Meccanica analitica/Metodo di Hamilton-Jacobi

Metodo di Hamilton-Jacobi per sistemi con hamiltoniana indipendente dal tempo

Ricordiamo un momento una cosa detta qualche modulo fa: l'evoluzione temporale di un sistema con hamiltoniana indipendente dal tempo è una trasformazione canonica che ha come funzione generatrice la funzione principale di Hamilton. Il metodo di Hamilton-Jacobi che andremo a discutere in questo modulo permette, data proprio questa trasformazione canonica (ovvero preso semplicemente un sistema a hamiltoniana indipendente dal tempo e lasciato evolvere nel tempo secondo le equazioni canoniche) di poter scrivere le equazioni del moto senza risolvere equazioni differenziali. Non è esattamente la via più breve e neanche la più comoda per risolvere il problema, ma per completezza del nostro discorso sul formalismo hamiltoniano lo discorreremo lo stesso.

Consideriamo una trasformazione canonica indipendente dal tempo, che fa il seguente cambio di variabili:

$(q,p)\to (\beta ,\pi )$

La funzione generatrice è $S(q,Q)\to S(q,\pi )$ (è indipendente dal tempo), quindi abbiamo che $H'=0$. L'espressione di $H'$ è la seguente:

$H'=H-{\frac {\partial F}{\partial t}}=H+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0$

L'hamiltoniana è funzione delle variabili $H(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n},t)$; dalle equazioni di Hamilton-Jacobi sappiamo che $p_{h}={\frac {\partial S}{\partial q_{h}}}$; andando a sostituire:

${\frac {\partial S}{\partial t}}+H\left(q_{1},\cdots ,q_{n},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}},t\right)=0$

Questa è un'equazione differenziale alle derivate parziali che, se risolta, ci permette di ricavare la funzione principale $S$; la soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali è un problema molto complicato, risolto solo nel secolo scorso, quindi non tratteremo di come si integrano questi tipi di equazioni. A noi tuttavia non interessa l'integrale generale dell'equazione, ma trovare l'integrale completo, ovvero quella soluzione funzione di $n$ variabili non banale che soddisfi questa particolare equazione. Troveremo quindi una funzione $S(q_{h},\pi _{h},t)$ tale che:

$\det \left({\frac {\partial ^{2}S}{\partial q_{h}\partial \pi _{k}}}\right)\neq 0$

(Questa è la condizione di non banalità della funzione).

Dal fatto che $H'=0$ otteniamo che, sfruttando le equazioni canoniche,

${\begin{aligned}&{\dot {\beta }}_{h}={\frac {\partial H'}{\partial \pi _{h}}}=0\\&{\dot {\pi }}_{h}=-{\frac {\partial H'}{\partial \beta _{h}}}=0\end{aligned}}$

Ovvero $\beta ,\pi$ sono costanti del moto. Poiché la trasformazione è canonica, possiamo anche scrivere:

$p_{h}={\frac {\partial S}{\partial q_{h}}}\quad \beta _{h}={\frac {\partial S}{\partial \pi _{h}}}$

Possiamo invertire queste equazioni, esplicitando $(q,p)$:

${\begin{aligned}&q_{h}=q_{h}(\beta ,\pi ,t)\\&p_{h}=p_{h}(\beta ,\pi ,t)\end{aligned}}$

Poiché $\beta ,\pi$ sono delle costanti, le equazioni che abbiamo appena scritto qui sono le equazioni del moto, ovvero descrivono il comportamento delle coordinate lagrangiane e dei rispettivi momenti coniugati al variare del tempo.

Inoltre, se l'hamiltoniana è indipendente dal tempo $H(q,p)$, possiamo anche scrivere:

$S\left(q_{1},\cdots ,q_{n},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}},t\right)=W\left(q_{1},\cdots ,q_{n},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}}\right)-Et$

Dove $W$ è una generica funzione indipendente dal tempo. Se deriviamo parzialmente questa espressione rispetto al tempo, otteniamo:

${\frac {\partial S}{\partial t}}=-E$

Andando a sostituire questo risultato nell'equazione differenziale prima trovata otteniamo:

$-E+H\left(q_{1},\cdots ,q_{n},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}}\right)=0$

Ovvero $E$ è l'energia meccanica del sistema ed è una costante del moto, uguale alla funzione hamiltoniana. Nel prossimo paragrafo chiameremo $E=\pi _{1}$ e lo sfrutteremo per poter risolvere l'oscillatore armonico.

