Analisi della dipendenza tra catena aperta e catena chiusa
modifica
Ipotesi
la funzione d'anello
G
a
(
s
)
{\displaystyle G_{a}(s)}
è strettamente propria con
m
a
{\displaystyle m_{a}}
zeri e
n
a
>
m
a
{\displaystyle n_{a}>m_{a}}
poli;
la funzione di trasferimento in catena chiusa
W
y
(
s
)
{\displaystyle W_{y}(s)}
è strettamente propria con
m
W
{\displaystyle m_{W}}
zeri e
n
W
>
m
W
{\displaystyle n_{W}>m_{W}}
poli;
il diagramma di Bode del modulo della funzione d'anello
G
a
(
s
)
{\displaystyle G_{a}(s)}
arriva da
+
∞
{\displaystyle +\infty }
a basse frequenze, taglia l'asse delle ascisse in corrispondenza della pulsazione di cross-over
ω
c
{\displaystyle \omega _{c}}
e va verso
−
∞
{\displaystyle -\infty }
ad alte frequenze.
Dipendenze tra la funzione d'anello
G
a
(
s
)
{\displaystyle G_{a}(s)}
e la funzione di trasferimento in catena chiusa
W
y
(
s
)
{\displaystyle W_{y}(s)}
W
y
(
s
)
=
N
W
(
s
)
D
W
(
s
)
=
G
a
(
s
)
1
+
G
a
(
s
)
=
N
a
(
s
)
D
a
(
s
)
+
N
a
(
s
)
{\displaystyle W_{y}(s)={\frac {N_{W}(s)}{D_{W}(s)}}={\frac {G_{a}(s)}{1+G_{a}(s)}}={\frac {N_{a}(s)}{D_{a}(s)+N_{a}(s)}}}
G
a
(
s
)
{\displaystyle G_{a}(s)}
e
W
y
(
s
)
{\displaystyle W_{y}(s)}
hanno gli stessi zeri:
∀
ω
:
N
a
(
s
)
=
N
W
(
s
)
⇒
{
m
W
=
m
A
ζ
W
j
=
ζ
a
j
,
j
=
1
,
…
,
m
a
{\displaystyle \forall \omega :\;N_{a}(s)=N_{W}(s)\Rightarrow {\begin{cases}m_{W}=m_{A}\\{\zeta _{W}}_{j}={\zeta _{a}}_{j},\quad j=1,\ldots ,m_{a}\end{cases}}}
G
a
(
s
)
{\displaystyle G_{a}(s)}
e
W
y
(
s
)
{\displaystyle W_{y}(s)}
hanno lo stesso numero di poli:
∀
ω
:
D
W
(
s
)
=
D
a
(
s
)
+
N
a
(
s
)
⇒
n
W
=
n
A
{\displaystyle \forall \omega :\;D_{W}(s)=D_{a}(s)+N_{a}(s)\Rightarrow n_{W}=n_{A}}
in bassa frequenza,
W
y
(
s
)
{\displaystyle W_{y}(s)}
è approssimabile a 1, e i poli di
W
y
(
s
)
{\displaystyle W_{y}(s)}
sono approssimabili ai suoi zeri (uguali agli zeri di
G
a
(
s
)
{\displaystyle G_{a}(s)}
):
ω
≪
ω
c
:
|
G
a
(
s
)
|
≫
1
⇒
D
W
(
s
)
≅
N
W
(
s
)
=
N
a
(
s
)
⇒
∀
λ
W
,
ζ
a
:
λ
W
≈
ζ
a
⇒
W
y
(
s
)
≅
1
{\displaystyle \omega \ll \omega _{c}:\;\left|G_{a}(s)\right|\gg 1\Rightarrow D_{W}(s)\cong N_{W}(s)=N_{a}(s)\Rightarrow \forall \lambda _{W},\zeta _{a}:\;\lambda _{W}\approx \zeta _{a}\Rightarrow W_{y}(s)\cong 1}
nella banda intorno alla pulsazione di cross-over
ω
c
{\displaystyle \omega _{c}}
,
W
y
(
s
)
{\displaystyle W_{y}(s)}
è approssimabile a una dinamica del 2º ordine (coppia di poli complessi coniugati):
W
y
(
s
)
≅
ω
n
2
s
2
+
2
ζ
ω
n
s
+
ω
n
2
{\displaystyle W_{y}(s)\cong {\frac {\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}}
in alta frequenza,
W
y
(
s
)
{\displaystyle W_{y}(s)}
è approssimabile a
G
a
(
s
)
{\displaystyle G_{a}(s)}
, e i poli di
W
y
(
s
)
{\displaystyle W_{y}(s)}
sono approssimabili ai poli di
G
a
(
s
)
{\displaystyle G_{a}(s)}
(in alta frequenza la catena rimane aperta):
ω
≫
ω
c
:
|
G
a
(
s
)
|
≪
1
⇒
N
W
(
s
)
D
W
(
s
)
≅
N
a
(
s
)
D
a
(
s
)
⇒
∀
λ
W
,
λ
a
:
λ
W
≈
λ
a
⇒
W
y
(
s
)
≅
G
a
(
s
)
{\displaystyle \omega \gg \omega _{c}:\;\left|G_{a}(s)\right|\ll 1\Rightarrow {\frac {N_{W}(s)}{D_{W}(s)}}\cong {\frac {N_{a}(s)}{D_{a}(s)}}\Rightarrow \forall \lambda _{W},\lambda _{a}:\;\lambda _{W}\approx \lambda _{a}\Rightarrow W_{y}(s)\cong G_{a}(s)}
Dinamica nel tempo e in frequenza dei sistemi del 2º ordine
modifica
Ipotesi
La funzione di trasferimento in catena chiusa
W
y
(
s
)
{\displaystyle W_{y}(s)}
è approssimata ad un modello di riferimento
W
y
rif
(
s
)
{\displaystyle {W_{y}}_{\text{rif}}(s)}
che ha la sola dinamica del 2º ordine:
W
y
rif
(
s
)
=
ω
n
2
s
2
+
2
ζ
ω
n
s
+
ω
n
2
{\displaystyle {W_{y}}_{\text{rif}}(s)={\frac {\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}}
dove
ω
n
{\displaystyle \omega _{n}}
è dato e
ζ
∈
(
0
,
3
;
0
,
7
)
{\displaystyle \zeta \in \left(0,3;0,7\right)}
.
