Meccanica analitica/Parentesi di Poisson

Indice del libro

Date due funzioni e , si definisce la parentesi di Poisson tra e :

L'espressione qui sopra si legge f poisson g. Questo elemento ha particolare importanza nella meccanica hamiltoniana, come vedremo nel prossimo modulo. Introduciamo intanto le tre proprietà delle parentesi di Poisson.

  • Antisimmetria. Le parentesi di Poisson rispettano la proprietà dell'antisimmetria; infatti:

  • Bilinearità. Le parentesi di Poisson sono bilineari, ovvero valgono:

  • Rispettano l'identità di Jacobi, per tre funzioni :

Le parentesi di Poisson sono quindi un'operazione, dotata di proprietà, tra funzioni di variabili hamiltoniane. Quest'operazione fornisce quindi una struttura al formalismo hamiltoniano, ed è una struttura di tipo simplettico (si parla infatti di "strutta simplettica della meccanica hamiltoniana"). Vediamo adesso alcune caratteristiche principali delle parentesi di Poisson.

Siamo e indipendenti tra loro, e valga lo stesso per e ; allora vale:

Lo stesso risultato si ottiene per ; i sono i delta di Kronecker, che valgono 1 se gli indici sono uguali (), valgono invece 0 in tutti gli altri casi. Consideriamo ora:

Questo è molto interessante perché vale 1 quando gli indici sono uguali, sono nulle in tutti gli altri casi.

Vediamo adesso come le equazioni canoniche di Hamilton riflettano la struttura simplettica del formalismo hamiltoniano; calcoliamo infatti:

Che riflette la legge ; allo stesso modo:

Che riflette la legge .

Un'altra utile applicazione delle parentesi di Poisson è che è possibile esprimere le derivate totali tramite questo strumento; vediamo come, data :

Un modo di esprimere la derivata totale è quindi e, in alcuni casi, è anche un metodo più semplice per calcolarla.