Controlli automatici/Reti di compensazione

Una volta determinata la parte statica della funzione $C(s)$ del controllore, la parte dinamica $C'(s)$ viene costruita in modo che la funzione d'anello $G_{a}(s)$ presenti la forma idonea al soddisfacimento delle specifiche:

${\begin{cases}\omega _{c}\simeq {\omega _{c}}_{\text{des}}\\m_{\varphi }\geq {m_{\varphi }}_{\text{min}}\end{cases}}$

• vincoli sulla pulsazione di taglio $\omega _{c}$ vengono imposti da specifiche sulla prontezza di risposta del sistema (tempo di salita $t_{s}$ o $t_{r}$) o sulla banda passante;
• vincoli sul margine di fase $m_{\varphi }$ vengono imposti da specifiche sulla sovraelgonazione massima ${\hat {s}}$ o sul picco di risonanza $M_{r}$.

Loop shaping (o sintesi per tentativi)

1. si valutano alla pulsazione di taglio desiderata ${w_{c}}_{\text{des}}$ il modulo e la fase della funzione d'anello di partenza $G_{a1}(s)$:

   $G_{a1}(s)={\frac {K_{c}}{s^{h}}}F(s)$

2. si calcola la variazione di fase $\Delta \varphi$ necessaria per soddisfare il vincolo sul margine di fase $m_{\varphi }$ alla pulsazione di taglio desiderata ${w_{c}}_{\text{des}}$ (solitamente è un anticipo di fase);
3. si calcola la variazione di modulo $\Delta m$ necessaria per soddisfare il vincolo sulla pulsazione di taglio $\omega _{c}$ alla pulsazione di taglio desiderata ${w_{c}}_{\text{des}}$:

   ${\Delta m}_{\text{dB}}=-{\left|G_{a1}\left(j{\omega _{c}}_{\text{des}}\right)\right|}_{\text{dB}}$

4. la parte dinamica $C'(s)$ si costruisce come prodotto di reti di compensazione elementari;
5. si procede a una completa verifica delle specifiche dinamiche sulla funzione di trasferimento in catena chiusa $W(s)$, poiché il soddisfacimento dei vincoli individuati sulla funzione d'anello $G_{a}(s)$ non garantisce l'automatico soddisfacimento delle specifiche dinamiche sul sistema in catena chiusa.

Reti di compensazione

• reti anticipatrici (o derivative): anticipo di fase, aumento di modulo;
• reti attenuatrici (o integrative): perdita di fase, attenuazione di modulo;
• reti integro-derivative (o lead-lag): formate dall'unione di reti dei due tipi precedenti.

Reti anticipatrici

Diagrammi di Bode normalizzati di reti anticipatrici al variare di $m_{d}$

Una rete anticipatrice (o derivativa) è descritta da una funzione di trasferimento nella forma:

$R_{d}(s)={\frac {1+\tau _{d}s}{1+{\frac {\tau _{d}}{m_{d}}}s}},\quad {\begin{cases}\tau _{d}>0\\m_{d}>1\end{cases}}$

La rete presenta:

• uno zero in $-{\tfrac {1}{\tau _{d}}}$;
• un polo in $-{\tfrac {m_{d}}{\tau _{d}}}$.

Essendo $m_{d}>1$, il polo si trova ad una pulsazione $m_{d}$ volte maggiore di quella dello zero → è possibile sovrapporre i diagrammi di Bode di varie reti anticipatrici, al variare di $m_{d}$, normalizzandoli alla pulsazione normalizzata $\omega \tau _{d}$:

• lo zero si trova alla pulsazione normalizzata $1=0{\text{ dB}}$;
• il polo si trova alla pulsazione normalizzata $m_{d}$.

L'inserimento di una rete anticipatrice nella funzione $C'(s)$ introduce nella funzione d'anello $G_{a}(s)$:

• un aumento di modulo crescente al crescere di $m_{d}$, che tende al valore massimo ${\left.m_{d}\right|}_{\text{dB}}$ per $\omega \to +\infty$;
• un anticipo (o recupero, cioè aumento) di fase crescente al crescere di $m_{d}$, il cui massimo $\varphi _{\text{max}}$ si trova all'ascissa normalizzata ${\sqrt {m_{d}}}$.

Le reti anticipatrici sono utilizzate quando alla pulsazione di taglio desiderata ${\omega _{c}}_{\text{des}}$ è necessario un recupero di fase $\Delta \varphi$ per ottenere il margine di fase $m_{\varphi }$ richiesto.