La corrispondente funzione d'anello di riferimento
G
a
rif
(
s
)
{\displaystyle {G_{a}}_{\text{rif}}(s)}
è di tipo 1:
G
a
rif
(
s
)
=
W
y
rif
(
s
)
1
−
W
y
rif
(
s
)
=
ω
n
2
s
(
s
+
2
ζ
ω
n
)
{\displaystyle {G_{a}}_{\text{rif}}(s)={\frac {{W_{y}}_{\text{rif}}(s)}{1-{W_{y}}_{\text{rif}}(s)}}={\frac {\omega _{n}^{2}}{s\left(s+2\zeta \omega _{n}\right)}}}
Parametri caratteristici della funzione d'anello di riferimento
G
a
rif
(
s
)
{\displaystyle {G_{a}}_{\text{rif}}(s)}
guadagno stazionario di velocità
K
v
{\displaystyle K_{v}}
:
K
v
=
ω
n
2
ζ
{\displaystyle K_{v}={\frac {\omega _{n}}{2\zeta }}}
pulsazione di cross-over
ω
c
{\displaystyle \omega _{c}}
:
ω
c
=
ω
n
−
2
ζ
2
+
1
+
4
ζ
4
{\displaystyle \omega _{c}=\omega _{n}{\sqrt {-2\zeta ^{2}+{\sqrt {1+4\zeta ^{4}}}}}}
margine di fase
m
ϕ
{\displaystyle m_{\phi }}
:
m
ϕ
=
a
r
c
t
g
(
2
ζ
ω
n
ω
c
)
{\displaystyle m_{\phi }={\rm {{arctg}\left({\frac {2\zeta \omega _{n}}{\omega _{c}}}\right)}}}
margine di guadagno
m
G
{\displaystyle m_{G}}
: è infinito perché
G
a
rif
{\displaystyle {G_{a}}_{\text{rif}}}
non ha mai fase pari a
−
180
∘
{\displaystyle -{180}^{\circ }}
.
Parametri caratteristici della funzione di trasferimento in catena chiusa di riferimento
W
y
rif
(
s
)
{\displaystyle {W_{y}}_{\text{rif}}(s)}
guadagno stazionario
K
W
y
rif
{\displaystyle K_{{W_{y}}_{\text{rif}}}}
:[ 1]
K
W
y
rif
=
W
y
rif
(
0
)
=
1
{\displaystyle K_{{W_{y}}_{\text{rif}}}={W_{y}}_{\text{rif}}(0)=1}
picco di risonanza
M
r
{\displaystyle M_{r}}
:
M
r
=
max
(
|
W
y
rif
(
j
ω
)
|
)
|
K
W
y
rif
|
=
|
W
y
rif
(
j
ω
r
)
|
1
=
1
2
ζ
1
−
ζ
2
,
{
0
<
ζ
<
2
2
ω
r
=
ω
n
1
−
2
ζ
2
{\displaystyle M_{r}={\frac {\max {\left(\left|{W_{y}}_{\text{rif}}\left(j\omega \right)\right|\right)}}{\left|K_{{W_{y}}_{\text{rif}}}\right|}}={\frac {\left|{W_{y}}_{\text{rif}}\left(j\omega _{r}\right)\right|}{1}}={\frac {1}{2\zeta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}},\quad {\begin{cases}0<\zeta <{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\\omega _{r}=\omega _{n}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}\end{cases}}}
pulsazione
ω
B
{\displaystyle \omega _{B}}
relativa alla banda passante a
−
3
dB
{\displaystyle -3{\text{ dB}}}
:
ω
B
=
ω
n
R
,
{
R
=
1
−
2
ζ
2
+
2
−
4
ζ
2
+
4
ζ
4
∀
ω
≤
ω
B
:
|
W
y
rif
(
j
ω
)
|
|
K
W
y
rif
|
≥
2
2
≈
−
3
dB
{\displaystyle \omega _{B}=\omega _{n}R,\quad {\begin{cases}R={\sqrt {1-2\zeta ^{2}+{\sqrt {2-4\zeta ^{2}+4\zeta ^{4}}}}}\\\forall \omega \leq \omega _{B}:\;{\frac {\left|{W_{y}}_{\text{rif}}(j\omega )\right|}{\left|K_{{W_{y}}_{\text{rif}}}\right|}}\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}\approx -3{\text{ dB}}\end{cases}}}
Risposta al gradino unitario
