Esercizi di fisica con soluzioni/Statica dei corpi rigidi


EserciziModifica

1. ScalaModifica

Una scala di massa   e lunghezza   è appoggiata ad un estremo ad un muro verticale (liscio) e ad un altro estremo al suolo con coefficiente di attrito  . Detto   l'angolo che la scala forma con la direzione verticale (si può verificare che la scala da sola è in equilibrio). Un uomo di massa   sale sulla scala, la scala rimane ancora in equilibrio se l'uomo sale fino al gradino più alto?

(dati del problema  ,  ,  ,  )

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2. AstaModifica

Una fune sostiene una trave orizzontale di massa  , lunga  , bloccata ad un estremo da una parete verticale e all'altro è appesa una massa  . La fune è fissata nell'estremo B della trave, quindi non può scorrere, e forma un angolo   con la direzione orizzontale.

Determinare a) la tensione della fune tra il muro e l'asta ; b) la componente normale esercitata dalla trave sulla parete ; c) il coefficiente minimo di attrito statico tra parete e trave, in maniera che la trave rimanga bloccata alla parete.

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3. Mezzo anelloModifica

Determinare il centro di massa di un mezzo anello di raggio   e massa   uniforme.

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4. Quarto di anelloModifica

Determinare il centro di massa di un quarto di anello di raggio   e massa   uniforme.

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5. Mezzo disco e mezza sferaModifica

Determinare il centro di massa di un mezzo disco di raggio   e massa   uniforme e di una mezza sfera con le stesse caratteristiche.

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6. Quarto di discoModifica

Determinare il centro di massa di un quarto di disco di raggio   e massa   uniforme.

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7. Sfera con foroModifica


Determinare il centro di massa di una sfera di raggio   al cui interno sia stata tolta una sfera di raggio   tangente alla sfera maggiore.

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8. Disco bloccatoModifica

Un disco di massa   e raggio   è sottoposto all'azione di una forza   che è applicata ad altezza  , poggia su un piano orizzontale scabro ed è trattenuto fermo da un filo disposto come in figura con un angolo   rispetto alla direzione orizzontale.

Determinare a) la tensione del filo; b) il coefficiente di attrito statico minimo che permette l'equilibrio. c) Se la forza viene applicata, più in alto ad altezza  , trovare il valore   per cui la forza di attrito è nulla e quindi il piano può essere liscio come si vuole.

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9. Manubrio asimmetricoModifica

Una asta rigida di massa trascurabile ha agli estremi due sfere piene di ferro   di raggio   e  . Al centro dell'asta un perno (fulcro) nel punto   permette la rotazione del sistema. La distanza tra i centri delle sfere ed il fulcro vale  . Un filo trattiene la sfera di massa maggiore. Determinare: a) la massa totale del sistema e la posizione del centro di massa rispetto al punto  ; b) la reazione vincolare del fulcro.

Il filo si spezza e il sistema incomincia a ruotare, determinare c) l'accelerazione angolare del sistema all'istante iniziale del moto; d) la velocità angolare quando l'asta è verticale.

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SoluzioniModifica

1. ScalaModifica

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Detto   il punto di appoggio verticale ed   quello orizzontale; scelto l'asse   come direzione orizzontale e la   come verticale; assunto   come polo. La prima equazione cardinale nella direzione verticale è (detta   la reazione vincolare normale al punto B) :

 

da cui:

 

Detta   la distanza da   dell'uomo compresa tra   ed  , imponendo che il momento delle forze rispetto al polo   sia nullo (detta   la reazione vincolare normale al punto A):

 

da cui:

 

Che è massima quando:

 

cioè per:

 

Per avere equilibrio occorre che anche, ( detta   la forza di attrito statico tra il punto nel punto B):

 

quindi

 

La condizione di equilibrio è verificata infatti:

 

2. AstaModifica

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a)

Imponendo che sia nullo il momento totale delle forze, rispetto all'estremo sulla parete:

 

segue che:

 

b)

La componente normale della reazione vincolare della parete alla compressione vale:

 

c)

Le forze verticali agenti sulla trave ad esclusione della reazione vincolare sono:

 

Quindi, dovendo essere:

 

Il minore coefficiente di attrito statico che garantisce il blocco della trave vale:

 

3. Mezzo anelloModifica

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Scegliamo l'origine e gli assi come in figura.