Sfruttamento del massimo recupero di fase

Solitamente il valore di $m_{d}$ è progettato sfruttando il massimo recupero di fase $\varphi _{\text{max}}$ consentito dalla rete:

$\varphi _{\text{max}}={\rm {{arcsin}{\frac {m_{d}-1}{m_{d}+1}}\Rightarrow m_{d}={\frac {1+\sin {\varphi _{\text{max}}}}{1-\sin {\varphi _{\text{max}}}}}}}$

La costante di tempo $\tau _{d}$ si determina dai diagrammi di Bode normalizzati imponendo che il punto ad ascissa normalizzata $x_{d}$, corrispondente alla pulsazione di taglio desiderata ${\omega _{c}}_{\text{des}}$, sia coincidente al punto di massimo recupero di fase della rete:

$x_{d}={\omega _{c}}_{\text{des}}\tau _{d}={\sqrt {m_{d}}}:\;\angle R_{i}\left(j{\omega _{c}}_{\text{des}}\right)=\Delta \varphi =\varphi _{\text{max}}$

Se la variazione di fase $\Delta \varphi$ desiderata è elevata ($>{60}^{\circ }$), si introducono più reti anticipatrici ${R_{d}}_{i}(s)$ scelte in modo che:

$\Delta \varphi =\sideset {}{_{i}}\sum {{\varphi _{\text{max}}}_{i}}$

Se in corrispondenza della pulsazione di taglio desiderata ${\omega _{c}}_{\text{des}}$ l'aumento di modulo determinato dall'inserimento della rete, pari a:

${\left|R_{d}\left(j{\omega _{c}}_{\text{des}}\right)\right|}_{\text{dB}},\quad {\omega _{c}}_{\text{des}}={\frac {\sqrt {m_{d}}}{\tau _{d}}}$

risulta inferiore alla variazione di modulo desiderata $\Delta m$, è sufficiente aumentare opportunamente il guadagno stazionario $K_{c}$ in modo che la pulsazione di taglio $\omega _{c}$ della funzione d'anello $G_{a}(s)$ sia pari a quella desiderata ${\omega _{c}}_{\text{des}}$.

Contenimento dell'aumento di modulo

Se in corrispondenza della pulsazione di taglio desiderata ${\omega _{c}}_{\text{des}}$ l'aumento di modulo determinato dall'inserimento della rete risulta superiore alla variazione di modulo desiderata $\Delta m$, è necessario sovradimensionare il valore di $m_{d}$ della rete in modo che, in un punto ad ascissa normalizzata $x_{d}$ inferiore a quella del punto di massimo recupero di fase, sia la variazione di modulo sia la variazione di fase introdotte siano pari a quelle desiderate $\Delta m$ e $\Delta \varphi$:

$x_{d}={\omega _{c}}_{\text{des}}\tau _{d}<{\sqrt {m_{d}}}:\;{\begin{cases}\angle R_{i}\left(j{\omega _{c}}_{\text{des}}\right)=\Delta \varphi <\varphi _{\text{max}}\\{\left|R_{i}\left(j{\omega _{c}}_{\text{des}}\right)\right|}_{\text{dB}}={\left.\Delta m\right|}_{\text{dB}}\end{cases}}$

Il principale svantaggio associato all'utilizzo di reti anticipatrici con $m_{d}$ elevato consiste in un aumento dell'attività sul comando.

Reti attenuatrici

Diagrammi di Bode normalizzati di reti attenuatrici al variare di $m_{i}$

Una rete attenuatrice (o integrativa) è descritta da una funzione di trasferimento nella forma:

$R_{i}(s)={\frac {1+{\frac {\tau _{i}}{m_{i}}}s}{1+\tau _{i}s}},\quad {\begin{cases}\tau _{i}>0\\m_{i}>1\end{cases}}$

La rete presenta:

• un polo in $-{\tfrac {1}{\tau _{i}}}$;
• uno zero in $-{\tfrac {m_{i}}{\tau _{i}}}$.

Essendo $m_{i}>1$, lo zero si trova ad una pulsazione $m_{i}$ volte maggiore di quella del polo → è possibile sovrapporre i diagrammi di Bode di varie reti attenuatrici, al variare di $m_{i}$, normalizzandoli alla pulsazione normalizzata $\omega \tau _{i}$:

• il polo si trova alla pulsazione normalizzata $1=0{\text{ dB}}$;
• lo zero si trova alla pulsazione normalizzata $m_{i}$.

L'inserimento di una rete attenuatrice nella funzione $C'(s)$ introduce nella funzione d'anello $G_{a}(s)$:

• un'attenuazione di modulo crescente al crescere di $m_{i}$, che tende al valore minimo $-{\left.m_{i}\right|}_{\text{dB}}$ per $\omega \to +\infty$;
• una perdita (cioè diminuzione) di fase crescente al crescere di $m_{i}$, il cui minimo $\varphi _{\text{min}}$ si trova all'ascissa normalizzata ${\sqrt {m_{i}}}$.

