Controlli automatici/Riferimenti e disturbi sinusoidali

La risposta in frequenza descrive la risposta in regime permanente $y_{p}(t)$ di un sistema asintoticamente stabile a un segnale sinusoidale.

Precisione in regime permanente

Inseguimento di segnali sinusoidali

Sotto l'ipotesi di asintotica stabilità del sistema in catena chiusa, dato l'ingresso di riferimento sinusoidale $r(t)$:

$r(t)=\sin {\left(\omega _{0}t\right)}$

l'errore di inseguimento in regime permanente $e_{p}(t)$ è dato dalla risposta in frequenza della funzione di trasferimento d'errore $W_{e}(s)$ all'ingresso $r(t)$:

$e_{p}(t)=E\sin {\left(\omega _{0}t+\varphi _{e}\right)}$

dove:

• $E=\left|W_{e}\left(j\omega _{0}\right)\right|$
• $\varphi _{e}=\arg {\left(W_{e}\left(j\omega _{0}\right)\right)}$
• $W_{e}(s)={\frac {e(s)}{r(s)}}={\frac {K_{r}}{1+G_{a}(s)}}$

L'errore di inseguimento in regime permanente $e_{p}(t)$ massimo, pari a $E$ (per le proprietà del seno), è piccolo se la funzione d'anello $G_{a}(s)$ è sufficientemente grande alla pulsazione $\omega _{0}$ dell'ingresso:

$E=\left|{\frac {K_{r}}{1+G_{a}\left(j\omega _{0}\right)}}\right|$

Implicazioni sul progetto del controllore

Le specifiche di precisione relative all'errore di inseguimento in regime permanente $e_{p}(t)$ a segnali di riferimento sinusoidali impongono vincoli sull'andamento in frequenza della funzione d'anello $G_{a}(s)$, in particolare sulla pulsazione di cross-over $\omega _{c}$ rispetto alla pulsazione $\omega _{0}$ dell'ingresso:

$\left|e_{p}\right|\leq {e_{p}}_{\text{max}}\Rightarrow E\leq {e_{p}}_{\text{max}}\Rightarrow \left|G_{a}\left(j\omega _{0}\right)\right|\geq {G_{a}}_{\text{min}}\Rightarrow \omega _{0}\ll \omega _{c}\Rightarrow \omega _{B}\gg \omega _{0}$

Reiezione di disturbi in regime permanente

Effetti sull'uscita in regime permanente di disturbi sinusoidali

Sotto l'ipotesi di asintotica stabilità del sistema in catena chiusa, dato il disturbo sinusoidale $d_{\text{sin}}(t)$:

$d_{\text{sin}}(t)=D_{s}\sin {\left(\omega _{d}t\right)}$

l'effetto ${y_{p}}_{\text{sin}}(t)$ sull'uscita in regime permanente $y_{p}(t)$ è dato dalla risposta in frequenza della funzione di trasferimento $W_{d_{\text{sin}}}(s)$ al disturbo $d_{\text{sin}}(t)$:

${y_{p}}_{\text{sin}}(t)=Y_{d,p}\sin {\left(\omega _{d}t+\varphi _{d}\right)}$

dove:

• $Y_{d,p}=D_{s}\left|W_{d_{\text{sin}}}\left(j\omega _{d}\right)\right|$
• $\varphi _{d}=\arg {\left(W_{d_{\text{sin}}}\left(j\omega _{d}\right)\right)}$
• $W_{d_{\text{sin}}}(s)={\frac {d_{\text{sin}}(s)}{y(s)}}$

L'effetto ${y_{p}}_{\text{sin}}$ massimo del disturbo sull'uscita in regime permanente, pari a $Y_{d,p}$ (per le proprietà del seno), è piccolo, cioè il disturbo $d_{\text{sin}}(t)$ è molto attenuato, se il modulo della funzione di trasferimento $W_{d_{\text{sin}}}(s)$ è sufficientemente grande alla pulsazione del disturbo $\omega _{d}$.

Disturbo posto sull'uscita

L'attenuazione di un disturbo sinusoidale ${d_{y}}_{\text{sin}}(t)$ posto sull'uscita $y(t)$ è tanto più elevata quanto è grande la funzione d'anello $G_{a}(s)$ alla pulsazione $\omega _{d}$ del disturbo → sono ben attenuati disturbi di bassa frequenza rispetto alla pulsazione di cross-over $\omega _{c}$:

${W_{{d_{y}}_{\text{sin}}}}(s)={\frac {1}{1+G_{a}(s)}}$

Disturbo posto sul riferimento

L'attenuazione di un disturbo sinusoidale ${d_{r}}_{\text{sin}}(t)$ posto sul riferimento $y_{\text{des}}(t)$ è tanto più elevata quanto è piccola la funzione d'anello $G_{a}(s)$ alla pulsazione $\omega _{d}$ del disturbo → sono ben attenuati disturbi di alta frequenza rispetto alla pulsazione di cross-over $\omega _{c}$:

${W_{{d_{r}}_{\text{sin}}}}(s)={\frac {G_{a}(s)}{1+G_{a}(s)}}$

Disturbo posto sulla retroazione

L'attenuazione di un disturbo sinusoidale ${d_{m}}_{\text{sin}}(t)$ posto sulla retroazione è tanto più elevata quanto è piccola la funzione d'anello $G_{a}(s)$ alla pulsazione $\omega _{d}$ del disturbo → sono ben attenuati disturbi di alta frequenza rispetto alla pulsazione di cross-over $\omega _{c}$:

${W_{{d_{m}}_{\text{sin}}}}(s)=-{\frac {G_{a}(s)}{1+G_{a}(s)}}=-{W_{{d_{r}}_{\text{sin}}}}(s)$

Implicazioni sul progetto del controllore

Le specifiche sull'attenuazione in regime permanente di disturbi sinusoidali impongono vincoli sull'andamento in frequenza della funzione d'anello $G_{a}(s)$, in particolare sulla pulsazione di cross-over $\omega _{c}$ rispetto alla pulsazione $\omega _{d}$ del disturbo:

• disturbo posto sull'uscita:

  ${y_{p}}_{\text{sin}}(t)\leq {{y_{p}}_{\text{sin}}}_{\text{max}}\Rightarrow Y_{d,p}\leq {{y_{p}}_{\text{sin}}}_{\text{max}}\Rightarrow \left|G_{a}\left(j\omega _{d}\right)\right|\geq {G_{a}}_{\text{min}}\Rightarrow \omega _{d}\ll \omega _{c}\Rightarrow \omega _{B}\gg \omega _{d}$

• disturbo posto sul riferimento o sulla retroazione:

  ${y_{p}}_{\text{sin}}(t)\leq {{y_{p}}_{\text{sin}}}_{\text{max}}\Rightarrow Y_{d,p}\leq {{y_{p}}_{\text{sin}}}_{\text{max}}\Rightarrow \left|G_{a}\left(j\omega _{d}\right)\right|\leq {G_{a}}_{\text{max}}\Rightarrow \omega _{d}\gg \omega _{c}\Rightarrow \omega _{B}\ll \omega _{d}$