Meccanica analitica/Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocità

Trasformazioni di Lorentz

L'ipotesi di Einstein non ha poche conseguenze. La prima e fondamentale è quella di rivedere le trasformazioni del moto, adattandole al nuovo sistema. In realtà, queste erano già state ricavate. Il fisico olandese Hendrik Lorentz, qualche anno prima, trovò un sistema di trasformazioni che rendevano l'equazione delle onde elettromagnetiche invarianti rispetto a cambi di sistemi, ovvero, passando da un sistema a un altro seguendo queste trasformazioni, la forma dell'equazione differenziale non variava. Egli le ricavò come puro espediente matematico, rispondendo alla domanda: secondo quali trasformazioni l'equazione delle onde è invariante? Non pensava che queste potessero essere delle vere trasformazioni. Per un moto relativo all'asse $x$, le trasformazioni sono le seguenti:

$\left|{\begin{aligned}&x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\&y'=y\\&z'=z\\&t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}\right.$

Il perché Lorentz non pensava potessero essere vere è ben chiaro: il tempo non è più costante, ovvero, cambiando sistema di riferimento, cambia anche il tempo. All'epoca, pensare una cosa simile era assurdo: si riteneva, infatti, che il tempo fosse assoluto e uguale in ogni sistema di riferimento. Einstein pensò semplicemente che è la natura a essere fatta così, e la nostra difficoltà ad accettare questa cosa è dovuta al fatto che siamo esseri biologici che vivono a basse velocità, per i quali il tempo è, in buona approssimazione, assoluto.

Una piccola osservazione su queste trasformazioni: sono lineari, e le equazioni differenziali non cambiano per trasformazioni lineari. Inoltre, la somma di due trasformazioni è ancora trasformazione, esistono l'elemento neutro e l'inverso: queste trasformazioni formano quindi un gruppo, detto gruppo di Lorentz.

Ora vediamo brevemente come, a partire dalla trasformazioni galileiane e dall'ipotesi che il modulo della velocità è costante, possiamo arrivare alle trasformazioni di Lorentz.

Consideriamo una lampadina che si accende situata nell'origine; la luce si propaga nello spazio seguendo la legge:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}$

Considerando il tempo assoluto e la velocità della luce costante, in un altro sistema di riferimento avremo che:

$x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=c^{2}t^{2}$

Applichiamo adesso le trasformazioni di Galileo:

$\left|{\begin{aligned}&x'=x-vt\\&y'=y\\&z'=z\\&t'=t\end{aligned}}\right.\quad \Rightarrow \,x^{2}-2vtx+v^{2}t^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}$

A questo punto, per far tornare i conti, dobbiamo per forza abbandonare l'ipotesi che il tempo sia assoluto; per questo, poniamo $t'=t+\varphi \cdot x$ dove $\varphi$ è una generica funzione. Esplicitando il quadrato:

$x^{2}-2vtx+v^{2}t^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}(t^{2}+2\varphi xt+\varphi ^{2}x^{2})$

Da questo ricaviamo che $\varphi =-{\frac {v}{c^{2}}}$. Sostituendo questo valore nell'espressione qui sopra:

${\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}+v^{2}t^{2}-2vtx=c^{2}t^{2}-2vtx+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}x^{2}\\&x^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}$

A questo punto, per poter ottenere l'equazione da cui siamo partiti, necessitiamo di dividere $x'$ e $t'$ per un fattore ${\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$, ottenendo le trasformazioni di Lorentz.

Composizione delle velocità secondo le trasformazioni di Lorentz

Ricordiamo la composizione delle velocità secondo Galileo: partendo da $x'=x-vt$, differenziando questa espressione otteniamo la composizione ${\dot {x}}'={\dot {x}}-v$.

Lo stesso procedimento lo applichiamo alle trasformazione di Lorentz. Differenziandole, otteniamo

$\left|{\begin{aligned}&dx'={\frac {dx-vdt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\&dy'=dy\\&dz'=dz\\&dt'={\frac {dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}\right.$

Dato allora una generica $u_{x}={\frac {dx}{dt}}$, quale sarà la $u'_{x}={\frac {dx'}{dt'}}$?

$u'_{x}={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {u_{x}-v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\cdot {\frac {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}}$

Allo stesso modo possiamo calcolare le altre componenti della velocità:

${\begin{aligned}&u'_{y}={\frac {dy'}{dt'}}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}u_{x}}}\\&u'_{z}={\frac {dz'}{dt'}}={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}u_{x}}}\end{aligned}}$