Controlli automatici/Margini di stabilità

Tra il comportamento del sistema vero e il modello utilizzato per rappresentarlo ci possono essere delle discrepanze che causano delle variazioni rispetto alla funzione d'anello nominale ${G_{a}}_{f}(s)$, in particolare:

• variazioni di $F(s)$ dovute all'incertezza e alla scarsa accuratezza del modello del processo;
• variazioni di $C(s)$ dovute a problemi nella realizzazione pratica del compensatore.

L'asintotica stabilità del sistema controllato deve essere mantenuta anche in condizioni perturbate: si parla in tal caso di stabilità robusta. Il grado di robustezza del sistema a fronte di variazioni del suo modello nominale è valutato attraverso opportuni indicatori di robustezza, che permettono di quantificare l'ampiezza delle massime perturbazioni sul modello che garantiscono il mantenimento dell'asintotica stabilità del sistema.

Margini di guadagno e di fase

Se:

• il guadagno $K_{C}$ è positivo;
• la funzione d'anello nominale ${G_{a}}_{f}(s)$ è a minima rotazione di fase, cioè non ha singolarità (poli e zeri) a parte reale positiva ($n_{i,a}=0$);
• esiste una sola pulsazione $\omega$ per cui il modulo $\left|{G_{a}}_{f}(s)\right|$ risulta unitario → il diagramma polare della funzione d'anello nominale ${G_{a}}_{f}(s)$ interseca una volta la circonferenza di raggio unitario;
• esiste una sola pulsazione $\omega$ di valore finito per cui la fase $\angle {G_{a}}_{f}(s)$ vale $-{180}^{\circ }$ → il diagramma polare della funzione d'anello nominale ${G_{a}}_{f}(s)$ interseca una volta il semiasse reale negativo;

allora:

• i margini di stabilità di guadagno $m_{G}$ e di fase $m_{\varphi }$ sono leggibili facilmente dai diagrammi di Bode della funzione d'anello nominale ${G_{a}}_{f}(s)$;
• il sistema è asintoticamente stabile se e solo se i margini di guadagno ${m_{G}}_{\text{dB}}$ e di fase $m_{\varphi }$ risultano positivi.

Margine di guadagno

Data una funzione d'anello nominale ${G_{a}}_{f}(s)$ che nel diagramma polare interseca il semiasse reale negativo nell'unico punto $\left(x_{A},0\right)$ corrispondente alla pulsazione $\omega _{\pi }$, il guadagno $K_{C}$ è un fattore moltiplicativo (positivo) che rappresenta le variazioni del modulo rispetto alla funzione d'anello nominale ${G_{a}}_{f}(s)$:

$G_{a}(s)=K_{C}{G_{a}}_{f}(s)$

Aumentando il guadagno $K_{C}$, il modulo della funzione d'anello $G_{a}(s)$ aumenta ed il punto di intersezione si sposta verso sinistra → quando il punto di intersezione raggiunge il punto critico $\left(-1,0\right)$ il sistema esce dalle condizioni di asintotica stabilità.

Il margine di guadagno $m_{G}$ corrisponde al fattore moltiplicativo $K_{C}$ per cui il punto di intersezione raggiunge il punto critico $\left(-1,0\right)$:

$m_{G}={\frac {1}{\left|x_{A}\right|}},\quad -1<x_{A}<0$

Le variazioni del guadagno $K_{C}$ non devono superare il margine di guadagno $m_{G}$ affinché il sistema rimanga in condizioni di asintotica stabilità. Il grado di robustezza aumenta all'aumentare del margine di guadagno $m_{G}$.

Un sistema è detto a stabilità regolare se risulta asintoticamente stabile per qualunque valore positivo del guadagno $K_{C}$ non superiore alla soglia massima determinata dal margine di guadagno $m_{G}$.

Il margine di guadagno $m_{G}$ può essere letto agevolmente sui diagrammi di Bode della funzione d'anello $G_{a}(s)$: esso corrisponde, sul diagramma del modulo, alla distanza dall'asse delle ascisse in cui il modulo vale $1=0{\text{ dB}}$, in corrispondenza della pulsazione $\omega _{\pi }$ alla quale la fase vale $-{180}^{\circ }$:

${\begin{cases}{m_{G}}_{\text{dB}}=-{\left|G_{a}\left(j\omega _{\pi }\right)\right|}_{\text{dB}}\\\angle G_{a}\left(j\omega _{\pi }\right)=-{180}^{\circ }\end{cases}}$

Margine di fase

Sia data una funzione d'anello nominale ${G_{a}}_{f}(s)$ che nel diagramma polare interseca la circonferenza di raggio unitario nell'unico punto $1e^{j\varphi _{C}}$ corrispondente alla pulsazione $\omega _{c}$, detta pulsazione critica (o di cross-over, o di taglio).

A causa per esempio della presenza di un ritardo temporale nell'anello di retroazione, la fase della funzione d'anello $G_{a}(s)$ in corrispondenza della pulsazione critica $\omega _{c}$ diminuisce ed il punto di intersezione si sposta verso l'asse reale → quando il punto di intersezione raggiunge il punto critico $\left(-1,0\right)$ il sistema esce dalle condizioni di asintotica stabilità.

