Controlli automatici/Regolatori PID

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Un regolatore ad azione proporzionale, integrale, derivativa (PID) permette di stabilizzare un sistema anche se non è completamente noto il modello matematico dinamico che lo rappresenta.

Modello dei regolatori PIDModifica

La legge di controllo ideale nel dominio del tempo di un regolatore PID:

 

combina tre tipi di azioni:

  • azione proporzionale: la legge di controllo ha un termine   proporzionale all'errore di inseguimento;
  • azione integrale: la legge di controllo ha un termine   proporzionale all'integrale (valor medio nel tempo) dell'errore di inseguimento, che garantisce un errore di inseguimento in regime permanente nullo rispetto a ingressi di riferimento costanti;
  • azione derivativa: la legge di controllo ha un termine   proporzionale alla derivata dell'errore di inseguimento, che recupera la fase persa dal termine integrale.

Se il guadagno del processo da controllare è positivo, i guadagni  ,   e   del regolatore sono positivi o nulli.

La funzione di trasferimento ideale   di un regolatore PID è data da:

 

dove:

  •   è detto tempo integrale:
     
  •   è detto tempo derivativo:
     

Realizzazione pratica dei regolatori PIDModifica

La funzione di trasferimento ideale   è impropria per   → affinché il regolatore sia fisicamente realizzabile, si inserisce nel blocco derivativo un polo di chiusura  , cioè un polo che causa una perdita di fase a partire da una pulsazione molto superiore alla pulsazione di taglio   evitando di ridurre il margine di fase:

 

Il parametro   non dev'essere troppo grande per non causare un eccessivo aumento dell'attività sul comando:

 

SottocasiModifica

  • regolatore P: usato per sistemi semplici e stabili in catena aperta anche in assenza del polo nell'origine (azione integrale):
     
  • regolatore PI: usato per sistemi che richiedono nello stesso tempo un polo nell'origine (azione integrale) e un buon anticipo di fase (zero):
     
  • regolatore PD: corrisponde a una rete anticipatrice con polo pari al polo di chiusura (molto grande):
     

Accorgimenti realizzativiModifica

In presenza del regolatore PID  , la funzione di trasferimento del sistema in catena chiusa   presenta come zeri quelli del regolatore PID   e quelli del sistema da controllare  :

Inoltre, in caso di un ingresso   a gradino l'uscita del blocco derivativo  , e di conseguenza il comando  , si comporta nell'istante iniziale come un impulso che può facilmente mandare in saturazione l'attuatore, cioè il comando   raggiunge il suo valore massimo. Spostando i blocchi derivativo   e proporzionale  , si dimostra tramite l'algebra dei blocchi che nella funzione   rimangono i soli zeri del sistema da controllare  :

Ciò permette di limitare l'azione derivativa in caso di ingresso a gradino, e di ridurre la sovraelongazione nel transitorio.

Se il comando raggiunge il valore di saturazione, è necessario attendere la "scarica" del blocco integrale affinché l'attuatore ritorni ad operare in condizioni di linearità. Questo fenomeno, detto di wind-up, è risolvibile con l'inserimento di una caratteristica non lineare nella parte PI del regolatore (schema di desaturazione).

Metodi di taraturaModifica

I parametri  ,   e   del regolatore si determinano in via sperimentale tramite i metodi di taratura:

  • in anello chiuso: le prove sperimentali sono effettuate retroazionando il sistema con un regolatore P;
  • in anello aperto: le prove sperimentali sono effettuate direttamente sul sistema senza alcun tipo di controllo.
Determinazione dei parametri del regolatore tramite i metodi di taratura
Anello chiuso Anello aperto
Ziegler e Nichols Ziegler e Nichols Cohen e Coon IMC
Regolatore
P
       
Regolatore
PI
         
         
Regolatore
PID
         
         
         

I metodi di taratura più classici di Ziegler e Nichols danno in genere risultati poco soddisfacenti dal punto di vista delle prestazioni, anche se la stabilità è solitamente ottenuta. I metodi di taratura più avanzati, sia in anello aperto sia in anello chiuso, sono preferibili ogni volta in cui sia necessario garantire migliori indici di robustezza e/o un migliore comportamento del sistema durante il transitorio.

Metodo di Ziegler e Nichols in anello chiusoModifica

Il sistema viene chiuso in retroazione negativa unitaria con l'inserimento di un compensatore statico puramente proporzionale. Applicato un segnale di riferimento a gradino, il guadagno del compensatore aumenta fino a quando raggiunge il valore   e l'uscita presenta permanentemente delle oscillazioni di periodo costante  .

Una volta determinati   e  , si calcolano i parametri  ,   e   del regolatore.

Quando viene raggiunto il valore  , il sistema si trova ai limiti della stabilità, ovvero un ulteriore aumento del guadagno lo renderebbe instabile[1]  coincide con il margine di guadagno   del sistema →

  • le oscillazioni di periodo   hanno pulsazione  :
     
  • il metodo è applicabile soltanto a sistemi aventi margine di guadagno finito.

Imposizione del margine di faseModifica

Il metodo di Ziegler-Nichols in anello chiuso porta spesso ad un margine di fase inferiore a 40° → la risposta al gradino del sistema controllato presenza oscillazioni poco smorzate.

È possibile imporre un margine di fase desiderato   imponendo le seguenti condizioni sulla funzione d'anello   (non nota) risultante dall'inserimento del regolatore PID:[2]

 

Metodi di taratura in anello apertoModifica

I metodi di taratura in anello aperto permettono di determinare un modello approssimato al I ordine del processo da controllare  :

 

dove:

  •   è il guadagno della funzione  ;
  •   è la costante di tempo del polo dominante;
  •   è il ritardo temporale della risposta al gradino.

Questi metodi sono applicabili a sistemi:

  • ben approssimabili a una funzione di trasferimento di tale forma;
  • asintoticamente stabili in catena aperta;
  • con risposta al gradino monotona.

Applicato un segnale di riferimento a gradino di ampiezza  , si determinano  ,   e   tramite il metodo della tangente:

Metodo di Ziegler e Nichols in anello apertoModifica

Anche il metodo di Ziegler e Nichols in anello aperto porta spesso ad un margine di fase basso → la risposta al gradino del sistema controllato presenza oscillazioni poco smorzate.

Metodo di Cohen e CoonModifica

Il metodo di Cohen e Coon impone una condizione sulle oscillazioni durante il transitorio della risposta al gradino: impone che ogni picco sia smorzato del 25% rispetto al picco precedente.

Metodo di controllo a modello internoModifica

Il metodo di controllo a modello interno (IMC) cerca di ricavare il regolatore confrontando il sistema da controllare   con il suo modello approssimato  :

 

dove:

  •   è la differenza tra il sistema da controllare   e il suo modello approssimato  ;
  •   è l'inverso della parte a fase minima di  ;
  •   è un filtro del I ordine:
     

Il blocco   non è una funzione razionale a causa del termine di ritardo →

  • si ottiene un regolatore di tipo PI approssimando il termine di ritardo di   nel seguente modo:
     
  • si ottiene un regolatore di tipo PID approssimando il termine di ritardo di   nel seguente modo:
     

All'aumentare del parametro   del filtro del I ordine  , la banda passante   diminuisce e i margini di guadagno   e di fase   aumentano.

NoteModifica

  1. Dato il rischio di giungere facilmente all'instabilità, al posto del controllore statico può essere impiegato un relè senza isteresi.
  2. Si suppongono zeri idealmente coincidenti: