Equazioni differenziali alle derivate parziali/Caratterizzazione delle distribuzioni

Nel modulo precedente abbiamo osservato che a ogni funzione integrabile su compatti di ${\mathbb {R}}^{n}$ è possibile associare un funzionale lineare definito come $T_{f}=\int _{\Omega }f\phi dx$, $\forall \phi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$. In questo modulo vogliamo capire meglio quali siano le proprietà di questo funzionale lineare per darne una caratterizzazione più dettagliata. Innanzitutto è necessario introdurre il concetto di topologia su $\left(C_{0}^{\infty }(\Omega )\right)^{\star }$ per poter poi definire il concetto di continuità di questo funzionale lineare $T_{f}$. Per poter definire la topologia sul duale si inizia definendo quella su $C_{0}^{\infty }(\Omega )$. Tuttavia, data una successione $\left\lbrace \phi _{n}\right\rbrace$ in $C_{0}^{\infty }(\Omega )$ si hanno due problemi nel voler definire quando $\phi _{n}\rightarrow \phi$ perché:

• si deve richiedere che anche $\phi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$ e quindi occorre convergenza uniforme su tutte le derivate;
• si deve richiedere che $\phi _{n}$ abbiano tutti lo stesso supporto, altrimenti si rischierebbe di avere $\phi _{n}\rightarrow \phi$ su $\partial \Omega$

Pertanto per definire il concetto di topologia su $C_{0}^{\infty }(\Omega )$ è necessario richiedere che tutti i $\phi _{n}$ abbiano stesso supporto compatto $K$ e che $\forall x\in K$ si abbia sup $\sup _{x\in K}\mid \partial ^{\alpha }\phi _{n}-\partial ^{\alpha }\phi \mid {\underset {n\rightarrow 0}{\rightarrow }}0,\;\forall \alpha$ multiindice. Avendo definito il concetto di topologia su $C_{0}^{\infty }(\Omega )$, ora è possibile definire quello sul suo duale.

Definizione

Sia $T_{f}\in \left(C_{0}^{\infty }(\Omega )\right)^{\star }$. Si dice che esso è continuo se

$T_{f}(\phi _{n})\rightarrow T_{f}(\phi ),\;\forall \phi _{n}{\underset {C_{0}^{\infty }(\Omega )}{\rightarrow }}\phi$

Da cui segue la definizione di distribuzione:

Definizione

Si definisce distribuzione un funzionale lineare continuo sulle funzioni di test, ovvero continuo su $C_{0}^{\infty }(\Omega )$.

Osserviamo che $T_{f}$ definito sopra è effettivamente una distribuzione, infatti si ha che:

$\left|T_{f}(\phi _{n})\right|=\left|\int _{\Omega }f(x)\phi (x)dx\right|\leq \sup _{x\in K}\left|\phi _{n}(x)\right|\int f(x)dx{\underset {n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }}0$

Dunque:

$T_{f}(\phi _{n})\rightarrow T_{f}(0),{\text{ se }}\phi _{n}\rightarrow 0$

Quindi effettivamente $T_{f}$ è una distribuzione.

Lo spazio delle funzioni test, $C_{0}^{\infty }(\Omega )$, spesso si indica con ${\mathcal {D}}(\Omega )$, mentre il suo duale algebrico con ${\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )$ ed è detto spazio delle distribuzioni. Nel caso in cui $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$ si omette in ${\mathcal {D}}$ e ${\mathcal {D}}^{\prime }$. Diamo ora la definizione di supporto di una distribuzione:

Definizione

$T\in {\mathcal {D}}^{\prime }$ si annulla nell'aperto $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ se $T_{f}(\phi )=0\,\forall \,\phi \in {\mathcal {D}}(A)$. Si consideri $\bigcup A$, unione degli aperti su cui $T$ si annulla. Il complementare di questo insieme, che sarà chiuso, si dice supporto di $T$.

Nel modulo successivo vedremo che in realtà non tutte le distribuzioni sono come $T_{f}$. $T_{f}$ è detta distribuzione regolare, tuttavia esistono anche delle distribuzioni singolari, come la $\delta$ di Dirac e il valor principale di ${\frac {1}{x}}$ che saranno oggetto di studio del prossimo modulo.