Equazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier

Dopo una breve introduzione, vogliamo definire il concetto di trasformata di Fourier. Essa viene definita naturalmente per funzioni di classe $L^{1}$ ma, come si vedrà nel corso di questo modulo, risulta piuttosto delicata l'estensione allo spazio $L^{2}$, che tuttavia è quello di maggior interesse essendo anche spazio di Hilbert.

Teorema (1)

Sia $u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$. Definiamo trasformata di Fourier di $u$ la quantità

${\mathcal {F}}u={\hat {u}}(k)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}u(x)dx,\;k\in \mathbb {R} ^{n}$

Definiamo antitrasformata di Fourier la quantità

${\mathcal {F}}^{-1}u={\check {u}}(k)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}u(x)dx,\;k\in \mathbb {R} ^{n}$

Gli integrali che definiscono la trasformata e l'antitrasformata di Fourier altro non sono che degli integrali di Fourier con un'opportuna costante di normalizzazione. Quella usata nella nostra definizione è solo una delle possibili ed è una delle più comuni in fisica. Sappiamo quindi che la trasformata (l'antitrasformata) di Fourier è una mappa che manda $u\mapsto {\hat {u}}({\check {u}})$. Tuttavia è bene chiedersi quale sia la sua immagine.

Teorema (2 Di Plancherel)

Sia $u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ a quadrato integrabile. Allora

$\parallel {\hat {u}}\parallel _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}=\parallel {\check {u}}\parallel _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}=\parallel u\parallel _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

Lo spazio $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ è uno spazio di Hilbert, quindi ${\hat {u}}$ e sono isometrie. Si tenga presente che la trasformata di fourier in realtà è definita su $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ e dunque è necessario, per poter rimanere nel campo di validità del teorema appena enunciato, estenderla a $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$. Questa estensione si può fare lavorando in un particolare spazio detto spazio di Schwarz.

Osservazione (1)

Sia $u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$. Definiamo una successione $\left\lbrace u_{k}\right\rbrace \in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ tale che

$u_{k}{\overset {L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}{\rightarrow }}u$

ovvero

$\parallel u_{k}-u\parallel _{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}{\overset {k\rightarrow +\infty }{\rightarrow }}0$

Allora per questa successione è ben definita la trasformata di Fourier, perché ogni elemento della stessa sta in $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$. Inoltre si ha che

$\parallel {\hat {u}}_{k}-{\hat {u}}_{j}\parallel _{L^{2}}=\parallel (u_{k}-u_{j})^{\hat {}}\parallel _{L^{2}}=\parallel u_{k}-u_{j}\parallel _{L^{2}}$

Dal momento che $u_{k}\rightarrow u$ ed essendo $L^{2}$ uno spazio di Hilbert, e dunque anche di Banach, si ha che

$u_{k}-u_{j}\rightarrow 0$

Questo ci porta a concludere che la successione ${u_{k}}$ è una successione di Cauchy. In realtà, in virtù dell'uguaglianza scritta qui sopra si ha che pure la successione ${{\hat {u}}_{k}}$ è di Cauchy. Dunque essa dovrà convergere a una certa funzione $g\in L^{2}(\mathbb {(R)} ^{n})$ che per definizione chiameremo trasformata di Fourier di $u$. Stiamo procedendo per "densità": è fondamentale sapere che quelle che usiamo sono isometrie per poter concludere che ${{\hat {u}}_{k}}$ è una successione di Cauchy.

Possiamo dunque definire la trasformata di Fourier in $L^{2}$

Teorema (3)

Sia $u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$, si definisce trasformata di Fourier di $u$ in $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ la quantità

$g={\hat {u}}=\lim \limits _{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}}u_{k}(x)dx$

Il limite che definisce la trasformata su $L^{2}$ non è un limite puntuale, ma un limite in media. La trasformata di Fourier è un'isometria di $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ in sé stesso.

Teorema (4)

Calcoliamo la trasformata di Fourier di una gaussiana. Sia $u(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\in L^{1}(\mathbb {R} )$. Dalla definizione abbiamo che:

${\hat {u}}(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-ikx}e^{-x^{2}/2}dx$

Detta $h(xk)=e^{-ikx}e^{-x^{2}/2}$, si ha che

${\frac {\partial h}{\partial k}}=-ixe^{-ikx}e^{-x^{2}/2}$

$\left|{\frac {\partial h}{\partial k}}\right|=\mid x\mid e^{-x^{2}/2}\in L^{1}(\mathbb {R} )$

Derivando rispetto a $k{\hat {u}}(k)$ si ottiene:

${\hat {u}}^{\prime }(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }(-ix)e^{-ikx}e^{-x^{2}/2}dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }ie^{-ikx}{\frac {d}{dx}}\left(e^{-x^{2}/2}\right)dx=$

$=-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }ke^{-ikx}e^{-x^{2}/2}dx=-k{\hat {u}}(k)$

Dunque ${\hat {u}}(k)$ deve soddisfare la seguente equazione differenziale del primo ordine:

${\hat {u}}^{\prime }(k)+k{\hat {u}}(k)=0$

La cui soluzione è

${\hat {u}}(k)={\hat {u}}(0)e^{-k^{2}/2}$

Più precisamente, notando che ${\hat {u}}(0)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-x^{2}/2}dx=1$, si ha che

Ovvero che la trasformata di Fourier di una gaussiana è ancora una gaussiana.

Se la gaussiana non avesse varianza 1, ma un valore arbitrario, poco cambierebbe. Più precisamente, se $u(x)=e^{-\xi \mid x\mid ^{2}}$, avremmo che

${\hat {u}}(k)={\frac {1}{\sqrt {2\xi }}}e^{-{\frac {\mid k\mid ^{2}}{4\xi }}},\;x,k\in \mathbb {R}$

Chiaramente la nostra definizione non è per nulla restrittiva e segue in maniera naturale la sua estensione a ${\mathbb {R}}^{n}$. Sempre con l'esempio della gaussiana avremmo che $u({\underline {x}})=\prod _{i=1}^{n}e^{-\xi x_{i}^{2}}$ (notazione dei multiindici), e la sua trasformata di Fourier sarebbe

${\hat {u}}({\underline {k}})={\frac {1}{(2\xi )^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {\mid {\underline {k}}\mid ^{2}}{4\xi }}}$