Equazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà dell'operatore di Sturm-Liouville

In questo modulo ci si occuperà dello studio di un particolare operatore, il cui problema al bordo associato è un caso generale della maggior parte dei problemi al bordo in cui sono coinvolti operatori di derivata seconda.

Definizione

Si definisce operatore di Sturm-Liouville:

${\mathcal {L}}=-\left(p(x){\frac {d}{dx}}\right)^{\prime }+q(x)$

Con le seguenti proprietà:

$x\in (0,L)$

L'operatore agisce su funzioni $u\in C^{2}((0,L))\cap C^{1}(\left[0,L\right])$:

${\mathcal {L}}u=-(pu^{\prime })^{\prime }+qu$

Per ogni problema associato a questo operatore, devono essere soddisfatte le seguenti condizioni al bordo:

${\begin{cases}h_{1}u(0)-h_{2}u^{\prime }(0)=0\\H_{1}u(L)-H_{2}u^{\prime }(L)=0\end{cases}}\;\sum _{i=1}^{2}h_{i}>0,\,\sum _{i=1}^{2}H_{i}>0,\,h_{i},H_{i}\geq 0\forall i$

Le funzioni $p(x)$ e $q(x)$ devono essere a valori reali, $p(x),q(x)\in \mathbb {R} \forall x\in (0,L)$ e devono soddisfare le seguenti proprietà:

$p\in C^{1}(\left[0,L\right]),\;p(x)>0\forall x\in \left[0,L\right]$

$q\in C^{0}(\left[0,L\right])$

Il complesso delle richieste di cui sopra qualifica il problema di Sturm-Liouville regolare. Eventuali problemi di definizione di $p,q$, sull'intervallo o simili caratterizzeranno i così detti problemi di Sturm-Liouville singolari. Nonostante ci si occuperà prevalentemente del caso regolare, si consideri un esempio significativo.

Si consideri l'operatore di Sturm-Liouville che si ottiene nel caso in cui $p(x)\equiv 1\,\forall x\in (0,L)$. Esso è definito operatore di Scrhoedinger:

${\mathcal {L}}u=qu-u^{\prime \prime }$

Esso rappresenta un caso singolare.

Caratterizzazione dell'operatore di Sturm-Liouville

Iniziamo ora a definire alcune importanti proprietà che caratterizzano l'operatore di Sturm-Liouville. Innanzitutto si può provare che tale operatore è hermitiano, come afferma la seguente proposizione:

L'operatore ${\mathcal {L}}$ definito sulla varietà lineare ${\mathcal {D}}({\mathcal {L}})$ è hermitiano.

Si vuole dimostrare che $\left\langle {\mathcal {L}}f\mid g\right\rangle =\left\langle f\mid {\mathcal {L}}g\right\rangle$. Si ha che:

$\left\langle {\mathcal {L}}f\mid g\right\rangle -\left\langle f\mid {\mathcal {L}}g\right\rangle =$

$=\int _{0}^{L}dx\left(-\left(pf^{\prime }\right)^{\prime }+qf\right){\overline {g}}-\int _{0}^{L}dx{\overline {\left(-\left(pg^{\prime }\right)^{\prime }+qg\right)}}f=$

$=\int _{0}^{L}dx\left(-\left(pf^{\prime }\right)^{\prime }\right){\overline {g}}-\int _{0}^{L}dx{\overline {\left(-\left(pg^{\prime }\right)^{\prime }\right)}}f=p(x)\left[f{\overline {g}}^{\prime }-f^{\prime }{\overline {g}}\right]\mid _{0}^{L}=0$

Una seconda importante proprietà di ${\mathcal {L}}$ è data dalla seguente proposizione:

Dato l'operatore $\left({\mathcal {L}},{\mathcal {D}}({\mathcal {L}})\right)$ e data $f\in {\mathcal {D}}({\mathcal {L}})$ si ha che $\left\langle {\mathcal {L}}f\mid f\right\rangle$ può essere rappresentato da una forma quadratica.

Si verifica che:

$\left\langle {\mathcal {L}}f\mid f\right\rangle =\int _{0}^{L}dx\left(-\left(pf^{\prime }\right)^{\prime }+qf\right){\overline {f}}=\int _{0}^{L}dx\left(-\left(pf^{\prime }\right)^{\prime }\right){\overline {f}}+\int _{0}^{L}dxq\mid f\mid ^{2}{\underset {per\,parti}{=}}$

$=\int _{0}^{L}\left(p\mid f^{\prime }\mid ^{2}+q\mid f\mid ^{2}\right)dx+{\frac {h_{1}}{h_{2}}}p(0)\mid f(0)\mid ^{2}+{\frac {H_{1}}{H_{2}}}p(L)\mid f(L)\mid ^{2}$

Si noti anche che se il problema associato avesse condizioni al bordo di Dirichlet il secondo e il terzo addendo sarebbero nulli e la forma quadratica che rappresenta $\left\langle {\mathcal {L}}f\mid f\right\rangle$ si ridurrebbe al solo termine integrale.

