Controlli automatici/Regolatori PID

Un regolatore ad azione proporzionale, integrale, derivativa (PID) permette di stabilizzare un sistema anche se non è completamente noto il modello matematico dinamico che lo rappresenta.

Modello dei regolatori PID

La legge di controllo ideale nel dominio del tempo di un regolatore PID:

${\begin{cases}u(t)=K_{P}e(t)+K_{I}\int _{t_{0}}^{t}e\left(\tau \right)d\tau +K_{D}{\frac {de(t)}{dt}}\\u(s)=\underbrace {K_{P}e(s)} _{u_{P}(s)}+\underbrace {K_{I}{\frac {e(s)}{s}}} _{u_{I}(s)}+\underbrace {K_{D}se(s)} _{u_{D}(s)}\end{cases}}$

combina tre tipi di azioni:

• azione proporzionale: la legge di controllo ha un termine $u_{P}(s)$ proporzionale all'errore di inseguimento;
• azione integrale: la legge di controllo ha un termine $u_{I}(s)$ proporzionale all'integrale (valor medio nel tempo) dell'errore di inseguimento, che garantisce un errore di inseguimento in regime permanente nullo rispetto a ingressi di riferimento costanti;
• azione derivativa: la legge di controllo ha un termine $u_{D}(s)$ proporzionale alla derivata dell'errore di inseguimento, che recupera la fase persa dal termine integrale.

Se il guadagno del processo da controllare è positivo, i guadagni $K_{P}$, $K_{I}$ e $K_{D}$ del regolatore sono positivi o nulli.

La funzione di trasferimento ideale $R_{\text{PID}}(s)$ di un regolatore PID è data da:

$R_{\text{PID}}(s)=K_{P}+{\frac {K_{I}}{s}}+K_{D}s=\underbrace {K_{P}} _{R_{P}}+\underbrace {\frac {K_{P}}{T_{I}s}} _{R_{I}(s)}+\underbrace {K_{P}T_{D}s} _{R_{D}(s)}$

dove:

• $T_{I}$ è detto tempo integrale:

  $T_{I}={\frac {K_{P}}{K_{I}}}$

• $T_{D}$ è detto tempo derivativo:

  $T_{D}={\frac {K_{D}}{K_{P}}}$

Realizzazione pratica dei regolatori PID

La funzione di trasferimento ideale $R_{\text{PID}}(s)$ è impropria per $T_{I}\neq 4T_{D}$ → affinché il regolatore sia fisicamente realizzabile, si inserisce nel blocco derivativo un polo di chiusura $p_{c}$, cioè un polo che causa una perdita di fase a partire da una pulsazione molto superiore alla pulsazione di taglio $\omega _{c}$ evitando di ridurre il margine di fase:

$R_{\text{PID}}^{r}(s)=K_{P}\left(1+{\frac {1}{T_{I}s}}+{\frac {T_{D}s}{1+{\frac {T_{D}}{N}}s}}\right),\quad p_{c}=-{\frac {N}{T_{D}}}\gg \omega _{c}$

Il parametro $N$ non dev'essere troppo grande per non causare un eccessivo aumento dell'attività sul comando:

$u\left(0\right)\propto K_{P}\left(1+N\right)$

Sottocasi

• regolatore P: usato per sistemi semplici e stabili in catena aperta anche in assenza del polo nell'origine (azione integrale):

  $R_{P}=K_{P},\quad K_{I}=K_{D}=0$

• regolatore PI: usato per sistemi che richiedono nello stesso tempo un polo nell'origine (azione integrale) e un buon anticipo di fase (zero):

  $R_{PI}(s)=K_{P}\left({\frac {1+T_{I}s}{T_{i}s}}\right),\quad K_{D}=0$

• regolatore PD: corrisponde a una rete anticipatrice con polo pari al polo di chiusura (molto grande):

  $R_{PD}(s)=K_{P}\left(1+{\frac {T_{D}s}{1+{\frac {T_{D}s}{N}}}}\right),\quad K_{I}=0$

Accorgimenti realizzativi

In presenza del regolatore PID $R_{\text{PID}}^{r}(s)$, la funzione di trasferimento del sistema in catena chiusa $W_{y}(s)$ presenta come zeri quelli del regolatore PID $R_{\text{PID}}^{r}(s)$ e quelli del sistema da controllare $F(s)$:

Inoltre, in caso di un ingresso $y_{\text{des}}(t)$ a gradino l'uscita del blocco derivativo $R_{D}(s)$, e di conseguenza il comando $u(t)$, si comporta nell'istante iniziale come un impulso che può facilmente mandare in saturazione l'attuatore, cioè il comando $u(t)$ raggiunge il suo valore massimo. Spostando i blocchi derivativo $R_{D}(s)$ e proporzionale $R_{P}(s)$, si dimostra tramite l'algebra dei blocchi che nella funzione $W_{y}(s)$ rimangono i soli zeri del sistema da controllare $F(s)$:

Ciò permette di limitare l'azione derivativa in caso di ingresso a gradino, e di ridurre la sovraelongazione nel transitorio.

