Equazioni differenziali alle derivate parziali/Operazioni con le distribuzioni

Vogliamo ora studiare le distribuzioni da un punto di vista più analitico, occupandoci delle operazioni tra distribuzioni. Innanzitutto definiamo il prodotto di una distribuzione per una funzione:

Definizione

Sia $T_{f}\in {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )$ e sia $f\in C^{\infty }(\Omega )$, si definisce $fT(\phi )$ la quantità:

$fT(\phi )=T(f\phi )$

Se $f={\text{cost}}$ la definizione appena data rimanda al caso della definizione di funzionale lineare. Ad esempio, per la delta di Dirac si ha che:

$f\delta _{0}(\phi ){\underset {Def.}{=}}\delta _{0}(f\phi )=\left[f\phi \right](0)=f(0)\phi (0)$

Dunque se $T\equiv \delta$ per poter definire il prodotto tra distribuzione e funzione è sufficiente che $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )$ e $f\in C(\mathbb {R} )$

Non è possibile definire il prodotto tra distribuzioni, dal momento che non è possibile dare una definizione consistente per questa operazione. Occupiamoci quindi della derivazione di distribuzioni.

Definizione

Sia $T\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}\mid _{\partial \Omega })$, allora la sua derivata è definita da:

$\partial ^{\alpha }T_{f}(\phi )=(-1)^{\mid \alpha \mid }T_{f}(\partial ^{\alpha }\phi )$

Dalla definizione appena data, che per altro è una generalizzazione della formula di Green, è possibile notare come una distribuzione sia derivabile un numero qualsiasi di volte. Inoltre si osserva che la definizione di derivata di una distribuzione è una proprietà globale, a differenza di quella per una funzione che è locale. Studiamo con il seguente esempio un caso abbastanza particolare.

Sia

$T=\theta (x)={\begin{cases}1,\;x\geq 0\\0,\;x<0\end{cases}},\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} )$

La distribuzione $T_{\theta }(\phi )$ quindi sarà:

$T_{\theta }(\phi )=\theta (\phi )=\int _{\mathbb {R} }\theta (x)\phi (x)dx$

Calcoliamone la derivata applicando la definizione appena data:

${\frac {d}{dx}}T{\theta }(\phi )=(-1)T\left({\frac {d}{dx}}\phi \right)=(-1)\int _{\mathbb {R} }\theta (x)\phi ^{\prime }(x)dx=$

$=(-1)\left[\int _{-\infty }^{0}0\phi ^{\prime }(x)dx+\int _{1}^{+\infty }\phi ^{\prime }(x)dx\right]=$

$=-\int _{1}^{+\infty }\phi ^{\prime }(x)dx=-\left(\phi (+\infty )-\phi (0)\right)=\phi (0)=\delta _{0}(\phi )$

Quindi

${\frac {d}{dx}}T_{\theta }(\phi )=\delta _{0}(\phi )$

Quanto appena visto può essere generalizzato dal seguente teorema.

Teorema (1)

Sia $f\in C^{1}\left(\mathbb {R} \setminus \left\lbrace x_{0}\right\rbrace \right)$ e sia $T_{f}$ la sua distribuzione associata. Allora:

$T_{f}^{\prime }(\phi )=\int _{\mathbb {R} }\left\lbrace f^{\prime }\right\rbrace \phi dx+\delta _{x_{0}}(\phi )\left[f\right](x_{0})$

dove $\left[f\right]$ rappresenta il salto della funzione nel punto di discontinuità $x_{0}$ e

$\left\lbrace f^{\prime }\right\rbrace ={\begin{cases}f^{\prime }(x),\,\forall x\neq x_{0}\\cost,\,x=x_{0}\end{cases}}$

Dimostrazione

Applicando la definizione e svolgendo i conti si ottiene:

$T_{f}^{\prime }(\phi )=(-1)T_{f}(\phi ^{\prime })=(-1)\left[\int _{-\infty }^{x_{0}}d\phi ^{\prime }dx+\int _{x_{0}}^{+\infty }f\phi ^{\prime }dx\right]=$

$=-\left[-\int _{-\infty }^{x_{0}}f^{\prime }\phi dx+f(x_{0}^{-})\phi (x_{0})-\int _{x_{0}}^{+\infty }f^{\prime }\phi dx-f(x_{0}^{+})\phi (x_{0})\right]=$

$=\int _{\mathbb {R} }\left\lbrace f^{\prime }\right\rbrace \phi dx+\phi (x_{0})\left[f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})\right]$

Un'interessante osservazione si può fare calcolando le derivate della $\delta$ di Dirac.

Applicando la definizione si ha:

$\delta _{x_{0}}^{\prime }(\phi )=-\delta _{x_{0}}(\phi ^{\prime })=-\phi ^{\prime }(x_{0})$

$\delta _{x_{0}}^{\prime \prime }(\phi )=\phi ^{\prime \prime }(x_{0})$

$\delta _{x_{0}}^{\alpha }(\phi )=(-1)^{\mid \alpha \mid }\phi (x_{0})$

Si osserva che la distribuzione di Dirac e tutte le sue derivate hanno per supporto $\left\lbrace x_{0}\right\rbrace$. Risultato che deriva dal seguente teorema.

Teorema (2)

La classe delle funzioni con supporto $\left\lbrace x_{0}\right\rbrace$ è data da una combinazione lineare della distribuzione di Dirac $\delta _{x_{0}}(\phi )$ e di tutte le sue derivate.