Equazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde

Indice del libro

In questo modulo si riprendono alcuni risultati riguardanti l'energia per le soluzioni dell'equazione delle onde, quali: conservazione, equipartizione e unicità. In particolare si utilizzeranno la trasformata di Fourier e le sue proprietà per provare che l'energia è una costante di moto.

Innanzitutto si ha la conservazione dell'energia.

Teorema (Conservazione dell'energia)

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Sia   soluzione dell'equazione delle onde. Detta

 

l'energia cinetica dell'onda, e detta

 

la sua energia potenziale, si ha che l'energia totale dell'onda è costante sulle soluzioni dell'equazione delle onde:

 

Dal precedente teorema segue immediatamente anche l'equipartizione dell'energia.

Teorema (Equipartizione dell'energia)

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Sia   soluzione dell'equazione delle onde e sia   la sua energia. Allora si ha che

 

Da questi due risultati segue l'unicità dell'energia della soluzione dell'equazione delle onde.

Dimostrazione

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Siano   due soluzioni del problema di Cauchy per l'equazione delle onde:

 

Sia ora  . Essa soddisferà il problema di Cauchy:

 

Dunque si ha che  , ma essendo l'energia una costante di moto dovrà essere che  . Segue che: