Equazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni
In questo modulo definiremo il concetto di convoluzione e ne daremo una caratterizzazione nel contesto della teoria delle distribuzioni.
Date si definisce convoluzione la quantità:
Così come per la trasformata di Fourier, anche l'estensione di questo concetto in teoria delle distribuzioni risulta leggermente problematico. Infatti, definendo per estensione la distribuzione associata alla convoluzione si avrebbe:
Tuttavia non si ha la possibilità di concludere che se è a supporto compatto, anche lo sia e quindi non si può concludere che quella scritta sopra sia una distribuzione. Essa lo è a patto che almeno una tra e sia a supporto compatto.
Siano due distribuzioni, di cui almeno una a supporto compatto. Si definisce convoluzione di e la quantità:
Nel caso in cui sia a supporto compatto.
Nella definizione, a pedice delle due distribuzioni, è indicata la variabile da cui esse dipendono.
Per esempio, sia una generica distribuzione e . In questo caso si ha:
Ovvero: . Si può provare che pure , così da poter concludere che la delta di Dirac è l'unità rispetto alla convoluzione di distribuzioni.
Le convoluzioni sono assai utili nella risoluzione di particolari equazioni differenziali alle derivate parziali. Innanzitutto si consideri la seguente definizione:
Dato un qualsiasi operatore differenziale , una funzione si definisce soluzione fondamentale per se si ha
Vediamo l'utilità di quanto appreso in questo modulo. Data
dove il secondo passaggio è giustificato dal fatto che l'operatore vedrà solo una tra e , a seconda di quale sia la variabile su cui esso agisce. In sostanza si ha che
Dunque, se , soluzione fondamentale di , è nota, si potrà concludere che pure è soluzione di .