Equazioni differenziali alle derivate parziali/Introduzione

Nei moduli precedenti abbiamo studiato problemi al bordo, cercando di determinare le soluzioni degli stessi. Più precisamente, si era interessati a trovare soluzioni classiche per le equazioni studiate. È importante osservare che però vi sono dei casi in cui ciò non è possibile, ovvero si possono trovare funzioni particolari che soddisfano le richieste dei problemi analizzati: per questo è necessario introdurre il concetto di distribuzione.

Si ricordi, ad esempio, che il teorema di D'Alembert afferma che la soluzione per l'equazione delle onde ha forma:

$u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[f(x-vt)+f(x+vt)\right]+{\frac {1}{2v}}\int _{x-vt}^{x+vt}g(s)ds$

Si nota che però, specie nel caso in cui $g(s)=0$, anche la somma di due funzioni a gradino coincide analiticamente con l'espressione appena data per la soluzione dell'equazione delle onde, ma non sarà soluzione; ovvero, date $f,g$ funzioni a gradino $u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$ non è soluzione dell'equazione delle onde.

Problemi simili si hanno quando si cercano le soluzioni armoniche di $-\Delta u=0$ in ${\mathbb {R}}^{3}$. Infatti, presa $u(x)={\frac {1}{4\pi \mid x\mid }}+c$ l'equazione:

$-\Delta \left({\frac {1}{4\pi \mid x\mid }}\right)=0$

Non può essere risolta su ${\mathbb {R}}^{3}$ ma dovrà essere studiata su $\mathbb {R} ^{3}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace$.

Vediamo quindi che la risoluzione di problemi al bordo talvolta porta a dei problemi, per cui è necessario definire il concetto di distribuzione per cercare di ovviare a questi ed essere in grado di risolvere in maniera completa l'equazione studiata. Iniziamo enunciando il seguente lemma (Fondamentale del calcolo delle variazioni):

Sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ aperto. Sia $f\in L_{Loc}^{1}(\Omega )$, ovvero integrabile sui compatti di ${\mathbb {R}}^{n}$. Allora $f$ è nulla quasi ovunque in $\Omega$ se e solo se

$\int _{\Omega }f\phi dx=0,\;\forall \,\phi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$

Il lemma appena enunciato è estremamente importante perché ci consente, nella sua forma più generale di concludere l'uguaglianza (quasi ovunque) di due funzioni semplicemente sfruttando il fatto che il loro integrale contro una funzione test è nullo, senza doverle confrontare puntualmente. Più precisamente vale la seguente osservazione.

Siano $f,g\in L_{Loc}^{1}(\Omega )$. Se

$\int _{\Omega }(f-g)\phi dx=0,\;\forall \,\phi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$

Allora $f=g$ quasi ovunque in $\Omega$.

Come già accennato sopra, la funzione $\phi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$ che si usa per definire gli integrali di sopra è detta funzione test. Il risultato dell'osservazione appena fatta inoltre suggerisce che a ogni funzione $f$ integrabile su compatti si può associare un oggetto, che chiameremo $T_{f}$ definito dall'integrale di $f$ contro una funzione di test $\phi$:

$f\mapsto T_{f}=\int _{\Omega }f\phi dx$

Dato che $C_{0}^{\infty }(\Omega )$ è uno spazio vettoriale, si ha che $\forall \,f$, $T_{f}\in \left(C_{0}^{\infty }\right)^{\star }$, ovvero $T_{f}$ appartiene al duale algebrico di $C_{0}^{\infty }$. Nel prossimo modulo vedremo più nel dettaglio che l'oggetto appena definito in realtà è un funzionale lineare ed è ciò che chiamiamo distribuzione. Daremo inoltre una caratterizzazione più dettagliata delle proprietà di una distribuzione.