Controlli automatici/Diagrammi e carta di Nichols

Diagramma e carta di Nichols

Il diagramma di Nichols di una funzione di trasferimento $G(s)$ permette di analizzarne la risposta in frequenza tramite la sua rappresentazione grafica nel piano cartesiano di Nichols ${\left.\angle G(j\omega )\right|}_{\text{gradi}}\otimes {\left|G(j\omega )\right|}_{\text{dB}}$:

$G(j\omega )=\left|G(j\omega )\right|e^{j\angle G(j\omega )},\quad \omega >0$

La carta di Nichols è costituita dai luoghi a modulo costante $M$ e a fase costante $N$ della funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y}(s)$, tracciati sul piano di Nichols ${\left.\angle G(j\omega )\right|}_{\text{gradi}}\otimes {\left|G(j\omega )\right|}_{\text{dB}}$.

Margini di stabilità

Margini di guadagno e di fase letti sul diagramma di Nichols

Margini di stabilità letti sul diagramma di Nichols sovrapposto alla carta di Nichols

I margini di guadagno ${m_{G}}_{\text{dB}}$ e di fase $m_{\varphi }$ possono essere letti sul diagramma di Nichols della funzione d'anello $G_{a}(s)$.

Sovrapponendo alla carta di Nichols il diagramma di Nichols della funzione d'anello $G_{a}(s)$, è possibile ricavare il valore di modulo e fase della funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y}(s)$ al variare della pulsazione $\omega$.

Il picco di risonanza $M_{r}$ della funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y}(s)$ non supera un valore limite ${M_{r}}_{\text{lim}}$, garantendo una buona robustezza della stabilità, se e solo se il diagramma di Nichols della funzione d'anello $G_{a}(j\omega )$ è esterno alla curva della carta di Nichols corrispondente a modulo costante pari a ${M_{r}}_{\text{lim}}$:

• se il picco di risonanza $M_{r}$ non supera il valore limite ${M_{r}}_{\text{lim}}$, allora il margine di fase $m_{\varphi }$ è maggiore del valore limite ${m_{\varphi }}_{\text{lim}}$:

  $M<{M_{r}}_{\text{lim}}\Rightarrow m_{\varphi }>{m_{\varphi }}_{\text{lim}}$

dove il valore limite ${m_{\varphi }}_{\text{lim}}$ è il margine di fase letto in corrispondenza della curva della carta di Nichols corrispondente a modulo costante $M$ pari a ${M_{r}}_{\text{lim}}$:

${\begin{cases}{\left.{m_{\varphi }}_{\text{lim}}\right|}_{\text{rad}}={\rm {{arctg}{\left({\frac {\sqrt {4{M_{r}^{2}}_{\text{lim}}-1}}{2{M_{r}^{2}}_{\text{lim}}-1}}\right)}}}\\{\left.{m_{\varphi }}_{\text{lim}}\right|}_{\text{gradi}}\cong 60^{\circ }-5{\left.{M_{r}}_{\text{lim}}\right|}_{\text{dB}},\quad 0{\text{ dB}}<{M_{r}}_{\text{lim}}<6{\text{ dB}}\end{cases}}$

• se il picco di risonanza $M_{r}$ non supera il valore limite ${M_{r}}_{\text{lim}}$, allora il margine di guadagno $m_{G}$ è maggiore del valore limite ${m_{G}}_{\text{lim}}$:

  $M<{M_{r}}_{\text{lim}}\Rightarrow m_{G}>{m_{G}}_{\text{lim}}$

dove il valore limite ${m_{G}}_{\text{lim}}$ è il margine di guadagno letto in corrispondenza della curva della carta di Nichols corrispondente a modulo costante $M$ pari a ${M_{r}}_{\text{lim}}$:

${\begin{cases}{m_{G}}_{\text{lim}}={\frac {{M_{r}}_{\text{lim}}}{{M_{r}}_{\text{lim}}+1}}\\{\left.{m_{G}}_{\text{lim}}\right|}_{\text{dB}}\cong 6-0,4{\left.{M_{r}}_{\text{lim}}\right|}_{\text{dB}},\quad 0{\text{ dB}}<{M_{r}}_{\text{lim}}<6{\text{ dB}}\end{cases}}$