La densità lineare di massa vale:

 

Mentre l'elemento di lunghezza infinitesima, assunto come variabile l'angolo  , è:

 

Quindi:

 

Tale generico elemento di trova nel punto di coordinate:

 

Quindi:

 

come era ovvio per ragioni di simmetria. Mentre:

 

4. Quarto di anelloModifica

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Scegliamo l'origine e gli assi come in figura.

La densità lineare di massa vale:

 

Mentre l'elemento di lunghezza infinitesima, assunto come variabile l'angolo  , è:

 

Quindi:

 

Tale generico elemento di trova nel punto di coordinate:

 

Quindi:

 

Che coincide numericamente come si poteva aspettare per ragioni di simmetria con il valore dell'altro asse:

 

5. Mezzo disco e mezza sferaModifica

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a) Mezzo disco

Scegliamo l'origine e gli assi come in figura.

La densità superficiale di massa vale:

 

L'elemento di superficie infinitesimo è alto (larghezza della striscia più scura in figura):

 

ed ha una lunghezza:

 

L'elemento di superficie infinitesimo dS (striscia più scura in figura) è un rettangolo di superficie:

 

Quindi:

 

Quindi il generico elemento di superficie si trova ad una quota:

 

Quindi la posizione del centro di massa sull'asse delle y (la coordinata x per simmetria è nulla) vale:

 

b) Semisfera

La densità (volumetrica) di massa vale:

 

L'elemento di lunghezza infinitesima, è alto (larghezza del striscia più scura in figura):

 

L'elemento di volume infinitesimo dV (striscia più scura in figura) è un disco di altezza dh e raggio

 

Quindi:

 

Quindi:

 

Quindi il generico elemento di volume si trova ad una quota:

 

La coordinata y del centro di massa (la x e la z sono nulle per ragioni di simmetria) vale:

 

6. Quarto di discoModifica

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a) Mezzo disco

Scegliamo l'origine e gli assi come in figura.

La densità superficiale di massa vale:

 

L'elemento di lunghezza infinitesima è alto (larghezza della striscia più scura in figura):

 

L'elemento di superficie infinitesimo dS (striscia più scura in figura) è un rettangolo di altezza dh e di lunghezza

 

Quindi:

 

Quindi:

 

Quindi il generico elemento di superficie si trova ad una quota:

 

Quindi la posizione del centro di massa sull'asse delle y vale:

 

Costruendo un rettangolo verticale invece che orizzontale e ripetendo lo stesso ragionamento si ha che anche:

 

7. Sfera con foroModifica

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Detto   la densità, il problema diventa equivalente ad una sfera uniforme di raggio   e densità   ed una sfera di raggio   posta nel punto   ma con densità  . Quindi la posizione del   sull'asse congiungente i due centri vale:

 

8. Disco bloccatoModifica

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Sul disco agiscono quattro forze la forza peso, la tensione del filo, la reazione vincolare e la forza esterna.

a)

Scomponiamo la reazione vincolare in una componente normale al piano   ed una orizzontale  . La condizione di equilibrio per le forze, sull'asse orizzontale:

 

Per quanto riguarda i momenti rispetto al baricentro (positivo antiorario):

 

Eliminando  :

 

b)

 

per quanto riguarda la reazione vincolare normale:

 

Imponendo che:

 
 

c)

Se la forza è applicata in   la risultante delle forze orizzontali ha la stessa espressione anche se la tensione è diversa:

 

Il pedice   è il modulo della tensione ed   è la forza di attrito statico se   è applicato nel punto ad altezza  . Per quanto riguarda i momenti rispetto al baricentro invece:

 

Eliminando  :

 

Che è nulla per

 
 

9. Manubrio asimmetricoModifica

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a)

La massa della sfera più piccola è:

 

mentre di quella maggiore:

 

Quindi:

 

Il centro di massa del sistema è a destra del fulcro a distanza:

 

b)

Per avere equilibrio il momento delle forze rispetto a   deve essere nullo quindi, detta   la tensione del filo, deve essere:

 

quindi:

 

Chiamiamo   la reazione vincolare del perno (diretta seconda la verticale). Dovendo essere la risultante delle forze nulle:

 
 

c)

Il momento di inerzia della sfera di sinistra rispetto al fulcro vale:

 

Il momento di inerzia della sfera di destra rispetto al fulcro vale:

 

Quindi il momento di inerzia totale vale:

 

Quando si spezza il filo dalla seconda equazione cardinale:

 
 

d)

Nel punto più basso l'energia potenziale del sistema è diventata cinetica: