Meccanica analitica/Equazione simbolica di d'Alembert

Ricordiamo il nostro obiettivo: scrivere l'equazione di Newton in funzione delle variabili lagrangiane. Ci resta ancora un po' di strada da fare, che percorreremo tra questo e il successivo paragrafo. Il primo tentativo di spostare lo sguardo dalla meccanica newtoniana alla meccanica lagrangiana è dato dall'equazione di d'Alembert.

Definizione

Equazione simbolica di d'Alembert:

$\sum _{i=1}^{n}\left(m_{i}{\ddot {x_{i}}}-{\vec {f_{i}}}\right)\cdot \delta OP_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {r_{i}}}\cdot \delta OP_{i}=0$

L'equazione simbolica di d'Alembert è vera per qualunque scelta arbitraria di $\delta OP_{i}$. Il problema è che i $\delta OP_{i}$ non sono indipendenti tra loro: in un sistema rigido, per esempio, la distanza dei vari punti dall'origine varia nel tempo, ma la forma geometrica del sistema no, quindi le distanze sono comunque in relazione tra loro. Proviamo allora a scrivere i $\delta OP_{i}$ in funzione delle variabili lagrangiane $q_{h}$ e, oltre a questi, scriviamo anche le quantità meccaniche più importanti.

${\begin{aligned}{\bar {OP_{i}}}=&{\bar {OP_{i}}}(q_{1},\cdots ,q_{n})\\v_{i}={\frac {dOP_{i}}{dt}}=&\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}\cdot {\frac {dq_{h}}{dt}}+{\frac {\partial OP_{i}}{\partial t}}\end{aligned}}$

L'espressione ${\frac {d}{dt}}$ indica la derivata totale rispetto al tempo, mentre ${\frac {\partial }{\partial t}}$ indica quella parziale; l'espressione ${\frac {dq_{h}}{dt}}$ la indicheremo, da adesso e per sempre, ${\dot {q_{h}}}$. Scriviamo ora l'espressione dell'energia cinetica $T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}v_{i}^{2}$, sostituendo al posto di $v$ l'espressione trovata in funzione delle $q_{h}$:

${\begin{aligned}T=&{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}\cdot {\frac {dq_{h}}{dt}}+{\frac {\partial OP_{i}}{\partial t}}\right)\cdot \left(\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}\cdot {\frac {dq_{h}}{dt}}+{\frac {\partial OP_{i}}{\partial t}}\right)=\\=&{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}\sum _{h=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}\cdot {\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{k}}}\cdot {\dot {q_{h}}}\cdot {\dot {q_{k}}}+\\&+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}\cdot {\dot {q_{h}}}\cdot {\frac {\partial OP_{i}}{\partial t}}\right)\cdot 2+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left({\frac {\partial OP_{i}}{\partial t}}\right)^{2}\end{aligned}}$

Facciamo chiarezza sugli indici delle sommatorie. L'indice $i=1,\cdots ,N$ indica il numero di particelle che compongono il sistema fisico che stiamo trattando, mentre gli indici $h,k=1,\cdots ,n$ indicano i gradi di libertà del nostro sistema fisico, corrispondente anche al numero di variabili lagrangiane.

Notiamo che l'ultimo elemento della somma non dipende esplicitamente da ${\dot {q_{h}}}$; lo chiameremo allora $a_{00}$. Sviluppiamo a un altro livello l'energia cinetica:

$T={\frac {1}{2}}\sum _{h=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}\underbrace {\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{k}}}\right)} _{=a_{hk}}{\dot {q_{h}}}{\dot {q_{k}}}+\sum _{h=1}^{n}\underbrace {\left(\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}m_{i}\right)} _{a_{0h}}{\dot {q_{h}}}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial t}}+a_{00}$

I due elementi tra parentesi li rinominiamo come indicato, e otteniamo infine l'espressione dell'energia cinetica in funzione delle variabili lagrangiane che, ricordiamo, sono indipendenti tra loro:

$T={\frac {1}{2}}\sum _{h,k=1}^{n}a_{hk}{\dot {q_{h}}}{\dot {q_{k}}}+\sum _{h=1}^{n}a_{0h}{\dot {q_{h}}}+{\frac {1}{2}}a_{00}$

Concludiamo il capitolo facendo una piccola osservazione sul lavoro virtuale, definito come: $\delta L=\sum _{i=1}^{N}f_{i}\cdot \delta OP_{i}$; esplicitiamo gli spostamenti virtuali:

$\delta L=\sum _{i=1}^{N}f_{i}\cdot \sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}\delta q_{h}=\sum _{h=1}^{n}\underbrace {\left(\sum _{i=1}^{N}f_{i}\cdot {\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}\right)} _{Q_{h}}\delta q_{h}=\sum _{h=1}^{n}Q_{h}\cdot \delta q_{h}$

Tutto questo lavoro è stato fatto per passare dai $\delta OP_{i}$, che sono dipendenti tra loro, ai $\delta q_{h}$, che, per definizione delle variabili lagrangiane, sono indipendenti tra loro (rappresentano gli spostamenti virtuali delle variabili lagrangiane). Quelli che abbiamo indicato con $Q_{h}$ sono scalari che indicano le forze lagrangiane; queste, così come per le variabili, non hanno dimensioni di una forza ma dipendono dalle dimensioni delle variabili, in modo che il loro prodotto scalare abbiamo le dimensioni di un'energia (lavoro). Questo ci indica che, così come c'è un sacco di libertà nella scelta delle variabili lagrangiane, questa libertà si traduce poi nel dover prestare più attenzione alle forze che agiscono su queste variabili, in termini dimensionali. In generale, però, basta l'esperienza e l'allenamento per riuscire a individuare bene le dimensioni di un oggetto fisico.