Equazioni differenziali alle derivate parziali/Formule di Green

Da questo punto in poi, per buona parte del corso, ci si occuperà della terza delle equazioni presentate inizialmente, ovvero l'equazione di Laplace:

$\Delta u=0$

Si studieranno anche alcune proprietà di una equazione strettamente legata a quella appena scritta, ovvero l'equazione di Poisson:

$-\Delta u=f$

Di entrambe le equazioni si è interessati a determinare le equazioni su un aperto $\Omega \subset \mathbb {R}$. Se $\Omega$ è limitato, si potrà inoltre assumere che $\partial \Omega$ sia regolare. Iniziamo col presentare delle formule di importanza fondamentale per il resto della trattazione: le formule di Green.

Teorema di Gauss-Green

Sia $u\in C^{1}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})$. Allora:

$\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}dx=\int _{\partial \Omega }u{\hat {n}}_{i}d\sigma$

Come diretta conseguenza del teorema di Gauss-Green si ha la formula di integrazione per parti in $\mathbb {R} ^{n}$:

$\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}vdx=-\int _{\Omega }u{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}dx+\int _{\partial \Omega }uv{\hat {n}}_{i}d\sigma$

Sia $F:\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n},\;F\in C^{1}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})$, allora si ha la formula di integrazione per parti per funzioni a valori vettoriali, nota anche come teorema della divergenza.

Teorema della divergenza

Sia $F:\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n},\;F\in C^{1}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})$. Allora:

$\int _{\Omega }\nabla {\underline {F}}d{\underline {x}}=\int _{\partial \Omega }{\underline {F}}{\hat {n}}dr$

Sfruttando i teoremi appena enunciati è possibile scrivere le formule di Green. Più precisamente siano $f\in C^{1}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})$ e $g\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})$, allora $f\cdot \nabla g$ è un campo vettoriale di classe $C^{1}(\Omega )$. La sua divergenza è data da:

$\nabla (f\cdot \nabla g)=\nabla f\nabla g+f\Delta g$

Integrando su $\Omega$ e applicando il teorema della divergenza si ottiene:

$\int _{\Omega }\nabla \left(f\nabla g\right)dx=\int _{\partial \Omega }\left(f\nabla g\right){\hat {n}}d\sigma =\int _{\partial \Omega }f{\underset {\nabla g{\hat {n}}}{\underbrace {\frac {\partial g}{\partial n}} }}d\sigma =$

$=\int _{\Omega }\nabla f\nabla gdx+\int _{\partial \Omega }f\Delta gdx$

Da cui si ha la prima formula di Green:

$\int _{\partial \Omega }f{\frac {\partial g}{\partial n}}d\sigma =\int _{\Omega }\nabla f\nabla gdx+\int _{\partial \Omega }f\Delta gdx$

Se, al contrario, si avesse che $f\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }}),\,g\in C^{1}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})$ si potrebbe scrivere:

$\int _{\partial \Omega }g{\frac {\partial f}{\partial n}}d\sigma =\int _{\Omega }\nabla f\nabla gdx+\int _{\Omega }g\Delta fdx$

Supponendo che $f,g\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})$ e sottraendo membro a membro l'espressione ottenuta con la prima formula di Green si ottiene la seconda formula di Green:

$\int _{\Omega }\left(f\Delta g-g\Delta f\right)dx=\int _{\partial \Omega }\left(f{\frac {\partial g}{\partial n}}-g{\frac {\partial f}{\partial n}}\right)d\sigma$

Simmetria del laplaciano

Definiamo ${\mathcal {D}}(\Delta _{D})$ il dominio del laplaciano di Dirichlet:

${\mathcal {D}}(\Delta _{D})=\left\lbrace u\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})\,\colon \,u\mid _{\partial \Omega }=0\right\rbrace$

Dalla seconda formula di Green si ricava che il laplaciano di Dirichlet è simmetrico, essendo il lato destro dell'uguaglianza che la definisce nullo:

$\int _{\Omega }f\Delta gdx=\int _{\Omega }g\Delta fdx$

In maniera analoga si osserva che anche il laplaciano di Neumann, definito su:

${\mathcal {D}}(\Delta _{N})=\left\lbrace f\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})\,\colon \,{\frac {\partial f}{\partial n}}\mid _{\Omega }=0\right\rbrace$

e il laplaciano di Robin, definito su:

${\mathcal {D}}(\Delta _{R})=\left\lbrace f\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})\,\colon \,\left[{\frac {\partial f}{\partial n}}+\alpha f\right]_{\partial \Omega }=0,\,\alpha \in C^{0}(\partial \Omega )\right\rbrace$

sono simmetrici.

Le considerazioni fatte in questo modulo sono di fondamentale importanza per la trattazione dell'equazione di Laplace e per la sua risoluzione. Nei prossimi moduli ci si occuperà di una particolare classe di funzioni, soluzioni dell'equazione di Laplace: le funzioni armoniche.