y
g
W
y
rif
(
t
)
{\displaystyle {y_{g}}_{{W_{y}}_{\text{rif}}}(t)}
risposta al gradino unitario:
y
g
W
y
rif
(
t
)
=
1
−
1
1
−
ζ
2
e
−
ζ
ω
n
t
sin
(
1
−
ζ
2
ω
n
t
+
ϕ
)
,
ϕ
=
a
r
c
t
g
(
1
ζ
2
−
1
)
{\displaystyle {y_{g}}_{{W_{y}}_{\text{rif}}}(t)=1-{\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}e^{-\zeta \omega _{n}t}\sin {\left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n}t+\phi \right)},\quad \phi ={\rm {{arctg}{\left({\sqrt {{\frac {1}{\zeta ^{2}}}-1}}\right)}}}}
s
^
{\displaystyle {\hat {s}}}
: sovraelongazione massima (relativa);
t
^
{\displaystyle {\hat {t}}}
: tempo corrispondente a
s
^
{\displaystyle {\hat {s}}}
;
t
s
{\displaystyle t_{s}}
: tempo di salita;
t
r
{\displaystyle t_{r}}
: tempo di salita dal 10% al 90%;
t
a
ε
{\displaystyle t_{a\varepsilon }}
: tempo di assestamento a
±
ε
{\displaystyle \pm \varepsilon }
.
Relazioni notevoli per la funzione di trasferimento in catena chiusa di riferimento
W
y
rif
(
s
)
{\displaystyle {W_{y}}_{\text{rif}}(s)}
s
^
=
e
−
π
ζ
1
−
ζ
2
{\displaystyle {\hat {s}}=e^{-{\frac {\pi \zeta }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}}
ω
B
t
r
≅
2
,
048
R
1
,
561
−
ζ
−
0
,
2923
R
≅
2
{\displaystyle \omega _{B}t_{r}\cong {\frac {2,048R}{1,561-\zeta }}-0,2923R\cong 2}
ω
B
t
s
=
R
1
−
ζ
2
(
π
−
a
r
c
t
g
ζ
−
2
−
1
)
≅
3
{\displaystyle \omega _{B}t_{s}={\frac {R}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left(\pi -{\rm {{arctg}{\sqrt {\zeta ^{-2}-1}}}}\right)\cong 3}
ω
B
t
^
=
π
R
1
−
ζ
2
≅
4
,
5
{\displaystyle \omega _{B}{\hat {t}}={\frac {\pi R}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\cong 4,5}
ω
B
t
a
ε
≅
−
log
(
ε
1
−
ζ
2
)
ζ
R
{\displaystyle \omega _{B}t_{a\varepsilon }\cong {\frac {-\log {\left(\varepsilon {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right)}}{\zeta }}R}
ω
c
ω
B
=
−
2
ζ
2
+
1
+
4
ζ
4
R
≅
0
,
63
{\displaystyle {\frac {\omega _{c}}{\omega _{B}}}={\frac {\sqrt {-2\zeta ^{2}+{\sqrt {1+4\zeta ^{4}}}}}{R}}\cong 0,63}
1
+
s
^
M
r
=
2
ζ
1
−
ζ
2
(
1
+
e
−
π
ζ
1
−
ζ
2
)
≅
0
,
9
{\displaystyle {\frac {1+{\hat {s}}}{M_{r}}}=2\zeta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\left(1+e^{-\pi {\frac {\zeta }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\right)\cong 0,9}
m
φ
M
r
=
1
2
ζ
1
−
ζ
2
a
r
c
t
g
2
ζ
−
2
ζ
2
+
1
+
4
ζ
4
≅
1
,
05
rad
≅
60
∘
{\displaystyle m_{\varphi }M_{r}={\frac {1}{2\zeta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}{\rm {{arctg}{\frac {2\zeta }{\sqrt {-2\zeta ^{2}+{\sqrt {1+4\zeta ^{4}}}}}}\cong 1,05{\text{ rad}}\cong 60^{\circ }}}}
↑ Come visto al capitolo precedente , si tratta di un'approssimazione, che diventa un'eguaglianza solo in presenza di almeno un polo nell'origine.