Controlli automatici/Margini di stabilità

Indice del libro

Tra il comportamento del sistema vero e il modello utilizzato per rappresentarlo ci possono essere delle discrepanze che causano delle variazioni rispetto alla funzione d'anello nominale , in particolare:

  • variazioni di dovute all'incertezza e alla scarsa accuratezza del modello del processo;
  • variazioni di dovute a problemi nella realizzazione pratica del compensatore.

L'asintotica stabilità del sistema controllato deve essere mantenuta anche in condizioni perturbate: si parla in tal caso di stabilità robusta. Il grado di robustezza del sistema a fronte di variazioni del suo modello nominale è valutato attraverso opportuni indicatori di robustezza, che permettono di quantificare l'ampiezza delle massime perturbazioni sul modello che garantiscono il mantenimento dell'asintotica stabilità del sistema.

Margini di guadagno e di faseModifica

Se:

  • il guadagno   è positivo;
  • la funzione d'anello nominale   è a minima rotazione di fase, cioè non ha singolarità (poli e zeri) a parte reale positiva ( );
  • esiste una sola pulsazione   per cui il modulo   risulta unitario → il diagramma polare della funzione d'anello nominale   interseca una volta la circonferenza di raggio unitario;
  • esiste una sola pulsazione   di valore finito per cui la fase   vale   → il diagramma polare della funzione d'anello nominale   interseca una volta il semiasse reale negativo;

allora:

  • i margini di stabilità di guadagno   e di fase   sono leggibili facilmente dai diagrammi di Bode della funzione d'anello nominale  ;
  • il sistema è asintoticamente stabile se e solo se i margini di guadagno   e di fase   risultano positivi.

Margine di guadagnoModifica

Data una funzione d'anello nominale   che nel diagramma polare interseca il semiasse reale negativo nell'unico punto   corrispondente alla pulsazione  , il guadagno   è un fattore moltiplicativo (positivo) che rappresenta le variazioni del modulo rispetto alla funzione d'anello nominale  :

 

Aumentando il guadagno  , il modulo della funzione d'anello   aumenta ed il punto di intersezione si sposta verso sinistra → quando il punto di intersezione raggiunge il punto critico   il sistema esce dalle condizioni di asintotica stabilità.

Il margine di guadagno   corrisponde al fattore moltiplicativo   per cui il punto di intersezione raggiunge il punto critico  :

 

Le variazioni del guadagno   non devono superare il margine di guadagno   affinché il sistema rimanga in condizioni di asintotica stabilità. Il grado di robustezza aumenta all'aumentare del margine di guadagno  .

Un sistema è detto a stabilità regolare se risulta asintoticamente stabile per qualunque valore positivo del guadagno   non superiore alla soglia massima determinata dal margine di guadagno  .

Il margine di guadagno   può essere letto agevolmente sui diagrammi di Bode della funzione d'anello  : esso corrisponde, sul diagramma del modulo, alla distanza dall'asse delle ascisse in cui il modulo vale  , in corrispondenza della pulsazione   alla quale la fase vale  :

 

Margine di faseModifica

Sia data una funzione d'anello nominale   che nel diagramma polare interseca la circonferenza di raggio unitario nell'unico punto   corrispondente alla pulsazione  , detta pulsazione critica (o di cross-over, o di taglio).

A causa per esempio della presenza di un ritardo temporale nell'anello di retroazione, la fase della funzione d'anello   in corrispondenza della pulsazione critica   diminuisce ed il punto di intersezione si sposta verso l'asse reale → quando il punto di intersezione raggiunge il punto critico   il sistema esce dalle condizioni di asintotica stabilità.

Il margine di fase   corrisponde alla perdita di fase per cui il punto di intersezione raggiunge il punto critico  :

 

La perdita di fase alla pulsazione critica   non deve superare il margine di fase   affinché il sistema rimanga in condizioni di asintotica stabilità. Il grado di robustezza aumenta all'aumentare del margine di fase  .

Il margine di fase   può essere letto agevolmente sui diagrammi di Bode della funzione d'anello  : esso corrisponde, sul diagramma della fase, alla distanza dall'asse in cui la fase vale  , in corrispondenza della pulsazione critica   alla quale il modulo vale  :

 

Estensioni delle definizioni dei marginiModifica

Se non tutte le condizioni prima elencate sono soddisfatte è necessario ricavare i margini di stabilità dal diagramma polare:

  1. il diagramma polare interseca più volte l'asse reale: possono presentarsi vari casi, tra cui i sistemi a stabilità marginale (o condizionata): il guadagno   deve mantenersi al di sopra del margine di attenuazione   e al di sotto del margine di amplificazione  ;
  2. il diagramma polare interseca più volte la circonferenza unitaria: il margine di fase   deve essere letto in corrispondenza del punto di intersezione più vicino all'asse reale;
  3. la funzione d'anello   non è a minima rotazione di fase.

Picco di risonanzaModifica

Il picco di risonanza   della funzione di trasferimento in catena chiusa   è approssimabile al valore massimo   del suo modulo in corrispondenza della pulsazione di risonanza  :

 
  • se la funzione d'anello   non ha poli nell'origine:
     
  • se la funzione d'anello   ha almeno un polo nell'origine:
     

Se la funzione di trasferimento in catena chiusa   ha una coppia di poli complessi coniugati, il suo picco di risonanza   dipende dallo smorzamento   dei poli:

 

Il picco di risonanza   è un indicatore di stabilità "indiretto": più lo smorzamento   è piccolo e la coppia di poli è vicina all'asse immaginario, più il picco di risonanza   è elevato e il sistema è vicino alla condizione di instabilità. Valori tipici del picco di risonanza   sono dell'ordine di qualche dB, da   per   a   per  .

 
Luoghi a modulo costante nel diagramma di Nyquist

Affinché il picco di risonanza   sia inferiore ad un certo valore limite   desiderato:

 

il diagramma di Nyquist della funzione d'anello   deve essere esterno per tutti i valori di   alla circonferenza corrispondente al valore limite  :