Meccanica analitica/Spazi delle fasi

Abbiamo visto che nel formalismo hamiltoniano si studia l'evolvere di un sistema fisico al variare delle coordinate lagrangiane $q_{h}$ e dei rispettivi momenti coniugati $p_{h}$. È allora interessante graficare proprio queste variabili, ottenendo quello che si definisce spazio delle fasi, ovvero un grafico $(p,q)$ con i momenti sulle ordinate. Questo è un esempio di spazio delle fasi, di un sistema instabile:

Vediamo qualche esempio di spazi delle fasi. Iniziamo con l'oscillatore armonico: scriviamone la lagrangiana.

$L={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}kx^{2}$

L'energia generalizzata ${\mathcal {H}}$, in questo caso particolare, coincide con l'energia totale del sistema. Il momento coniugato di $x$ sarà $P_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}$; l'hamiltoniana è:

$H=T+U={\frac {p_{x}^{2}}{2m}}+U(x)={\frac {p_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}$

Questa formula è simile a un'espressione del tipo ${\frac {p_{x}^{2}}{b^{2}}}+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}$, che è l'equazione di un'ellisse. Ciò significa che, nello spazio delle fasi, il moto normale del sistema sarà descritto da una traiettoria elissoidale; le curve di livello del grafico, ovvero le varie ellissi, variano di dimensioni a seconda dell'energia del sistema.