La simmetria di ${\mathcal {L}}$ ha due importanti conseguenze:

• l'operatore di Sturm-Liouville ammette autovalori reali;
• ad autovalori distinti corrispondono autovettori ortogonali.

Una dimostrazione di queste due proprietà può essere fatta riprendendo in maniera pressoché identica quella usata per dimostrare le medesime proprietà nel caso di operatori simmetrici in spazi finito dimensionali: in quel caso infatti non è stata usata nessuna particolare informazione riguardo allo spazio di Hilbert nel quale si stava lavorando, ma è stata utilizzata unicamente la nozione di norma, che si estende in modo del tutto naturale anche a spazi infinito dimensionali come quello considerato in questo caso. Un'altra importante caratterizzazione dell'operatore di Sturm-Liouville deriva dal fatto che esso ammetta forma quadratica, infatti si ha che:

• $q\in C^{0}(\left[0,L\right])\,\Rightarrow \,q(x)\geq q_{min}(x)\in \mathbb {R}$
• $\left\langle {\mathcal {L}}f\mid f\right\rangle \geq q_{min}\int _{0}^{L}\mid f\mid ^{2}dx=q_{min}\parallel f\parallel ^{2}$. Più precisamente varrà che, se $\lambda$ è autovalore di $f$:

  $\lambda \parallel f\parallel ^{2}\geq q_{min}\parallel f\parallel ^{2}$

Da quanto appena detto segue quindi che:

• l'operatore di Sturm-Liouville è un operatore inferiormente limitato, dato che la forma quadratica ad esso associata lo è;
• tutti gli autovalori dell'operatore di Sturm-Liouville sono sempre maggiori, o al più uguali, ad un valore minimo $q_{min}$.

Detto questo, è lecito chiedersi se e quando si possa verificare il caso $\lambda =q_{min}$. Sia definito il problema di Sturm-Liouville e sia data la forma:

$\left\langle {\mathcal {L}}f\mid f\right\rangle \pm q_{min}\left\langle f\mid f\right\rangle$

Supponiamo che sia definito il problema di Sturm-Liouville con condizioni al bordo di Dirichlet. Allora, essendo il secondo e il terzo addendo della forma quadratica associata a ${\mathcal {L}}$ nulli per condizioni al bordo, sarà necessario richiedere che:

$\int _{0}^{L}\left(p\mid f^{\prime }\mid ^{2}+(q-q_{min})\mid f\mid ^{2}\right)dx=0$

quali quelli

$\Rightarrow \int _{0}^{L}p\mid f^{\prime }\mid ^{2}=0$

Essendo $p>0$ la condizione appena scritta è equivalente a richiedere che $f^{\prime }=0$ il che implica, in virtù delle condizioni al bordo di Dirichlet, che $f$ debba essere costante e identicamente nulla. Si conclude che per il problema di Sturm-Liouville, con condizioni al bordo di Dirichlet, non si potrà mai avere $\lambda =q_{min}$. Supponiamo invece che le condizioni al bordo siano di Neumann. Seguirebbe che:

$h_{1}=H_{1}=0$

Ancora una volta si dovrà richiedere che il termine integrale presente nella forma quadratica associata a ${\mathcal {L}}$ sarà nullo, ma in questo caso il fatto che $f^{\prime }=0$ porta a concludere semplicemente che $f$ debba essere costante, ma non identicamente nulla. Si conclude che ${\mathcal {L}}$ assume sempre autovalori $\lambda \geq q_{min}$ e che l'uguaglianza ($\lambda =q_{min}$) vale se e solo se si hanno condizioni al bordo di Neumann e dunque $f$ costante.

Abbiamo osservato che $\left\langle {\mathcal {L}}f\mid f\right\rangle \geq q_{min}\parallel f\parallel ^{2},\,\forall \,f\in {\mathcal {D}}({\mathcal {L}})$. Abbiamo anche constatato che ciò implica che la forma quadratica associata, e dunque l'operatore stesso, è limitata inferiormente. Ci si chiede se possa essere possibile che essa sia in qualche modo anche limitata superiormente. Ovvero, si vuole capire se sia possibile che:

$\exists \,M\,t.c.\,\left\langle {\mathcal {L}}f\mid f\right\rangle \leq M\parallel f\parallel ^{2}$

Ciò non può essere possibile. Si consideri ad esempio l'operatore di Sturm-Liouville definito con $p=1,\,q=0$ (ovvero la derivata seconda). In questo caso si ha che:

$\lambda _{n}=\left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2},\;u_{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)$

Quindi:

$\left\langle {\mathcal {L}}u_{n}\mid u_{n}\right\rangle =\left\langle \left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2}u_{n}\mid u_{n}\right\rangle =\left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2}$

Il che implica che se ${\mathcal {L}}$ dovesse essere anche superiormente limitato, si avrebbe:

$\left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2}\leq M={\text{cost}}.$

Che è assurdo perché partendo da una palla di raggio finito e applicando ${\mathcal {L}}$ si ottengono palle di raggio via via crescente.