Controlli automatici/Criterio di Nyquist

Ipotesi

La funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y}(s)$:

$W_{y}(s)={\frac {G_{a}(s)}{1\mp G_{a}(s)}}$

non ha poli sull'asse immaginario (cioè a parte reale nulla) ↔ il diagramma di Nyquist della funzione d'anello $G_{a}(s)$ non passa per il punto $\left(\pm 1,0\right)$, detto punto critico di Nyquist.

Criterio di Nyquist

Il sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutti i poli della funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y}(s)$ sono asintoticamente stabili (cioè hanno parte reale $<0$):

$n_{i,c}=n_{i,a}+N=0$

dove:

• $n_{i,c}\geq 0$ è il numero di poli instabili (cioè a parte reale $>0$) della funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y}(s)$;
• $n_{i,a}\geq 0$ è il numero di poli instabili (cioè a parte reale $>0$) della funzione d'anello $G_{a}(s)$;
• $N$ è il numero di giri compiuti in senso orario dal diagramma di Nyquist della funzione d'anello $G_{a}\left(j\omega \right)$ attorno al punto $\left(\pm 1,0\right)$ al variare di $\omega$ (i giri anti-orari sono da conteggiarsi come negativi).

Se la funzione d'anello $G_{a}(s)$ del sistema è definita a meno di un fattore di guadagno variabile $K_{C}$:

$G_{a}(s)=K_{C}{G_{a}}_{f}(s)$

dove:

• $K_{C}\in \mathbb {R}$ è il guadagno stazionario del controllore (coincide con il controllore stesso se il controllore è puramente statico);
• ${G_{a}}_{f}$ include la eventuale parte dinamica del controllore (completamente definita) e la funzione di trasferimento del sistema da controllare dato;

allora è sufficiente applicare il criterio di Nyquist a ${G_{a}}_{f}(s)$ considerando come critico il punto $\left(\pm {\tfrac {1}{K_{C}}},0\right)$ per individuare i valori di $K_{C}$ per cui il sistema è asintoticamente stabile.