Equazioni differenziali alle derivate parziali/Principio del massimo

Le funzioni armoniche possiedono importanti proprietà anche per quanto riguarda il massimo e il minimo sull'insieme di definizione $\Omega$.

Teorema (Principio del massimo)

Sia $u\in C^{2}(\Omega )\cap C^{0}({\bar {\Omega }})$ armonica. $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ aperto e limitato. Allora:

• ${\underset {x\in {\bar {\Omega }}}{max}}\;u(x)={\underset {x\in \Omega }{max}}\;u(x)$
• Se $\Omega$ è connesso ed esiste $x_{0}\in \Omega$ tale che ${\underset {x\in {\bar {\Omega }}}{max}}\;u(x)=u(x_{0})$ allora $u$ è costante in $\Omega$.

Dimostrazione

Se la seconda conseguenza è verificata lo è anche la prima, quindi verifichiamo solo la seconda.

La dimostrazione è per assurdo. Supponiamo che $\exists x_{0}\in \Omega$ tale che $M=u(x_{0})={\underset {x\in {\bar {\Omega }}}{max}}\;u(x)$. Prendiamo $r$ tale che $o<r<dist(x_{0},\partial \Omega )$. Se $M$ è il massimo significa che:

$M=u(x_{0})=\oint _{B(x_{0},r)}u(y)dy\leq M$

Ma per il teorema della media non può essere minore, solo uguale. Quindi $u$ deve essere costante ed uguale a $M$ in tutta la palla.

Procediamo ora per connessione: considero un punto $x_{1}\in B(x_{0},r)$, anche $u(x_{1})=M$ che per ipotesi è un massimo, quindi posso creare una nuova palla e concludere di nuovo che $u$ è costante in tutta la palla. Siccome l'insieme è connesso posso raggiungere tutti i punti di $\Omega$ con questo metodo dimostrando che la funzione $u$ è costante in tutto l'insieme. Quindi se una funzione armonica ha massimo, questo è situato sulla frontiera del dominio, altrimenti la funzione è costante.