Equazioni differenziali alle derivate parziali/Considerazioni sull'energia delle onde
In questo modulo si riprendono alcuni risultati riguardanti l'energia per le soluzioni dell'equazione delle onde, quali: conservazione, equipartizione e unicità. In particolare si utilizzeranno la trasformata di Fourier e le sue proprietà per provare che l'energia è una costante di moto.
Innanzitutto si ha la conservazione dell'energia.
Teorema (Conservazione dell'energia)
modificaSia soluzione dell'equazione delle onde. Detta
l'energia cinetica dell'onda, e detta
la sua energia potenziale, si ha che l'energia totale dell'onda è costante sulle soluzioni dell'equazione delle onde:
Dal precedente teorema segue immediatamente anche l'equipartizione dell'energia.
Teorema (Equipartizione dell'energia)
modificaSia soluzione dell'equazione delle onde e sia la sua energia. Allora si ha che
Da questi due risultati segue l'unicità dell'energia della soluzione dell'equazione delle onde.
Dimostrazione
modificaSiano due soluzioni del problema di Cauchy per l'equazione delle onde:
Sia ora . Essa soddisferà il problema di Cauchy:
Dunque si ha che , ma essendo l'energia una costante di moto dovrà essere che . Segue che: