Meccanica analitica/Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di Poisson

Come per la meccanica lagrangiana, anche nella meccanica hamiltoniana si possono trovare quantità che si conservano, ovvero che sono costanti nel tempo. Consideriamo per esempio due funzioni $x(q/p/t)$ e $y(q/p/t)$; dal modulo precedente possiamo scrivere le loro derivate totali:

${\begin{aligned}&{\dot {x}}=[x,H]+{\frac {\partial x}{\partial t}}\\&{\dot {y}}=[y,H]+{\frac {\partial y}{\partial t}}\end{aligned}}$

Ora, consideriamo appunto il caso in cui ${\dot {x}}={\dot {y}}=0$, ovvero le due funzioni $x,y$ sono costanti nel tempo. Possiamo trovare una relazione tra le due che resti ancora costante. Prima, però, ricordiamo che se vale ${\dot {x}}={\dot {y}}=0$ allora varranno:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial x}{\partial t}}=-[x,H]\\&{\frac {\partial y}{\partial t}}=-[y,H]\end{aligned}}$

Dimostriamo ora che, sotto queste condizioni, si ha ${\frac {d}{dt}}[x,y]=0$.

Esplicitiamo il termine da dimostrare e svolgiamo i calcoli:

${\Big [}[x,y],H{\Big ]}+{\frac {\partial }{\partial t}}[x,y]={\Big [}[x,y],H{\Big ]}+\left[{\frac {\partial x}{\partial t}},y\right]+\left[x,{\frac {\partial y}{\partial t}}\right]$

L'uguaglianza è resa possibile grazie alla bilinearità delle parentesi poissoniane; ora, ricordando le condizioni iniziali e le relazioni scritte sopra, possiamo scrivere:

${\begin{aligned}&{\Big [}[x,y],H{\Big ]}+{\Big [}-[x,H],y{\Big ]}+{\Big [}x,-[y,H]{\Big ]}=\\=&{\Big [}[x,y],H{\Big ]}+{\Big [}[H,x],y{\Big ]}+{\Big [}[y,H],x{\Big ]}=0\end{aligned}}$

Il passaggio dal primo al secondo passaggio è reso possibile attraverso la proprietà dell'antisimmetria, dove $-[x,H]=[H,x]$; l'ultima riga, come possiamo notare, è proprio un'identità di Jacobi, e quindi, è vero che ${\frac {d}{dt}}[x,y]=0$.

Quantità compatibili

Attraverso le parentesi di Poisson si può definire una relazione tra due funzioni:

Definizione

Due quantità $x$ e $y$ si dicono compatibili se

$[x,y]=0$

Vediamo due casi immediati di quantità compatibili.

Il primo è quando $x$ e $y$ sono due quantità completamente scollegate tra loro, per esempio:

$x(q_{1},q_{2},p_{3},p_{4})\qquad y(q_{5},q_{6},p_{7},p_{8})$

Se andiamo a esplicitare la parentesi di poisson tra le due:

$[x,y]=\sum _{h=1}^{n}\left({\frac {\partial x}{\partial q_{h}}}{\frac {\partial y}{\partial p_{h}}}-{\frac {\partial x}{\partial p_{h}}}{\frac {\partial y}{\partial q_{h}}}\right)=0$

Questo perché, per $h=1,\cdots ,8$ capita o che la $y$ sia indipendente a $q_{h}$ o $p_{h}$, o il contrario, ottenendo derivate parziali nulle.

Il secondo caso è quando $y=\phi (x)$, ovvero $y$ è una funzione di $x$. Esplicitando anche qui la parentesi:

$[x,y]=\sum _{h=1}^{n}\left({\frac {\partial x}{\partial q_{h}}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial p_{h}}}-{\frac {\partial x}{\partial p_{h}}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial q_{h}}}\right)=0$

I termini nella parentesi sono esattamente uguali (per il teorema della derivata di funzioni composte).

La domanda, lecita, che può venire spontanea è: perché ci interessano così tanto le quantità compatibili? La risposta risiede nel fatto che il formalismo hamiltoniano è la base formale della meccanica quantistica, e in questa le parentesi di Poisson hanno la funzione di commutatori. In quantistica, se due quantità non commutano, ovvero la loro parentesi non è nulla, allora non è possibile determinarle con precisione arbitraria. Da qui deriva il principio di indeterminazione di Heisenberg: gli operatori (in meccanica quantistica non si parla più di coordinate o variabili, ma di operatori) posizione e quantità di moto non commutano, ovvero:

$[{\hat {x}},{\hat {p}}]\neq 0$

Ed è per questo motivo che, se conosco con altissima precisione la posizione, non so quasi nulla della velocità e viceversa. Il formalismo hamiltoniano, come vedremo anche per l'azione, è importante in fisica proprio per il suo utilizzo in meccanica quantistica dove, sebbene il paradigma di base sia completamente diverso (l'invito è a cercare informazione sull'epistemologia di Kuhn), è rimasto qualcosa dalla meccanica classica: la struttura formale. Fondamentalmente, è anche per questo che, dopo un secolo e mezzo, si studia ancora la teoria di Hamilton.