Equazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali delle funzioni armoniche

Indice del libro

Nel modulo precedente abbiamo accennato al fatto che le funzioni armoniche sono soluzioni dell'equazione di Laplace e ne è stata data una prima caratterizzazione. Qui, e nei prossimi moduli ci si occuperà di definire in modo più preciso alcune proprietà fondamentali di questa classe di funzioni.

Definizione

Sia la palla di centro e raggio in e sia . Si definiscono:

  • la misura della palla di raggio 1 in .
  • la misura del bordo della palla di raggio 1 in .

Si ha che:

Definizione

Sia . Si definiscono le seguenti quantità:

  • media sulla palla[1] :
  • media sulla sfera :
  1. Attenzione! Utilizziamo qui il simbolo   per indicare gli integrali di media sferica e sulla palla, non integrali di linea