Controlli automatici/Reiezione disturbi polinomiali

Indice del libro

Un disturbo è costituito da un segnale indesiderato che agisce sul sistema modificandone il comportamento dinamico e quindi l'andamento dell'uscita. I disturbi possono essere generati da:

  • il rumore dei dispositivi elettronici interni al sistema da controllare e/o presenti negli attuatori e trasduttori impiegati;
  • elementi fisici del sistema, quali il carico variabile di un braccio robotico, il vento per un'antenna radar, l'attrito in un sistema meccanico, ecc.
Schema a blocchi di un sistema di controllo in catena chiusa con retroazione dall'uscita in presenza di disturbi
Tipi di disturbo
  • disturbi polinomiali: rappresentano offset o derive nel tempo;
  • disturbi sinusoidali: rappresentano la componente principale di rumore di un dispositivo.

Effetti di disturbi polinomiali sull'uscita in regime permanenteModifica

Tipi di disturbo polinomiale
  • disturbo costante (polinomio di grado zero): rappresenta un offset:
     
  • disturbo a rampa (polinomio di primo grado): rappresenta una deriva nel tempo:
     

Un disturbo polinomiale è caratterizzato da:

  • posizione nell'anello;
  • tipo e guadagno stazionario dei blocchi sull'anello.

Per ogni disturbo  :

  • si pongono a zero il riferimento   (e quindi l'uscita desiderata  ) e tutti gli altri eventuali disturbi;
  • si determina l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente  , cioè il valore dell'uscita in regime permanente in presenza del solo disturbo  , tramite il teorema del valore finale:
     
dove   è la funzione di trasferimento fra il disturbo e l'uscita:
 
  • si determina l'errore in regime permanente   dovuto alla sola presenza del disturbo  :
     

Un sistema si dice astatico ad un disturbo   se l'effetto   di tale disturbo sull'uscita in regime permanente è nullo (reiezione totale).

Per il principio di sovrapposizione degli effetti, l'errore totale in regime permanente   corrisponde alla somma degli errori dovuti ad ogni disturbo   e dell'eventuale errore di inseguimento in regime permanente  :

 

Effetti di un disturbo posto sull'uscitaModifica

Effetto sull'uscita in regime permanente  
Disturbo   posto sull'uscita
costante:   rampa:  
S
i
s
t
e
m
a
tipo 0    
tipo 1 0  
tipo 2 0 0

Dato un sistema di controllo in retroazione avente una funzione d'anello   in forma minima e priva di zeri nell'origine, la funzione di trasferimento   fra un disturbo polinomiale   posto sull'uscita e l'uscita è data da:

 

Il sistema è astatico se è nullo l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente   (reiezione totale):

 
  • il sistema è astatico ad un disturbo costante   posto sull'uscita se è almeno di tipo 1:
     
  • il sistema è astatico ad un disturbo a rampa   posto sull'uscita se è almeno di tipo 2:
     

Effetti di un disturbo posto lungo il ramo direttoModifica

Effetto sull'uscita in regime permanente  
Disturbo   posto lungo il ramo diretto
costante:   rampa:  
  tipo 0   tipo 0:

 

  tipo > 0:

 

 
tipo 1 0  
tipo 2 0 0

Sia   un disturbo entrante in un punto intermedio del ramo diretto, precisamente fra dei blocchi a monte aventi funzione di trasferimento   e dei blocchi a valle aventi funzione di trasferimento  :

  • se   è un disturbo sul comando ( ):  ,  ;
  • se   è un disturbo interno al sistema:  ,  .

Dato un sistema di controllo in retroazione avente una funzione d'anello   in forma minima e priva di zeri nell'origine, la funzione di trasferimento   fra un disturbo polinomiale   posto lungo il ramo diretto e l'uscita è data da:

 

Il sistema è astatico se è nullo l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente   (reiezione totale):

 
  • il sistema è astatico ad un disturbo costante   posto lungo il ramo diretto se   è almeno di tipo 1 indipendentemente dalla tipologia di  :
     
  • il sistema è astatico ad un disturbo a rampa   posto lungo il ramo diretto se   è almeno di tipo 2 indipendentemente dalla tipologia di  :
     

Implicazioni sul progetto del controlloreModifica

Specifica di reiezioneModifica

Una specifica di reiezione totale in regime permanente di un disturbo polinomiale può imporre vincoli sul numero di poli nell'origine della funzione di trasferimento   del controllore  : affinché un disturbo polinomiale di grado   sia reiettato completamente in regime permanente, è necessario che la funzione di trasferimento   risultante dalla cascata dei blocchi a monte del punto di ingresso del disturbo[1] abbia (almeno)   poli nell'origine.

Specifica di attenuazioneModifica

Una specifica di attenuazione minima in regime permanente di un disturbo polinomiale può essere formulata in termini di effetto massimo del disturbo sull'uscita, o equivalentemente sull'errore massimo generato, e può imporre vincoli sia sul numero di poli nell'origine, sia sul guadagno stazionario   minimo della funzione di trasferimento   del controllore  .

Vincoli sul numero di poli nell'origineModifica

Affinché l'effetto di un disturbo polinomiale   di grado   sull'uscita in regime permanente   sia finito e non nullo, è necessario che la funzione di trasferimento   risultante dalla cascata dei blocchi a monte del punto di ingresso del disturbo[1] abbia (almeno)   poli nell'origine:

  • disturbo costante  : non richiede mai l'inserimento di poli nell'origine nella funzione di trasferimento   del controllore;
  • disturbo a rampa  : può richiedere l'inserimento di un polo nell'origine nella funzione di trasferimento   del controllore nel caso in cui la funzione di trasferimento   non ha poli nell'origine.

Vincoli sul guadagno stazionario minimoModifica

Se il numero di poli della funzione di trasferimento   è uguale al grado del disturbo polinomiale  , l'effetto del disturbo sull'uscita in regime permanente   si riduce all'aumentare del guadagno stazionario   della funzione di trasferimento  , e quindi si riduce all'aumentare del guadagno stazionario   della funzione di trasferimento   del controllore:

 

NoteModifica

  1. 1,0 1,1   coincide con l'intera   se il disturbo entra sull'uscita del sistema.