Meccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato

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Abbiamo dimostrato, nei moduli precedenti, il principio variazionale di Hamilton, osservando come un sistema di cui è possibile scrivere la lagrangiana compie una traiettoria che rende stazionario, generalmente minimo, il funzionale formale azione. Questo principio - in realtà un teorema, perché abbiamo potuto dimostrarlo (per altri esempi famosi di teoremi dimostrabili passati alla storia sotto il nome di principio, ci rifacciamo al principio di indeterminazione) - parla di lagrangiana, ma viene studiato nel formalismo hamiltoniano. È immediato quindi chiedersi se una cosa simile è possibile anche riguardo l'hamiltoniana; la risposta è positiva e va sotto il nome di principio variazionale di Hamilton ampliato. L'aggettivo ampliato si riferisce al metodo utilizzato per studiare la variazione del funzionale formale: non varieremo solo la traiettoria , ma anche il suo momento coniugato . Procediamo per gradi.

Siano le variabili canoniche di un sistema, prese indipendenti tra loro, che soddisfano le equazioni canoniche di Hamilton. Studiamo di questo sistema le variazioni e . Per poter visualizzare al meglio le variazioni, prendiamo lo spazio delle fasi dell'oscillatore armonico.

Come per il principio non ampliato, non facciamo variare , ovvero . Si definisce azione ampliata il funzionale:

La prima osservazione, non banale, è che l'azione ampliata non è uguale all'azione, ovvero . Procediamo come nel caso precedente, studiandone la variazione. In questo non varia solo la traiettoria ma varia anche . Nella seguente dimostrazione ci limitiamo, per semplicità di notazione, al caso unidimensionale (gradi di libertà ); nel caso multidimensionale è del tutto identica, basta aggiungere la sommatoria. Scriviamo le funzioni che variano come:

Possiamo ora scrivere la variazione del funzionale:

Sviluppiamo per parti il fattore , ottenendo ; sostituendo:

Ricordiamo ora che come condizioni abbiamo posto , e che il nostro sistema soddisfa le equazioni canoniche di Hamilton, che compaiono qui. Sostituendo e raggruppando, otteniamo:

Tutto questo sempre tenendo in considerazione che sono arbitrari. Abbiamo appena dimostrato che, per un sistema che compie il suo moto normale, di cui è possibile scrivere l'hamiltoniana e le cui variabili canoniche soddisfano le equazioni canoniche, il funzionale formale azione ampliata è stazionario. Per meglio esprimerci:

Principio di Hamilton ampliato

Se un sistema segue la sua traiettoria normale, allora l'azione ampliata è stazionaria, generalmente minima. Ciò vuol dire che, tra tutte le traiettorie possibili, il sistema compie la particolare , di momento coniugato , tali che questi due elementi minimizzino l'azione ampliata.

Esattamente come per il principio variazionale non ampliato, questo risultato è di notevole interesse, seppur aspettato (poiché l'hamiltoniana deriva direttamente dalla lagrangiana, era auspicabile ottenere un risultato simile).