Se il comando raggiunge il valore di saturazione, è necessario attendere la "scarica" del blocco integrale affinché l'attuatore ritorni ad operare in condizioni di linearità. Questo fenomeno, detto di wind-up, è risolvibile con l'inserimento di una caratteristica non lineare nella parte PI del regolatore (schema di desaturazione).

Metodi di taratura

I parametri $K_{P}$, $T_{I}$ e $T_{D}$ del regolatore si determinano in via sperimentale tramite i metodi di taratura:

• in anello chiuso: le prove sperimentali sono effettuate retroazionando il sistema con un regolatore P;
• in anello aperto: le prove sperimentali sono effettuate direttamente sul sistema senza alcun tipo di controllo.

Determinazione dei parametri del regolatore tramite i metodi di taratura

		Anello chiuso	Anello aperto
		Ziegler e Nichols	Ziegler e Nichols	Cohen e Coon	IMC
Regolatore P	$K_{P}$	$0,5{\bar {K}}_{P}$	${\frac {\tau _{G}}{K_{G}\theta _{G}}}$	${\frac {3\tau _{G}+\theta _{G}}{3K_{G}\theta _{G}}}$
Regolatore PI	$K_{P}$	$0,45{\bar {K}}_{P}$	${\frac {0,9\tau _{G}}{K_{G}\theta _{G}}}$	${\frac {10,8\tau _{G}+\theta _{G}}{12K_{G}\theta _{G}}}$	${\frac {\tau _{G}}{K_{G}\left(\theta _{G}+T_{g}\right)}}$
	$T_{I}$	$0,8{\bar {T}}$	$3\theta _{G}$	$\theta _{G}\cdot {\frac {30\tau _{G}+3\theta _{G}}{9\tau _{G}+20\theta _{G}}}$	$\tau _{G}$
Regolatore PID	$K_{P}$	$0,6{\bar {K}}_{P}$	${\frac {1,2\tau _{G}}{K_{G}\theta _{G}}}$	${\frac {16\tau _{G}+3\theta _{G}}{12K_{G}\theta _{G}}}$	${\frac {\tau _{G}+0,5\theta _{G}}{K_{G}\left(0,5\theta _{G}+T_{g}\right)}}$
	$T_{I}$	$0,5{\bar {T}}$	$2\theta _{G}$	$\theta _{G}\cdot {\frac {32\tau _{G}+6\theta _{G}}{13\tau _{G}+8\theta _{G}}}$	$\tau _{G}+0,5\theta _{G}$
	$T_{D}$	$0,125{\bar {T}}={\frac {1}{4}}T_{I}$	$0,5\theta _{G}={\frac {1}{4}}T_{I}$	${\frac {4\tau _{G}\theta _{G}}{11\tau _{G}+2\theta _{G}}}$	${\frac {0,5\theta _{G}\tau _{G}}{0,5\theta _{G}+\tau _{G}}}$

I metodi di taratura più classici di Ziegler e Nichols danno in genere risultati poco soddisfacenti dal punto di vista delle prestazioni, anche se la stabilità è solitamente ottenuta. I metodi di taratura più avanzati, sia in anello aperto sia in anello chiuso, sono preferibili ogni volta in cui sia necessario garantire migliori indici di robustezza e/o un migliore comportamento del sistema durante il transitorio.

Metodo di Ziegler e Nichols in anello chiuso

Il sistema viene chiuso in retroazione negativa unitaria con l'inserimento di un compensatore statico puramente proporzionale. Applicato un segnale di riferimento a gradino, il guadagno del compensatore aumenta fino a quando raggiunge il valore ${\bar {K}}_{P}$ e l'uscita presenta permanentemente delle oscillazioni di periodo costante ${\bar {T}}$.

Una volta determinati ${\bar {K}}_{P}$ e ${\bar {T}}$, si calcolano i parametri $K_{P}$, $T_{I}$ e $T_{D}$ del regolatore.

