Controlli automatici/Reti di compensazione

Indice del libro

Una volta determinata la parte statica della funzione del controllore, la parte dinamica viene costruita in modo che la funzione d'anello presenti la forma idonea al soddisfacimento delle specifiche:

  • vincoli sulla pulsazione di taglio vengono imposti da specifiche sulla prontezza di risposta del sistema (tempo di salita o ) o sulla banda passante;
  • vincoli sul margine di fase vengono imposti da specifiche sulla sovraelgonazione massima o sul picco di risonanza .
Loop shaping (o sintesi per tentativi)
  1. si valutano alla pulsazione di taglio desiderata il modulo e la fase della funzione d'anello di partenza :
  2. si calcola la variazione di fase necessaria per soddisfare il vincolo sul margine di fase alla pulsazione di taglio desiderata (solitamente è un anticipo di fase);
  3. si calcola la variazione di modulo necessaria per soddisfare il vincolo sulla pulsazione di taglio alla pulsazione di taglio desiderata :
  4. la parte dinamica si costruisce come prodotto di reti di compensazione elementari;
  5. si procede a una completa verifica delle specifiche dinamiche[1] sulla funzione di trasferimento in catena chiusa , poiché il soddisfacimento dei vincoli individuati sulla funzione d'anello non garantisce l'automatico soddisfacimento delle specifiche dinamiche sul sistema in catena chiusa.
Reti di compensazione
  • reti anticipatrici (o derivative): anticipo di fase, aumento di modulo;
  • reti attenuatrici (o integrative): perdita di fase, attenuazione di modulo;
  • reti integro-derivative (o lead-lag): formate dall'unione di reti dei due tipi precedenti.

Reti anticipatriciModifica

 
Diagrammi di Bode normalizzati di reti anticipatrici al variare di  

Una rete anticipatrice (o derivativa) è descritta da una funzione di trasferimento nella forma:

 

La rete presenta:

  • uno zero in  ;
  • un polo in  .

Essendo  , il polo si trova ad una pulsazione   volte maggiore di quella dello zero → è possibile sovrapporre i diagrammi di Bode di varie reti anticipatrici, al variare di  , normalizzandoli alla pulsazione normalizzata  :

  • lo zero si trova alla pulsazione normalizzata  ;
  • il polo si trova alla pulsazione normalizzata  .

L'inserimento di una rete anticipatrice nella funzione   introduce nella funzione d'anello  :

  • un aumento di modulo crescente al crescere di  , che tende al valore massimo   per  ;
  • un anticipo (o recupero, cioè aumento) di fase crescente al crescere di  , il cui massimo   si trova all'ascissa normalizzata  .

Le reti anticipatrici sono utilizzate quando alla pulsazione di taglio desiderata   è necessario un recupero di fase   per ottenere il margine di fase   richiesto.

Sfruttamento del massimo recupero di faseModifica

Solitamente il valore di   è progettato sfruttando il massimo recupero di fase   consentito dalla rete:

 

La costante di tempo   si determina dai diagrammi di Bode normalizzati imponendo che il punto ad ascissa normalizzata  , corrispondente alla pulsazione di taglio desiderata  , sia coincidente al punto di massimo recupero di fase della rete:

 

Se la variazione di fase   desiderata è elevata ( ), si introducono più reti anticipatrici   scelte in modo che:

 

Se in corrispondenza della pulsazione di taglio desiderata   l'aumento di modulo determinato dall'inserimento della rete, pari a:

 

risulta inferiore alla variazione di modulo desiderata  , è sufficiente aumentare opportunamente il guadagno stazionario   in modo che la pulsazione di taglio   della funzione d'anello   sia pari a quella desiderata  .

Contenimento dell'aumento di moduloModifica

Se in corrispondenza della pulsazione di taglio desiderata   l'aumento di modulo determinato dall'inserimento della rete risulta superiore alla variazione di modulo desiderata  , è necessario sovradimensionare il valore di   della rete in modo che, in un punto ad ascissa normalizzata   inferiore a quella del punto di massimo recupero di fase, sia la variazione di modulo sia la variazione di fase introdotte siano pari a quelle desiderate   e  :

 

Il principale svantaggio associato all'utilizzo di reti anticipatrici con   elevato consiste in un aumento dell'attività sul comando.

Reti attenuatriciModifica

 
Diagrammi di Bode normalizzati di reti attenuatrici al variare di  

Una rete attenuatrice (o integrativa) è descritta da una funzione di trasferimento nella forma:

 

La rete presenta:

  • un polo in  ;
  • uno zero in  .

Essendo  , lo zero si trova ad una pulsazione   volte maggiore di quella del polo → è possibile sovrapporre i diagrammi di Bode di varie reti attenuatrici, al variare di  , normalizzandoli alla pulsazione normalizzata  :

  • il polo si trova alla pulsazione normalizzata  ;
  • lo zero si trova alla pulsazione normalizzata  .

L'inserimento di una rete attenuatrice nella funzione   introduce nella funzione d'anello  :

  • un'attenuazione di modulo crescente al crescere di  , che tende al valore minimo   per  ;
  • una perdita (cioè diminuzione) di fase crescente al crescere di  , il cui minimo   si trova all'ascissa normalizzata  .

Le reti attenuatrici sono utilizzate quando è necessaria un'attenuazione di modulo   per ridurre la pulsazione di taglio   fino a portarla al valore desiderato  :

 

Il valore di   è scelto pari all'attenuazione di modulo   richiesta:[2]

 

La costante di tempo   si determina dai diagrammi di Bode normalizzati imponendo che in corrispondenza del punto ad ascissa normalizzata  , corrispondente alla pulsazione di taglio desiderata  , l'attenuazione di modulo   tenda a quella massima della rete:

 

In corrispondenza del punto ad ascissa normalizzata  :

  • la perdita di fase deve essere piccola in modo da contenere la riduzione del margine di fase  ;
  • il tempo di assestamento   della risposta del sistema non deve essere troppo elevato, cioè l'ascissa   non deve essere scelta a pulsazioni troppo elevate.

Reti integro-derivativeModifica

 
Diagramma di Bode di una rete integro-derivativa

Una rete integro-derivativa (o lead-lag) è descritta da una funzione di trasferimento del secondo ordine, dal prodotto di una rete attenuatrice e di una rete anticipatrice:

 

Una rete integro-derivativa è utilizzata quando alla pulsazione di taglio desiderata   è necessario introdurre:

  • un recupero di fase (anticipatrice) per garantire il margine di fase richiesto;
e
  • un'attenuazione del modulo (attenuatrice) affinché il modulo sia unitario ( ).

Si progetta prima la rete anticipatrice apportando un recupero di fase maggiore di quanto strettamente necessario, così la fase in eccesso potrà essere persa per effetto della rete attenuatrice.

Implicazioni sull'attività sul comandoModifica

La risposta al gradino della funzione di trasferimento   del comando  :

 

presenta un valore massimo che aumenta al crescere dell'azione anticipatrice introdotta ( ) e diminuisce al crescere dell'azione attenuatrice introdotta ( ):

  • se la funzione   del controllore è priva di poli nell'origine, il comando   raggiunge il valore massimo per  :
     
  • se la funzione   del controllore contiene almeno un polo nell'origine, il comando   raggiunge il valore massimo per  .

NoteModifica

  1. Il mancato soddisfacimento di una specifica statica indicherebbe la presenza di un errore progettuale.
  2. Si noti che la variazione di modulo   non è qui espressa in dB.