Controlli automatici/Risposta transitoria e in frequenza

Indice del libro

Analisi della dipendenza tra catena aperta e catena chiusaModifica

Ipotesi
  • la funzione d'anello   è strettamente propria con   zeri e   poli;
  • la funzione di trasferimento in catena chiusa   è strettamente propria con   zeri e   poli;
  • il diagramma di Bode del modulo della funzione d'anello   arriva da   a basse frequenze, taglia l'asse delle ascisse in corrispondenza della pulsazione di cross-over   e va verso   ad alte frequenze.
Dipendenze tra la funzione d'anello   e la funzione di trasferimento in catena chiusa  
 
  •   e   hanno gli stessi zeri:
     
  •   e   hanno lo stesso numero di poli:
     
  • in bassa frequenza,   è approssimabile a 1, e i poli di   sono approssimabili ai suoi zeri (uguali agli zeri di  ):
     
  • nella banda intorno alla pulsazione di cross-over  ,   è approssimabile a una dinamica del 2º ordine (coppia di poli complessi coniugati):
     
  • in alta frequenza,   è approssimabile a  , e i poli di   sono approssimabili ai poli di   (in alta frequenza la catena rimane aperta):
     

Dinamica nel tempo e in frequenza dei sistemi del 2º ordineModifica

Ipotesi

La funzione di trasferimento in catena chiusa   è approssimata ad un modello di riferimento   che ha la sola dinamica del 2º ordine:

 

dove   è dato e  .

La corrispondente funzione d'anello di riferimento   è di tipo 1:

 
Parametri caratteristici della funzione d'anello di riferimento  
  • guadagno stazionario di velocità  :
     
  • pulsazione di cross-over  :
     
  • margine di fase  :
     
  • margine di guadagno  : è infinito perché   non ha mai fase pari a  .
Parametri caratteristici della funzione di trasferimento in catena chiusa di riferimento  
  • guadagno stazionario  :[1]
     
  • picco di risonanza  :
     
  • pulsazione   relativa alla banda passante a  :
     
 
Risposta al gradino unitario  
  • risposta al gradino unitario:
     
    •  : sovraelongazione massima (relativa);
    •  : tempo corrispondente a  ;
    •  : tempo di salita;
    •  : tempo di salita dal 10% al 90%;
    •  : tempo di assestamento a  .
Relazioni notevoli per la funzione di trasferimento in catena chiusa di riferimento  
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NoteModifica

  1. Come visto al capitolo precedente, si tratta di un'approssimazione, che diventa un'eguaglianza solo in presenza di almeno un polo nell'origine.