Meccanica analitica/Parentesi di Poisson

Date due funzioni $f(q/p/t)$ e $g(q/p/t)$, si definisce la parentesi di Poisson tra $f$ e $g$:

$[f,g]=\sum _{h=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{h}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{h}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{h}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{h}}}\right)$

L'espressione qui sopra si legge f poisson g. Questo elemento ha particolare importanza nella meccanica hamiltoniana, come vedremo nel prossimo modulo. Introduciamo intanto le tre proprietà delle parentesi di Poisson.

• Antisimmetria. Le parentesi di Poisson rispettano la proprietà dell'antisimmetria; infatti:

$[g,f]=\sum _{h=1}^{n}\left({\frac {\partial g}{\partial q_{h}}}{\frac {\partial f}{\partial p_{h}}}-{\frac {\partial g}{\partial p_{h}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{h}}}\right)=-[f,g]$

• Bilinearità. Le parentesi di Poisson sono bilineari, ovvero valgono:

${\begin{aligned}&\alpha [f,g]=[\alpha f,g]=[f,\alpha g]\\&{\Big [}(f_{1}+f_{2}),g{\Big ]}=[f_{1},g]+[f_{2},g]\\&{\Big [}f,(g_{1}+g_{2}){\Big ]}=[f,g_{1}]+[f,g_{2}]\end{aligned}}$

• Rispettano l'identità di Jacobi, per tre funzioni $f,g,h$:

${\Big [}[f,g],h{\Big ]}+{\Big [}[h,f],g{\Big ]}+{\Big [}[g,h],f{\Big ]}=0$

Le parentesi di Poisson sono quindi un'operazione, dotata di proprietà, tra funzioni di variabili hamiltoniane. Quest'operazione fornisce quindi una struttura al formalismo hamiltoniano, ed è una struttura di tipo simplettico (si parla infatti di "strutta simplettica della meccanica hamiltoniana"). Vediamo adesso alcune caratteristiche principali delle parentesi di Poisson.

Siamo $q_{k}$ e $q_{h}$ indipendenti tra loro, e valga lo stesso per $p_{k}$ e $p_{h}$; allora vale:

$[q_{h},q_{k}]=\sum _{l=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{h}}{\partial p_{l}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{l}}}-{\frac {\partial q_{h}}{\partial p_{l}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{l}}}\right)=\delta _{lh}\cdot 0-0\cdot \delta _{kl}=0$

Lo stesso risultato si ottiene per $[p_{h},p_{k}]$; i $\delta _{lh}$ sono i delta di Kronecker, che valgono 1 se gli indici sono uguali ($h=l$), valgono invece 0 in tutti gli altri casi. Consideriamo ora:

$[q_{h},p_{k}]=\sum _{l=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{h}}{\partial q_{l}}}{\frac {\partial p_{h}}{\partial l}}-{\frac {\partial q_{h}}{\partial p_{l}}}{\frac {\partial p_{h}}{\partial q_{l}}}\right)=\delta _{hl}\cdot \delta _{kl}=\delta _{hk}$

Questo è molto interessante perché $[q_{h},p_{k}]$ vale 1 quando gli indici sono uguali, sono nulle in tutti gli altri casi.

Vediamo adesso come le equazioni canoniche di Hamilton riflettano la struttura simplettica del formalismo hamiltoniano; calcoliamo infatti:

$[q_{h},H]=\sum _{l=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{h}}{\partial q_{l}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{l}}}-{\frac {\partial q_{h}}{\partial p_{h}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{l}}}\right)=\delta _{hl}{\frac {\partial H}{\partial p_{l}}}\to ^{h=l}{\frac {\partial H}{\partial p_{h}}}$

Che riflette la legge ${\dot {q_{h}}}={\frac {\partial H}{\partial p_{h}}}$; allo stesso modo:

$[p_{h},H]=\sum _{l=1}^{n}\left({\frac {\partial p_{h}}{\partial q_{l}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{l}}}-{\frac {\partial p_{h}}{\partial p_{l}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{l}}}\right)=-\delta _{hl}{\frac {\partial H}{\partial q_{l}}}\rightarrow ^{h=l}-{\frac {\partial H}{\partial q_{h}}}$

Che riflette la legge ${\dot {p_{h}}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{h}}}$.

Un'altra utile applicazione delle parentesi di Poisson è che è possibile esprimere le derivate totali tramite questo strumento; vediamo come, data $x(q/p/t)$:

$[x,H]+{\frac {\partial x}{\partial t}}=\sum _{h=1}^{n}\left({\frac {\partial x}{\partial q_{h}}}\underbrace {\frac {\partial H}{\partial p_{h}}} _{\dot {q_{h}}}-{\frac {\partial x}{\partial p_{h}}}\underbrace {\frac {\partial H}{\partial q_{h}}} _{-{\dot {p_{h}}}}\right)+{\frac {\partial x}{\partial t}}=\sum _{h=1}^{n}\left({\frac {\partial x}{\partial q_{h}}}{\dot {q_{h}}}+{\frac {\partial x}{\partial p_{h}}}{\dot {p_{h}}}\right)+{\frac {\partial x}{\partial t}}={\dot {x}}$

Un modo di esprimere la derivata totale è quindi ${\dot {x}}=[x,H]+{\frac {\partial x}{\partial t}}$ e, in alcuni casi, è anche un metodo più semplice per calcolarla.