Quando viene raggiunto il valore ${\bar {K}}_{P}$, il sistema si trova ai limiti della stabilità, ovvero un ulteriore aumento del guadagno lo renderebbe instabile → ${\bar {K}}_{P}$ coincide con il margine di guadagno $m_{G}$ del sistema →

• le oscillazioni di periodo ${\bar {T}}$ hanno pulsazione $\omega _{\pi }$:

  ${\bar {K}}_{P}=m_{G}\Rightarrow {\bar {T}}={\tfrac {2\pi }{\omega _{\pi }}}$

• il metodo è applicabile soltanto a sistemi aventi margine di guadagno finito.

Imposizione del margine di fase

Il metodo di Ziegler-Nichols in anello chiuso porta spesso ad un margine di fase inferiore a 40° → la risposta al gradino del sistema controllato presenza oscillazioni poco smorzate.

È possibile imporre un margine di fase desiderato $m_{\varphi }$ imponendo le seguenti condizioni sulla funzione d'anello $G_{a}(s)$ (non nota) risultante dall'inserimento del regolatore PID:

${\begin{cases}\angle G_{a}\left(j\omega _{\pi }\right)=\left(1-{\frac {m_{\varphi }}{180}}\right)\left(-\pi \right)\\\left|G_{a}\left(j\omega _{\pi }\right)\right|=1\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}K_{P}={\bar {K}}_{P}\cos {m_{\varphi }}\\T_{I}={\frac {\bar {T}}{\pi }}\cdot {\frac {1+\sin {m_{\varphi }}}{\cos {m_{\varphi }}}}\\T_{D}={\frac {1}{4}}T_{I}={\frac {\bar {T}}{4\pi }}\cdot {\frac {1+\sin {m_{\varphi }}}{\cos {m_{\varphi }}}}\end{cases}}$

Metodi di taratura in anello aperto

I metodi di taratura in anello aperto permettono di determinare un modello approssimato al I ordine del processo da controllare $F(s)$:

$G(s)={\frac {K_{G}}{1+\tau _{G}s}}e^{-\theta _{G}s}$

dove:

• $K_{G}$ è il guadagno della funzione $G(s)$;
• $\tau _{G}$ è la costante di tempo del polo dominante;
• $\theta _{G}$ è il ritardo temporale della risposta al gradino.

Questi metodi sono applicabili a sistemi:

• ben approssimabili a una funzione di trasferimento di tale forma;
• asintoticamente stabili in catena aperta;
• con risposta al gradino monotona.

Applicato un segnale di riferimento a gradino di ampiezza ${\bar {u}}$, si determinano $K_{G}$, $\tau _{G}$ e $\theta _{G}$ tramite il metodo della tangente:

Metodo di Ziegler e Nichols in anello aperto

Anche il metodo di Ziegler e Nichols in anello aperto porta spesso ad un margine di fase basso → la risposta al gradino del sistema controllato presenza oscillazioni poco smorzate.

Metodo di Cohen e Coon

Il metodo di Cohen e Coon impone una condizione sulle oscillazioni durante il transitorio della risposta al gradino: impone che ogni picco sia smorzato del 25% rispetto al picco precedente.

Metodo di controllo a modello interno

Il metodo di controllo a modello interno (IMC) cerca di ricavare il regolatore confrontando il sistema da controllare $F(s)$ con il suo modello approssimato $G(s)$:

$R(s)={\frac {Q(s)R_{G}(s)}{1-Q(s)R_{G}(s)G(s)}}$

dove:

• $d_{c}$ è la differenza tra il sistema da controllare $F(s)$ e il suo modello approssimato $G(s)$;
• $Q(s)$ è l'inverso della parte a fase minima di $G(s)$;
• $R_{G}(s)$ è un filtro del I ordine:

  $R_{G}(s)={\frac {1}{1+T_{g}s}}$

Il blocco $G(s)$ non è una funzione razionale a causa del termine di ritardo →

• si ottiene un regolatore di tipo PI approssimando il termine di ritardo di $G(s)$ nel seguente modo:

  $e^{-s\theta _{G}}\approx 1-s\theta _{G}$

• si ottiene un regolatore di tipo PID approssimando il termine di ritardo di $G(s)$ nel seguente modo:

  $e^{-s\theta _{G}}\approx {\frac {1-s{\frac {\theta _{G}}{2}}}{1+s{\frac {\theta _{G}}{2}}}}$

All'aumentare del parametro $T_{g}>0$ del filtro del I ordine $R_{G}(s)$, la banda passante $\omega _{B}$ diminuisce e i margini di guadagno $m_{G}$ e di fase $m_{\varphi }$ aumentano.