Controlli automatici/Diagrammi polari e di Nyquist

Indice del libro

Diagramma polareModifica

Il diagramma polare di una funzione di trasferimento   permette di analizzarne la risposta in frequenza tramite la sua rappresentazione grafica nel piano complesso:

 

Ogni punto del diagramma polare, corrispondente ad una certa pulsazione  , ha una distanza dall'origine pari al modulo e forma con l'asse reale un angolo pari alla fase.

Punto iniziale ( )
  • Se la funzione di trasferimento   è priva di poli nell'origine, il diagramma polare parte da un punto sull'asse reale.
  • Se la funzione di trasferimento   ha   poli nell'origine, il diagramma polare parte da un punto posto all'infinito su un asse cartesiano:
     
Punto finale ( )
  • Se la funzione di trasferimento   è strettamente propria, il diagramma polare termina nell'origine con fase multipla di  :
     
dove:
  •   è il numero di poli a parte reale   (esclusi i poli nell'origine);
  •   è il numero di poli a parte reale  ;
  •   è il numero di zeri a parte reale  ;
  •   è il numero di zeri a parte reale  .
  • Se la funzione di trasferimento   non è strettamente propria, il diagramma polare termina perpendicolarmente in un punto sull'asse reale diverso dall'origine.

Diagramma di NyquistModifica

Il diagramma di Nyquist di una funzione di trasferimento   permette di analizzarne la risposta in frequenza tramite la sua rappresentazione grafica nel piano complesso:

 

Ogni polo nell'origine ( )[1] determina una rotazione di fase di  , rappresentata come una semicirconferenza di raggio infinito percorsa in senso orario da   a   in modo che il diagramma di Nyquist sia costituito da una curva chiusa.

Poiché:

 

per   il luogo dei punti   risulta simmetrico a quello di   rispetto all'asse reale → il tracciato di   per   si ottiene dal ribaltamento del diagramma polare corrispondente a  .

NoteModifica

  1. In realtà questo vale per qualsiasi coppia di poli complessi coniugati appartenenti all'asse immaginario (cioè a parte reale nulla).