Equazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali

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Sino ad ora ci siamo occupati prevalentemente dello studio di problemi al bordo, ad esempio:

Avevamo inoltre notato che i problemi al bordo studiati potevano in qualche modo essere ricondotti a equazioni agli autovalori, per l'operatore di derivata seconda . Ora ci si vuole occupare dello studio dei problemi agli autovalori per l'operatore laplaciano. Più precisamente vorremmo capire quali sono, e come si trovano, i numeri tali che:

Con condizioni al bordo di Dirichlet, di Neumann oppure di Robin.

Innanzitutto si osserva che i problemi al bordo si possono ricondurre a problemi agli autovalori per l'operatore laplaciano quando si lavora su spazi limitati. Infatti, detta la soluzione (o presunta tale) dell'equazione , si ricava:

che è esattamente un'equazione agli autovalori per l'operatore laplaciano. Un discorso simile vale anche per l'equazione di Schroedinger:

Posto si ottiene:

Detto , si ottiene l'equazione agli autovalori per l'operatore hamiltoniana:

Con condizione al bordo sostituita dalla richiesta che .

Tornando al problema di partenza, ovvero alla determinazione degli autovalori del laplaciano, possiamo osservare che:

  • l'operatore laplaciano è un operatore lineare quando definito su ;
  • l'operatore laplaciano è un operatore simmetrico su .

Da queste due proprietà seguono due teoremi, in realtà estensione di proprietà già viste nel caso finito dimensionale.

Teorema (1)

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Per l'operatore laplaciano valgono le seguenti proprietà:

  • gli autovalori di   sono reali;
  • le autofunzioni possono essere prese reali;
  • ad autovalori distinti corrispondono autofunzioni ortogonali;
  • gli autovettori possono costituire un sistema ortonormale completo.

Una caratterizzazione più precisa degli autovalori è data dal seguente teorema:

Teorema (2)

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  • gli autovalori di   sono positivi;
  • gli autovalori di   sono non negativi, e   è autovalore;
  • gli autovalori di   sono non negativi se  

Pertanto risulta ora chiaro che ciascuno dei problemi visti sino ad ora può essere ricondotto a un problema agli autovalori per l'operatore laplaciano. Vogliamo capire, e sarà oggetto di studio del prossimo modulo, come trovare questi autovalori e se essi possano costituire un sistema ortonormale o meno.