Meccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato

Abbiamo dimostrato, nei moduli precedenti, il principio variazionale di Hamilton, osservando come un sistema di cui è possibile scrivere la lagrangiana compie una traiettoria che rende stazionario, generalmente minimo, il funzionale formale azione. Questo principio - in realtà un teorema, perché abbiamo potuto dimostrarlo (per altri esempi famosi di teoremi dimostrabili passati alla storia sotto il nome di principio, ci rifacciamo al principio di indeterminazione) - parla di lagrangiana, ma viene studiato nel formalismo hamiltoniano. È immediato quindi chiedersi se una cosa simile è possibile anche riguardo l'hamiltoniana; la risposta è positiva e va sotto il nome di principio variazionale di Hamilton ampliato. L'aggettivo ampliato si riferisce al metodo utilizzato per studiare la variazione del funzionale formale: non varieremo solo la traiettoria $q(t)$, ma anche il suo momento coniugato $p(t)$. Procediamo per gradi.

Siano $q_{h},p_{h}$ le variabili canoniche di un sistema, prese indipendenti tra loro, che soddisfano le equazioni canoniche di Hamilton. Studiamo di questo sistema le variazioni $\delta q_{h}$ e $\delta p_{h}$. Per poter visualizzare al meglio le variazioni, prendiamo lo spazio delle fasi dell'oscillatore armonico.

Come per il principio non ampliato, non facciamo variare $q_{1}$ né $q_{2}$, ovvero $\delta q_{1}=\delta q_{2}=0$. Si definisce azione ampliata il funzionale:

$A'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\left(\sum _{h=1}^{n}p_{h}{\dot {q}}_{h}-H(q/p/t)\right)$

La prima osservazione, non banale, è che l'azione ampliata non è uguale all'azione, ovvero $A\neq A'$. Procediamo come nel caso precedente, studiandone la variazione. In questo non varia solo la traiettoria $q(t)$ ma varia anche $p(t)$. Nella seguente dimostrazione ci limitiamo, per semplicità di notazione, al caso unidimensionale (gradi di libertà $n=1$); nel caso multidimensionale è del tutto identica, basta aggiungere la sommatoria. Scriviamo le funzioni che variano come:

${\begin{aligned}&q(t)=q(t)+\delta q(t)\\&p(t)=p(t)+\delta p(t)\end{aligned}}$

Possiamo ora scrivere la variazione del funzionale:

$\delta A'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\left(p\delta {\dot {q}}+{\dot {q}}\delta p-{\frac {\partial H}{\partial q}}\delta q-{\frac {\partial H}{\partial p}}\delta p\right)$

Sviluppiamo per parti il fattore $\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,p\delta {\dot {q}}$, ottenendo $p\delta q{\Bigg |}_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,{\dot {p}}\delta q$; sostituendo:

$p\delta q{\Bigg |}_{t_{0}}^{t_{1}}+\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\left(-{\dot {q}}\delta q+{\dot {q}}\delta p-{\frac {\partial H}{\partial q}}\delta q-{\frac {\partial H}{\partial p}}\delta p\right)$

Ricordiamo ora che come condizioni abbiamo posto $\delta q(t_{1})=\delta q(t_{0})=0$, e che il nostro sistema soddisfa le equazioni canoniche di Hamilton, che compaiono qui. Sostituendo e raggruppando, otteniamo:

$\delta A'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\left[\left(-{\dot {p}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}\right)\delta q+\left({\dot {q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}\right)\delta p\right]=0$

Tutto questo sempre tenendo in considerazione che $\delta q,\delta p$ sono arbitrari. Abbiamo appena dimostrato che, per un sistema che compie il suo moto normale, di cui è possibile scrivere l'hamiltoniana e le cui variabili canoniche soddisfano le equazioni canoniche, il funzionale formale azione ampliata è stazionario. Per meglio esprimerci:

Principio di Hamilton ampliato

Se un sistema segue la sua traiettoria normale, allora l'azione ampliata è stazionaria, generalmente minima. Ciò vuol dire che, tra tutte le traiettorie possibili, il sistema compie la particolare $q(t)$, di momento coniugato $p(t)$, tali che questi due elementi minimizzino l'azione ampliata.

Esattamente come per il principio variazionale non ampliato, questo risultato è di notevole interesse, seppur aspettato (poiché l'hamiltoniana deriva direttamente dalla lagrangiana, era auspicabile ottenere un risultato simile).