Equazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni

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Vogliamo ora studiare le distribuzioni da un punto di vista più analitico, occupandoci delle operazioni tra distribuzioni. Innanzitutto definiamo il prodotto di una distribuzione per una funzione:

Definizione

Sia e sia , si definisce la quantità:

Se la definizione appena data rimanda al caso della definizione di funzionale lineare. Ad esempio, per la delta di Dirac si ha che:

Dunque se per poter definire il prodotto tra distribuzione e funzione è sufficiente che e

Non è possibile definire il prodotto tra distribuzioni, dal momento che non è possibile dare una definizione consistente per questa operazione. Occupiamoci quindi della derivazione di distribuzioni.

Definizione

Sia , allora la sua derivata è definita da:

Dalla definizione appena data, che per altro è una generalizzazione della formula di Green, è possibile notare come una distribuzione sia derivabile un numero qualsiasi di volte. Inoltre si osserva che la definizione di derivata di una distribuzione è una proprietà globale, a differenza di quella per una funzione che è locale. Studiamo con il seguente esempio un caso abbastanza particolare.

Sia

La distribuzione quindi sarà:

Calcoliamone la derivata applicando la definizione appena data:

Quindi

Quanto appena visto può essere generalizzato dal seguente teorema.

Teorema (1)

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Sia   e sia   la sua distribuzione associata. Allora:

 

dove   rappresenta il salto della funzione nel punto di discontinuità   e

 

Dimostrazione

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Applicando la definizione e svolgendo i conti si ottiene:

 

 

 

Un'interessante osservazione si può fare calcolando le derivate della   di Dirac.

Applicando la definizione si ha:

 

 

 

Si osserva che la distribuzione di Dirac e tutte le sue derivate hanno per supporto  . Risultato che deriva dal seguente teorema.

Teorema (2)

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La classe delle funzioni con supporto   è data da una combinazione lineare della distribuzione di Dirac   e di tutte le sue derivate.