Il margine di fase $m_{\varphi }$ corrisponde alla perdita di fase per cui il punto di intersezione raggiunge il punto critico $\left(-1,0\right)$:

$m_{\varphi }={180}^{\circ }+\varphi _{C},\quad -{180}^{\circ }<\varphi _{C}<-{90}^{\circ }$

La perdita di fase alla pulsazione critica $\omega _{c}$ non deve superare il margine di fase $m_{\varphi }$ affinché il sistema rimanga in condizioni di asintotica stabilità. Il grado di robustezza aumenta all'aumentare del margine di fase $m_{\varphi }$.

Il margine di fase $m_{\varphi }$ può essere letto agevolmente sui diagrammi di Bode della funzione d'anello $G_{a}(s)$: esso corrisponde, sul diagramma della fase, alla distanza dall'asse in cui la fase vale $-{180}^{\circ }$, in corrispondenza della pulsazione critica $\omega _{c}$ alla quale il modulo vale $1=0{\text{ dB}}$:

${\begin{cases}m_{\varphi }={180}^{\circ }+\angle G_{a}\left(j\omega _{c}\right)\\{\left|G_{a}\left(j\omega _{c}\right)\right|}_{\text{dB}}=0\end{cases}}$

Estensioni delle definizioni dei margini

Se non tutte le condizioni prima elencate sono soddisfatte è necessario ricavare i margini di stabilità dal diagramma polare:

1. il diagramma polare interseca più volte l'asse reale: possono presentarsi vari casi, tra cui i sistemi a stabilità marginale (o condizionata): il guadagno $K_{C}$ deve mantenersi al di sopra del margine di attenuazione ${m_{G}}_{1}$ e al di sotto del margine di amplificazione ${m_{G}}_{2}$;
2. il diagramma polare interseca più volte la circonferenza unitaria: il margine di fase $m_{\varphi }$ deve essere letto in corrispondenza del punto di intersezione più vicino all'asse reale;
3. la funzione d'anello $G_{a}(s)$ non è a minima rotazione di fase.

Picco di risonanza

Il picco di risonanza $M_{r}$ della funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y}(s)$ è approssimabile al valore massimo ${W_{y}}_{r}$ del suo modulo in corrispondenza della pulsazione di risonanza $\omega _{r}$:

$M_{r}={\frac {{W_{y}}_{r}}{\left|W_{y}\left(0\right)\right|}},\quad {W_{y}}_{r}=\left|W_{y}\left(j\omega _{r}\right)\right|=\max {\left\{\left|W_{y}\left(j\omega \right)\right|\right\}}$

• se la funzione d'anello $G_{a}(s)$ non ha poli nell'origine:

  $M_{r}\approx {W_{y}}_{r}$

• se la funzione d'anello $G_{a}(s)$ ha almeno un polo nell'origine:

  $M_{r}={W_{y}}_{r}$

Dimostrazione

$W_{y}(s)={\frac {G_{a}(s)}{1+G_{a}(s)}}={\frac {N(s)}{s+N(s)}},\quad G_{a}(s)={\frac {N(s)}{s}}$

$W_{y}(0)={\frac {N(0)}{0+N(0)}}=1\Rightarrow M_{r}={\frac {{W_{y}}_{r}}{\left|W_{y}\left(0\right)\right|}}={W_{y}}_{r}$

Se la funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y}(s)$ ha una coppia di poli complessi coniugati, il suo picco di risonanza $M_{r}$ dipende dallo smorzamento $\zeta$ dei poli:

$M_{r}\approx \left|W_{y}\left(j\omega _{r}\right)\right|={\frac {1}{2\zeta {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}},\quad {\begin{cases}0<\zeta <{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\\omega _{r}=\omega _{n}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}\end{cases}}$

Il picco di risonanza $M_{r}$ è un indicatore di stabilità "indiretto": più lo smorzamento $\zeta$ è piccolo e la coppia di poli è vicina all'asse immaginario, più il picco di risonanza $M_{r}$ è elevato e il sistema è vicino alla condizione di instabilità. Valori tipici del picco di risonanza $M_{r}$ sono dell'ordine di qualche dB, da $5{\text{ dB}}$ per $\zeta =0,3$ a $1{\text{ dB}}$ per $\zeta =0,5$.

Luoghi a modulo costante nel diagramma di Nyquist

Affinché il picco di risonanza $M_{r}$ sia inferiore ad un certo valore limite ${M_{r}}_{\text{lim}}$ desiderato:

$M_{r}\leq {M_{r}}_{\text{lim}}$

il diagramma di Nyquist della funzione d'anello $G_{a}(s)$ deve essere esterno per tutti i valori di $\omega$ alla circonferenza corrispondente al valore limite ${M_{r}}_{\text{lim}}$:

${\left({\mathcal {R}}\left\{G_{a}\left(j\omega \right)\right\}-{\mathcal {R}}_{0}\right)}^{2}+{\left({\mathcal {I}}\left\{G_{a}\left(j\omega \right)\right\}\right)}^{2}=\rho ^{2},\quad {\begin{cases}{\mathcal {R}}_{0}={\frac {{M_{r}}_{\text{lim}}^{2}}{1-{M_{r}}_{\text{lim}}^{2}}}\\\rho ={\frac {{M_{r}}_{\text{lim}}}{\left|1-{M_{r}}_{\text{lim}}^{2}\right|}}\end{cases}}$