Meccanica analitica/Quantità conservate

Esistono, nei sistemi dinamici di cui è possibile scrivere la lagrangiana, alcune quantità che, in casi particolari, restano costanti lungo tutto il moto. Vediamo quali.

Definizione

Si definisce momento coniugato di $q_{r}$ la quantità:

$p_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{r}}}}}$

Se nella lagrangiana non è presente la variabile $q_{r}$ ma è presente la sua derivata ${\dot {q_{r}}}$, allora il momento coniugato è una costante del moto. Facciamo un esempio.

Consideriamo un sistema la cui lagrangiana sia la seguente:

$L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-U(r)$

Il momento coniugato di $\theta$ sarà $P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}$ che è il momento angolare rispetto all'asse ${\hat {z}}$; il sistema in questione è un corpo ruotante attorno al proprio asse, e sappiamo che il momento angolare è, in modulo, costante. Inoltre, sapendo questo, sappiamo che il sistema è invariante rispetto a rotazioni. Ciò ci indica che l'assenza di una variabile indica la presenza di una simmetria.

Definizione

Chiamasi energia generalizzata di un sistema la funzione:

${\mathcal {H}}=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}{\dot {q}}_{h}-L$

Il nome energia generalizzata non è casuale; osserviamo come, infatti, nella lagrangiana l'unico dei due fattori tra energia cinetica e energia potenziale dipendente da ${\dot {q_{h}}}$ è l'energia cinetica. Vediamo di esprimerla bene:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{l}}}}}=\sum _{h=1}^{n}a_{hl}{\dot {q_{h}}}\\&{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{h}}}}}{\dot {q_{h}}}=\sum _{h=1}^{n}a_{hl}{\dot {q_{h}}}{\dot {q_{l}}}=2T\end{aligned}}$

Ricordiamo che, all'inzio del paragrafo scorso, avevamo ottenuto che $T={\frac {1}{2}}\sum _{h,l=1}^{n}a_{hl}{\dot {q_{h}}}{\dot {q_{l}}}$ e quindi il primo fattore dell'energia generalizzata è proprio $2T$. Ricordando la definizione di lagrangiana, otteniamo:

${\mathcal {H}}=2T-(T-U)=T+U=E_{c}$

Esattamente uguale, per definizione, all'energia meccanica del sistema. Ovviamente, non sempre è una costante, l'energia; il valore di $T$ qui sopra utilizzato è quello dei sistemi a vincoli indipendenti dal tempo. È possibile dimostrare, attraverso il seguente teorema, che, se i vincoli sono indipendenti dal tempo, ${\mathcal {H}}$ è una costante del moto.

Teorema

Se $L(q_{h}/{\dot {q_{h}}})$, ovvero indipendente dal tempo: ${\frac {\partial L}{\partial t}}=0$, allora ${\mathcal {H}}$ è una costante del moto.

Dimostrazione

Deriviamo totalmente l'energia generalizzata rispetto al tempo:

${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=\sum _{h=1}^{n}\left(\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}\right)\cdot {\dot {q_{h}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}{\ddot {q_{h}}}\right)-{\frac {dL}{dt}}$

Esprimiamo per intero:

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{h=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{h}}}{\dot {q_{h}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}{\ddot {q_{h}}}\right)$

Otteniamo così che, derivando l'energia generalizzata rispetto al tempo vale:

${\begin{aligned}{\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=&\sum _{h=1}^{n}\left[\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}\right){\dot {q_{h}}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}{\ddot {q_{h}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{h}}}{\dot {q_{h}}}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}{\ddot {q_{h}}}\right]\\\Rightarrow &\sum _{h=1}^{n}{\dot {q_{h}}}\left[{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{h}}}\right]\end{aligned}}$

Se, quindi, sono soddisfatte le equazioni di Eulero-Lagrange, ovvero i vincoli sono indipendenti dal tempo, ${\mathcal {H}}$ è una costante del moto, la derivata rispetto al tempo è nulla (questo vale anche come teorema dell'energia meccanica). Se, invece, $L$ è indipendente da $t$, ma i vincoli lo sono, ${\mathcal {H}}$ è sempre una costante del moto, ma non è l'energia meccanica.

Abbiamo quindi trovato che due quantità, in casi particolari, restano costanti nel tempo. Saranno proprio queste due quantità che saranno alla base della meccanica hamiltoniana, come vedremo nella prossima parte del corso.