Meccanica analitica/Punti di equilibrio

Parleremo in questo e nel prossimo modulo di punti di equilibrio e movimenti attorno a essi. Considereremo nel nostro studio sistemi generici, ma ricordiamo che queste nozioni si applicano in particolare a quei sistemi di cui è possibile scrivere la lagrangiana per poterne appunto studiare le configurazioni di equilibrio.

Definizione

Diremo che un sistema si trova in uno stato di equilibrio se, una volta messo fermo in quello stato, vi resta indefinitamente.

La definizione di stato di equilibrio è abbastanza coerente: se il sistema si trova in questo stato in quiete, allora le forze saranno tutte in equilibrio, bilanciate tra loro, la risultante sarà nulla. Date quindi le coordinate lagrangiane $q_{h}$, se vale:

$\left.{\frac {\partial U}{\partial q_{h}}}\right|_{{\overline {q}}_{h}}=0\ \forall i,\cdots ,n$

Allora diremo che ${\overline {q}}_{h}$ è una posizione di equilibrio.

Classificazione dei punti di equilibrio

Prendiamo ora un sistema in uno stato di equilibrio, e forziamo una leggera perturbazione al sistema. Possono accadere in sostanza due cose: o il sistema resta intorno alla posizione di equilibrio oscillando leggermente, o schizza via verso l'infinito e oltre non tornandovi più. Nel primo caso parleremo di equilibrio stabile, nel secondo di equilibrio instabile.

Formalmente, essere in un punto di equilibrio stabile significa dire che, se il sistema viene messo all'interno di un intorno del punto di equilibrio (intorno di ordine $\delta _{\varepsilon }$), il sistema non uscirà mai dall'intorno $\varepsilon$. In matematica:

${\begin{aligned}&\sum _{h=1}^{n}\left(|q_{h}^{(0)}-{\overline {q}}_{h}|^{2}+\alpha \left({\dot {q}}_{h}^{(0)}\right)^{2}\right)<\delta {\varepsilon }\\&\sum _{h=1}^{n}\left(|q_{h}^{(t)}-{\overline {q}}_{h}|^{2}+\alpha \left({\dot {q}}_{h}^{(t)}\right)^{2}\right)<\epsilon \end{aligned}}$

Dove la prima espressione implica la seconda. Detta così, la situazione sembra irrisolvibile: dovremmo applicare la definizione a tutte le coordinate lagrangiane del sistema, sperando prima o poi di trovarne una che rispetta questa condizione. Grazie a Dirichlet, questo non serve.

Teorema di Dirichlet

Siano i vincoli, la lagrangiana, l'energia potenziale indipendenti dal tempo (esplicitamente). Sia $P^{*}$ un punto di equilibrio. Affinché questo sia punto di equilibrio stabile (condizione necessaria) allora $p^{*}$ deve essere un minimo isolato dell'energia potenziale.

In termini pratici, per poter stabilire se un punto di equilibrio sia o meno stabile occorre studiare il determinante hessiano dell'energia potenziale: occorre scrivere la matrice hessiana delle derivate seconde e calcolarne il determinante: se è positivo, il punto è un minimo dell'energia potenziale e quindi è un punto di equilibrio stabile. Tutti gli altri casi (massimo o sella) corrispondono a equilibri instabili.

Dimostrazione

Dimostriamo il caso unidimensionale con $q_{h}=x$. La condizione da rispettare è che, se vale $\left(|x^{(0)}-{\bar {x}}|^{2}+\alpha \left({\dot {x}}^{(0)}\right)^{2}\right)<\delta _{\varepsilon }$ allora deve essere $\left(|x^{(t)}-{\bar {x}}|^{2}+\alpha \left({\dot {x}}^{(t)}\right)^{2}\right)<\varepsilon$.

Se la lagrangiana non dipende dal tempo, l'energia totale del sistema è costante, ovvero $E=T+U={\mbox{cost}}$. Possiamo scrivere l'energia come $E={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+U(x)$. L'ipotesi che imponiamo al sistema è che $U(x)$ ha un minimo in $x=0$, ovvero $U(0)=0$.

Procediamo per assurdo. L'intorno di ordine $\varepsilon$ è chiuso e limitato e in questo intorno vale $E>0$. Per il teorema di Weierstrass esiste il minimo $m$ in questo intorno tale che $E>E(m)>0$. Consideriamo il valore dell'energia vicino all'origine, un valore $E^{*}$ piccolo a piacere, tale che $E^{*}<E(m)$. Ma $m$ era proprio il minimo, e questo è abbastanza contraddittorio. Quindi il minimo isolato è proprio l'origine, il che conferma la tesi.