Controlli automatici/Analisi delle specifiche

Data $F(s)$, la funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore da progettare può essere espressa:

$C(s)={\frac {K_{c}}{s^{h}}}C'(s)$

dove:

• $K_{c}$ è il guadagno stazionario del controllore;
• $h$ è il numero di poli nell'origine;
• $C'(s)$ rappresenta la parte dinamica del controllore:
  • è di tipo zero ($C(s)$ deve avere $h$ poli nell'origine);
  • ha guadagno stazionario unitario (il guadagno stazionario di $C(s)$ dev'essere pari a $K_{c}$).

Sequenza di progetto del controllore

1. si soddisfano le specifiche statiche;
2. si determina il segno del guadagno stazionario $K_{c}$;
3. si soddisfano le specifiche dinamiche.

Implicazioni delle specifiche statiche

Specifiche statiche

• errore di inseguimento in regime permanente a segnali di riferimento polinomiali;
• reiezione o attenuazione di disturbi polinomiali in regime permanente.

Le specifiche statiche impongono vincoli su:

• numero $h$ di poli nell'origine;
• valore minimo del modulo del guadagno stazionario $K_{c}$.

L'inserimento di poli nell'origine nell'espressione di $C(s)$ causa una perdita di ${90}^{\circ }$ riducendo il margine di fase $m_{\varphi }$ → non vanno inseriti poli non necessari.

Stabilizzabilità del sistema

Il segno del guadagno stazionario $K_{c}$ viene determinato tramite il diagramma di Nyquist della funzione ${\tfrac {F(s)}{s^{h}}}$: si sceglie il semi-asse reale dove in seguito all'inserimento di $C'(s)$ si avranno possibilità di avere l'asintotica stabilità in catena chiusa del sistema.

Implicazioni delle specifiche dinamiche

Specifiche dinamiche

• caratteristiche in transitorio della risposta nel tempo a segnali di riferimento canonici, quali il gradino;
• risposta in frequenza del sistema in catena chiusa;
• inseguimento di segnali sinusoidali;
• attenuazione di disturbi sinusoidali.

Le specifiche nel tempo implicano vincoli sulla funzione di trasferimento in catena chiusa $W\left(j\omega \right)$, che a loro volta implicano vincoli sulla funzione d'anello $G_{a}\left(j\omega \right)$ (in particolare sul margine di fase $m_{\varphi }$ e sulla pulsazione di cross-over $\omega _{c}$).

Specifiche sulla risposta al gradino

Le specifiche sulla risposta al gradino unitario impongono vincoli sulla risposta in frequenza del sistema in catena chiusa:

• una specifica sulla sovraelongazione massima ${\hat {s}}$ impone un vincolo sul picco di risonanza $M_{r}$:

  ${\hat {s}}\leq {\hat {s}}_{\text{max}}\Rightarrow {\begin{cases}M_{r}\leq {\frac {\left(1+{\hat {s}}_{\text{max}}\right)}{0,9}}\\{M_{r}}_{\text{dB}}\leq 20\log _{10}{\frac {\left(1+{\hat {s}}_{\text{max}}\right)}{0,9}}\end{cases}}$

• una specifica sul tempo di salita $t_{s}$ o $t_{r}$ impone un vincolo sulla banda passante $\omega _{B}$ (un'eccessiva ampiezza di banda passante diminuisce la reiezione ai disturbi):

  $t_{s}\leq {t_{s}}_{\text{max}}\Rightarrow {\begin{cases}\omega _{B}\geq {\frac {3}{{t_{s}}_{\text{max}}}}\end{cases}}$

  $t_{r}\leq {t_{r}}_{\text{max}}\Rightarrow {\begin{cases}\omega _{B}\geq {\frac {2}{{t_{r}}_{\text{max}}}}\end{cases}}$

Specifiche sulla risposta in frequenza

Le specifiche sulla risposta in frequenza (formulate direttamente sulla funzione di trasferimento in catena chiusa $W\left(j\omega \right)$ o ricavate da specifiche sulla risposta nel tempo) impongono vincoli sulla funzione d'anello $G_{a}(s)$:

• una specifica sul picco di risonanza $M_{r}$ impone un vincolo sul margine di fase $m_{\varphi }$:

  $M_{r}\leq {M_{r}}_{\text{max}}\Rightarrow m_{\varphi }\leq {m_{\varphi }}_{\text{min}},\quad {m_{\varphi }}_{\text{min}}\cong {\frac {{60}^{\circ }}{{M_{r}}_{\text{max}}}}\cong {60}^{\circ }-5{\left.{M_{r}}_{\text{max}}\right|}_{\text{dB}}$

• una specifica sulla banda passante $\omega _{B}$ impone un vincolo sulla pulsazione di cross-over $\omega _{c}$:

  $\omega _{B}\lesseqgtr {\omega _{B}}_{\text{lim}}\Rightarrow \omega _{c}\lessgtr 0,63{\omega _{B}}_{\text{lim}}$

Specifiche sull'errore di inseguimento in regime permanente

Le specifiche sull'errore massimo di inseguimento in regime permanente $E$ di segnali sinusoidali impongono vincoli sulla funzione d'anello $G_{a}(s)$, in particolare sulla pulsazione di cross-over $\omega _{c}$ rispetto alla pulsazione del segnale $\omega _{0}$:

$E\leq E_{\text{max}}\Rightarrow G_{a}\left(j\omega _{0}\right)\gg 1\Rightarrow \omega _{c}\gg \omega _{0}$

Specifiche sull'attenuazione di disturbi sinusoidali

Le specifiche sull'attenuazione di disturbi sinusoidali impongono vincoli sulla funzione d'anello $G_{a}(s)$, in particolare sul valore della pulsazione di cross-over $\omega _{c}$ rispetto alla pulsazione del disturbo $\omega _{d}$, che variano a seconda del punto di ingresso del disturbo.