Le reti attenuatrici sono utilizzate quando è necessaria un'attenuazione di modulo ${\left.\Delta m\right|}_{\text{dB}}$ per ridurre la pulsazione di taglio $\omega _{c}$ fino a portarla al valore desiderato ${\omega _{c}}_{\text{des}}$:

$-{\left.\Delta m\right|}_{\text{dB}}={\left|{G_{a}}_{1}\left(j{\omega _{c}}_{\text{des}}\right)\right|}_{\text{dB}}$

Il valore di $m_{i}$ è scelto pari all'attenuazione di modulo $\Delta m$ richiesta:

$m_{i}=-\Delta m$

La costante di tempo $\tau _{i}$ si determina dai diagrammi di Bode normalizzati imponendo che in corrispondenza del punto ad ascissa normalizzata $x_{i}$, corrispondente alla pulsazione di taglio desiderata ${\omega _{c}}_{\text{des}}$, l'attenuazione di modulo ${\left.\Delta m\right|}_{\text{dB}}$ tenda a quella massima della rete:

$x_{i}={\omega _{c}}_{\text{des}}\tau _{i}\gg {\sqrt {m_{i}}}:\;{\left|R_{i}\left(j{\omega _{c}}_{\text{des}}\right)\right|}_{\text{dB}}={\left.\Delta m\right|}_{\text{dB}}\to -{\left.m_{i}\right|}_{\text{dB}}$

In corrispondenza del punto ad ascissa normalizzata $x_{i}$:

• la perdita di fase deve essere piccola in modo da contenere la riduzione del margine di fase $m_{\varphi }$;
• il tempo di assestamento $t_{a,\varepsilon \%}$ della risposta del sistema non deve essere troppo elevato, cioè l'ascissa $x_{i}$ non deve essere scelta a pulsazioni troppo elevate.

Reti integro-derivative

Diagramma di Bode di una rete integro-derivativa

Una rete integro-derivativa (o lead-lag) è descritta da una funzione di trasferimento del secondo ordine, dal prodotto di una rete attenuatrice e di una rete anticipatrice:

$R_{id}(s)=\underbrace {\frac {1+{\frac {\tau _{i}}{m_{i}}}s}{1+\tau _{i}s}} _{\text{attenuatrice}}\cdot \underbrace {\frac {1+\tau _{d}s}{1+{\frac {\tau _{d}}{m_{d}}}s}} _{\text{anticipatrice}},\quad {\begin{cases}\tau _{i},\tau _{d}>0\\m_{i},m_{d}>1\end{cases}}$

Una rete integro-derivativa è utilizzata quando alla pulsazione di taglio desiderata ${\omega _{c}}_{\text{des}}$ è necessario introdurre:

• un recupero di fase (anticipatrice) per garantire il margine di fase richiesto;

e

• un'attenuazione del modulo (attenuatrice) affinché il modulo sia unitario ($0{\text{ dB}}$).

Si progetta prima la rete anticipatrice apportando un recupero di fase maggiore di quanto strettamente necessario, così la fase in eccesso potrà essere persa per effetto della rete attenuatrice.

Implicazioni sull'attività sul comando

La risposta al gradino della funzione di trasferimento $W_{u}(s)$ del comando $u(t)$:

$W_{u}(s)={\frac {u(s)}{y_{\text{des}}(s)}}={\frac {C(s)}{1+G_{a}(s)}}$

presenta un valore massimo che aumenta al crescere dell'azione anticipatrice introdotta ($m_{d}$) e diminuisce al crescere dell'azione attenuatrice introdotta ($m_{i}$):

• se la funzione $C(s)$ del controllore è priva di poli nell'origine, il comando $u(t)$ raggiunge il valore massimo per $t=0$:

  $\lim _{t\to 0}u(t)=K_{c}{\frac {\sideset {}{_{k}}\prod {{m_{d}}_{k}}}{\sideset {}{_{j}}\prod {{m_{i}}_{j}}}}$

Dimostrazione

Ipotesi

La funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore è priva di poli nell'origine:

$C(s)=K_{c}\cdot \sideset {}{_{k}}\prod {{R_{d}}_{k}(s)}\cdot \sideset {}{_{j}}\prod {{R_{i}}_{j}(s)}$

Dal teorema iniziale si ricava il valore massimo in $t=0$ dell'attività sul comando $u(t)$ a fronte di un ingresso a gradino unitario $\varepsilon (t)$:

$\lim _{t\to 0}u(t)=\lim _{s\to +\infty }su(s)=\lim _{s\to +\infty }sW_{u}(s)\cdot y_{\text{des}}(s)=\lim _{s\to +\infty }s{\frac {C(s)}{1+G_{a}(s)}}\cdot {\mathcal {L}}\left\{\varepsilon (t)\right\}=\lim _{s\to +\infty }{\cancel {s}}{\frac {C(s)}{1+G_{a}(s)}}\cdot {\frac {1}{\cancel {s}}}=$

Poiché $G_{a}(s)$ è la funzione d'anello di un sistema fisicamente realizzabile, essa è strettamente propria:

$=\lim _{s\to +\infty }C(s)=K_{c}{\frac {\sideset {}{_{k}}\prod {{m_{d}}_{k}}}{\sideset {}{_{j}}\prod {{m_{i}}_{j}}}}$

• se la funzione $C(s)$ del controllore contiene almeno un polo nell'origine, il comando $u(t)$ raggiunge il valore massimo per $t>0$.