In generale, non esiste un teorema o una condizione che ci assicuri che un sistema possa essere risolto. Quei sistemi per i quali si può trovare la funzione $S$ si dicono integrabili. Ci sono tuttavia due casi noti di sistemi integrabili: l'oscillatore armonico e la particella libera. Tutta la fisica teorica, quantistica e particellare, quindi, sfrutta questa caratteristica particolare e, tramite opportune trasformazioni, cerca di ricondursi a questi casi noti, riuscendo a mappare sistemi di cui non si sa nulla con l'oscillatore armonico o la particella libera.

Soluzione dell'oscillatore armonico attraverso il metodo di Hamilton-Jacobi

Risolviamo ora l'oscillatore armonico. Consideriamo il caso di una sola dimensione; l'hamiltoniana sarà:

${\begin{aligned}&H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {k}{2}}q^{2}\\&\left(E-{\frac {k}{2}}q^{2}\right)2m=\left({\frac {\partial S}{\partial q}}\right)^{2}\end{aligned}}$

La funzione generatrice è $S(q,p)=W\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q}}\right)-Et$; sostituiamo l'espressione $p={\frac {\partial S}{\partial q}}$ nell'hamiltoniana:

$H={\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S}{\partial q}}\right)^{2}+{\frac {k}{2}}q^{2}=E$

Questa equazione differenziale si può risolvere a variabili separate; riprendendo l'espressione di $S=W\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q}}\right)-Et$, notiamo che possiamo scrivere:

$\left(E-{\frac {k}{2}}q^{2}\right)2m=\left({\frac {\partial W}{\partial q}}\right)^{2}$

Risolviamola:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial W}{\partial q}}={\sqrt {2m\left(E-{\frac {k}{2}}q^{2}\right)}}\\&W=\int dq{\sqrt {2m\left(E-{\frac {k}{2}}q^{2}\right)}}\\&S=\int dq{\sqrt {2m\left(E-{\frac {k}{2}}q^{2}\right)}}-Et\end{aligned}}$

Consideriamo la trasformazione canonica $(q,p)\to (\beta ,\pi )$, ricordando che $\beta ={\frac {\partial S}{\partial \pi }}$. Chiamo $\pi =E$, quindi $\beta ={\frac {\partial S}{\partial E}}$. Esplicitiamo questa espressione:

${\begin{aligned}{\frac {\partial S}{\partial E}}&=-t+\int dq{\frac {2m}{2{\sqrt {2m\left(E-{\frac {k}{2}}q^{2}\right)}}}}=-+\int dq{\frac {2m}{{\sqrt {2m}}\cdot {\sqrt {E-{\frac {k}{2}}q^{2}}}}}\\&=-t+{\sqrt {2m}}\int dq{\frac {1}{2{\sqrt {{\frac {k}{2}}\left({\frac {2}{k}}E-q^{2}\right)}}}}\\&=-t+{\frac {\sqrt {2m}}{\sqrt {2k}}}\int dq{\frac {1}{\sqrt {{\frac {2E}{k}}\left(1-q^{2}\right)}}}=-t+{\sqrt {\frac {m}{m}}}\int dq{\frac {1}{{\sqrt {\frac {2E}{k}}}\cdot {\sqrt {1-q^{2}{\frac {k}{2E}}}}}}\\&=-t+{\sqrt {\frac {m}{k}}}\int dt\left({\sqrt {\frac {k}{2E}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}k}{2E}}}}}\right)\end{aligned}}$

Cambiamo variabile: chiamiamo $x=q{\sqrt {\frac {k}{2E}}}$; otteniamo:

${\frac {\partial S}{\partial E}}=-t+{\sqrt {\frac {m}{k}}}\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=-t+{\sqrt {\frac {m}{k}}}\arcsin \left(q{\sqrt {\frac {k}{2E}}}\right)$

Otteniamo che $\beta +t={\sqrt {\frac {m}{k}}}\arcsin \left(q{\sqrt {\frac {k}{2E}}}\right)$; invertendo l'espressione per ricavarci $q$ otteniamo:

$\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}(\beta +t)\right)=q{\sqrt {\frac {k}{2E}}}$

Chiamato $\beta '=\beta {\sqrt {k}}{m}$, otteniamo:

$q={\sqrt {\frac {2E}{k}}}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t+\beta '\right)$

Che è l'equazione del moto dell'oscillatore armonico a cui siamo abituati, con $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$. Abbiamo trovato l'equazione senza dover risolvere equazioni differenziali, seppure, forse, è stata una strada più lunga. Questo ci indica che, se conosciamo la funzione principale $S(q,p,t)$ di un sistema, sappiamo più o meno tutto: equazioni del moto, evoluzione temporale, funzionale azione in funzione delle posizioni e dei tempi iniziali e finali. Insomma, c'è un motivo se si chiama funzione principale di Hamilton.