  :

  • si pongono a zero il riferimento   (e quindi l'uscita desiderata  ) e tutti gli altri eventuali disturbi;
  • si determina l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente  , cioè il valore dell'uscita in regime permanente in presenza del solo disturbo  , tramite il teorema del valore finale:
     
dove   è la funzione di trasferimento fra il disturbo e l'uscita:
 
  • si determina l'errore in regime permanente   dovuto alla sola presenza del disturbo  :
     

Un sistema si dice astatico ad un disturbo   se l'effetto   di tale disturbo sull'uscita in regime permanente è nullo (reiezione totale).

Per il principio di sovrapposizione degli effetti, l'errore totale in regime permanente   corrisponde alla somma degli errori dovuti ad ogni disturbo   e dell'eventuale errore di inseguimento in regime permanente  :

 

Effetti di un disturbo posto sull'uscita

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Effetto sull'uscita in regime permanente  
Disturbo   posto sull'uscita
costante:   rampa:  
S
i
s
t
e
m
a
tipo 0    
tipo 1 0  
tipo 2 0 0

Dato un sistema di controllo in retroazione avente una funzione d'anello   in forma minima e priva di zeri nell'origine, la funzione di trasferimento   fra un disturbo polinomiale   posto sull'uscita e l'uscita è data da:

 

Il sistema è astatico se è nullo l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente   (reiezione totale):

 
  • il sistema è astatico ad un disturbo costante   posto sull'uscita se è almeno di tipo 1:
     
  • il sistema è astatico ad un disturbo a rampa   posto sull'uscita se è almeno di tipo 2:
     

Effetti di un disturbo posto lungo il ramo diretto

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Effetto sull'uscita in regime permanente  
Disturbo   posto lungo il ramo diretto
costante:   rampa:  
  tipo 0   tipo 0:

 

  tipo > 0:

 

 
tipo 1 0  
tipo 2 0 0

Sia   un disturbo entrante in un punto intermedio del ramo diretto, precisamente fra dei blocchi a monte aventi funzione di trasferimento   e dei blocchi a valle aventi funzione di trasferimento  :

  • se   è un disturbo sul comando ( ):  ,  ;
  • se   è un disturbo interno al sistema:  ,  .

Dato un sistema di controllo in retroazione avente una funzione d'anello   in forma minima e priva di zeri nell'origine, la funzione di trasferimento   fra un disturbo polinomiale   posto lungo il ramo diretto e l'uscita è data da:

 

Il sistema è astatico se è nullo l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente   (reiezione totale):

 
  • il sistema è astatico ad un disturbo costante   posto lungo il ramo diretto se   è almeno di tipo 1 indipendentemente dalla tipologia di  :
     
  • il sistema è astatico ad un disturbo a rampa   posto lungo il ramo diretto se   è almeno di tipo 2 indipendentemente dalla tipologia di  :
     

Implicazioni sul progetto del controllore

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Specifica di reiezione

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Una specifica di reiezione totale in regime permanente di un disturbo polinomiale può imporre vincoli sul numero di poli nell'origine della funzione di trasferimento   del controllore  : affinché un disturbo polinomiale di grado   sia reiettato completamente in regime permanente, è necessario che la funzione di trasferimento   risultante dalla cascata dei blocchi a monte del punto di ingresso del disturbo[1] abbia (almeno)   poli nell'origine.

Specifica di attenuazione

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Una specifica di attenuazione minima in regime permanente di un disturbo polinomiale può essere formulata in termini di effetto massimo del disturbo sull'uscita, o equivalentemente sull'errore massimo generato, e può imporre vincoli sia sul numero di poli nell'origine, sia sul guadagno stazionario   minimo della funzione di trasferimento   del controllore  .

Vincoli sul numero di poli nell'origine

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Affinché l'effetto di un disturbo polinomiale   di grado   sull'uscita in regime permanente   sia finito e non nullo, è necessario che la funzione di trasferimento   risultante dalla cascata dei blocchi a monte del punto di ingresso del disturbo[1] abbia (almeno)   poli nell'origine:

  • disturbo costante  : non richiede mai l'inserimento di poli nell'origine nella funzione di trasferimento   del controllore;
  • disturbo a rampa  : può richiedere l'inserimento di un polo nell'origine nella funzione di trasferimento   del controllore nel caso in cui la funzione di trasferimento   non ha poli nell'origine.

Vincoli sul guadagno stazionario minimo

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Se il numero di poli della funzione di trasferimento   è uguale al grado del disturbo polinomiale  , l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente   si riduce all'aumentare del guadagno stazionario   della funzione di trasferimento  , e quindi si riduce all'aumentare del guadagno stazionario   della funzione di trasferimento   del controllore:

 
  1. 1,0 1,1   coincide con l'intera   se il disturbo entra sull'uscita del sistema.