Equazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche

In questo modulo ci si occuperà di dare una caratterizzazione delle funzioni che risolvono l'equazione di Laplace, anche dette funzioni armoniche.

Definizione

Sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ e sia $u\in C^{2}(\Omega )$. La funzione $u$ è detta armonica se soddisfa l'equazione di Laplace, ovvero se:

$\Delta u=0{\text{ in }}\Omega$

Segue direttamente dalla definizione che ogni funzione armonica $u\in ker\left\lbrace \Delta \right\rbrace$. Per capire quale sia la forma analitica di $u$ studiamo il caso monodimensionale e quello di dimensione $n=2$:

Per il caso monodimensionale non si ricavano particolari informazioni. Infatti se $\Omega =(a,b)$ si avrà che:

$\Delta u={\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=0$

Che significa semplicemente trovare:

$u(x)=c_{1}x+c_{2}$

Il caso $n=2$ è piuttosto interessante invece. Infatti sarà possibile osservare che, in virtù dell'isomorfismo $\mathbb {R} ^{2}\simeq \mathbb {C}$, vi è uno stretto legame tra funzioni olomorfe e soluzioni dell'equazione di Laplace, ovvero funzioni armoniche.

Si ricorda che se $f$ è olomorfa in $\Omega$ essa coincide con il suo sviluppo di Taylor nell'intorno di un qualsiasi punto $x_{0}\in \Omega$ ed è di classe $C^{\infty }(\mathbb {C} )$. Si potrà quindi scrivere $f=u(x,y)+iv(x,y)$ e dovrà soddisfare le condizioni di Cauchy-Riemann:

${\begin{cases}u_{x}=v_{y}\\u_{y}=-v_{x}\end{cases}}$

Il legame tra funzioni olomorfe e funzioni armoniche di cui si parlava sopra è esplicitato dal seguente teorema.

Teorema

Sia $f$ una funzione olomorfa in $\Omega \subset \mathbb {C}$. Allora $f=u(x,y)+iv(x,y)$ e le funzioni $u(x,y),\,v(x,y)$ sono armoniche in $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$.

Dimostrazione

Per ipotesi $f$ è olomorfa, dunque soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann:

${\begin{cases}u_{x}=v_{y}\\u_{y}=-v_{x}\end{cases}}$

Derivando rispetto a $x$ la prima equazione e rispetto a $y$ la seconda si ottiene:

${\begin{cases}u_{xx}=v_{yx}\\u_{yy}=-v_{xy}\end{cases}}$

Sottraendo membro a membro:

$u_{xx}+u_{yy}=0$

Quindi $\Delta u=0$, ovvero $u(x,y)$ è armonica in $\Omega$. Dove si può concludere che $v_{xy}=v_{yx}$ in virtù del teorema di Schwarz, essendo $f\in C^{\infty }(\mathbb {C} )$. Analogamente, derivando la prima delle equazioni di Cauchy-Riemann rispetto a $y$ e la seconda rispetto a $x$, si può provare che anche $v(x,y)$ è armonica in $\Omega$.

Soluzioni fondamentali radiali del laplaciano

Un'importante semplificazione nello studio delle funzioni armoniche si ottiene andando a considerare funzioni armoniche radiali. In $\mathbb {R} ^{n}$ si considerano le funzioni armoniche tali per cui è vero che:

$u({\underline {x}})=v(\mid x\mid )=v(r)$

Da definizione si ha che $u$ deve essere $C^{2}(\Omega )$. Si nota che il passaggio alle funzioni armoniche radiali può far sorgere dei problemi in $x=0$, pertanto (almeno preliminarmente) si richiede che $x\neq 0$. Dovendo lavorare con funzioni radiali è necessario derivare l'espressione per il laplaciano:

$u_{x_{i}}={\frac {x_{i}}{\mid x\mid }}v^{\prime }(\mid x\mid ),\;\forall \,x\neq 0$

$u_{x_{i},x_{i}}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {x_{i}}{\mid x\mid }}v^{\prime }(\mid x\mid )\right)={\frac {1}{\mid x\mid }}v^{\prime }(\mid x\mid )-{\frac {x_{i}^{2}}{\mid x\mid ^{3}}}v^{\prime }(\mid x\mid )+{\frac {x_{i}^{2}}{\mid x\mid ^{2}}}v^{\prime \prime }(\mid x\mid )$

In definitiva:

${\begin{aligned}\Delta u&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}={\frac {v^{\prime }}{\mid x\mid }}\sum _{i=1}^{n}+{\frac {v^{\prime }}{(\mid x\mid )^{3}}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+{\frac {v^{\prime \prime }}{(\mid x\mid )^{2}}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\\&={\frac {n-1}{\mid x\mid }}v^{\prime }(\mid x\mid )+v^{\prime \prime }(\mid x\mid )\end{aligned}}$

La cosa interessante che si nota è che il passaggio alle funzioni armoniche radiali consente di riscrivere l'equazione di Laplace come un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine:

${\frac {n-1}{r}}v^{\prime }(r)+v^{\prime \prime }(r)=0,\;r\neq 0$

$\Rightarrow v^{\prime \prime }(r)={\frac {1-n}{r}}v^{\prime }(r)$

Da cui si ricava integrando una volta:

${\begin{aligned}\log(v^{\prime }(r))&={\frac {1-n}{\log }}{r}+C\\v^{\prime }(r)&={\frac {C}{r^{n-1}}}\end{aligned}}$

Integrando di nuovo e tornando in $x$ si ricavano le soluzioni fondamentali del laplaciano in $n=2,\,n=3$:

$u(x)={\begin{cases}c_{1}\log(\mid x\mid )+c_{2},\;n=2,x\neq 0\\\displaystyle {\frac {c_{1}}{(2-n)\mid x\mid ^{n-2}}}+c_{2},\;n=3,x\neq 0\end{cases}}$

In genere si utilizzano questi parametri (soprattutto nei problemi di elettromagnetismo):

$u(x)={\begin{cases}-\log(\mid x\mid )\;n=2\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi \mid x\mid }}\;n=3\end{cases}}$

L'oggetto di studio dei prossimi moduli dunque saranno le funzioni armoniche, le loro proprietà e la risoluzione esplicita delle equazioni di Laplace e di Poisson.