Esercizi di fisica con soluzioni/Correnti alternate


EserciziModifica

1. Circuito RC in corrente alternataModifica

Consideriamo un generatore di corrente alternata come in figura che funziona a  ,   con in serie una resistenza  ,   . Determinare la corrente  , la tensione efficace ai capi della resistenza   e del condensatore   e lo sfasamento tra corrente   e generatore, tra   e generatore, tra   e generatore.


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2. Circuito RL in corrente alternataModifica

Consideriamo un generatore di corrente alternata come in figura che funziona a  ,   con in serie una resistenza  ,   . Determinare la corrente  , la tensione efficace ai capi della resistenza   e dell'induttanza   e lo sfasamento tra corrente   e generatore, tra   e generatore, tra   e generatore.


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3. Motore in corrente alternataModifica

Un motore in corrente alternata si può rappresentare come una induttanza con in serie una resistenza. Il motore è alimentato a una presa normale di abitazione (  ,  ). Se la potenza assorbita dal motore è   (Potenza media), e vi è uno sfasamento di   tra corrente e tensione. Determinare:

a) L'impedenza totale del motore.

b) La resistenza e l'induttanza del motore.

c) Il valore della capacità di rifasamento, cioè una capacità da porre in serie al circuito in maniera da diminuire lo sfasamento portandolo a  .

(dati del problema  ,  ,  ,  ,  )


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4. Circuito RCL in corrente alternataModifica

Un circuito RCL serie è alimentato alla frequenza di risonanza. Nella induttanza può al massimo scorrere una corrente  . In tale condizione estrema determinare:

a) La differenza di potenziale massima ai capi dei vari elementi circuitali.

b) L'energia fornita in un periodo dal generatore.

c) La frequenza per cui la differenza di potenziale ai capi dell'induttanza sia due volte quella ai capi della capacità.

(dati del problema  ,  ,  ,  )


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5. Circuito RCRL in corrente alternataModifica

Un circuito costituito da una resistenza  in parallelo con un condensatore  , in serie con un resistenza   ed una induttanza  .

a) Determinare percentualmente quanto la frequenza di risonanza esatta si discosti da quella approssimata.

b) L'impedenza del circuito alla frequenza di risonanza.

c) Il fattore di merito del circuito.

(dati del problema  ,  ,  ,  )


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6. Limite circuito risonanteModifica

Un circuito è costituito da una resistenza   in parallelo con un condensatore   ed in serie una induttanza  . In quali limiti il circuito può considerarsi un circuito risonante?

Se in particolare la resistenza vale   quanto vale il fattore di merito?

(dati del problema  ,  )


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7. Solenoide ruotanteModifica

Un solenoide di raggio  , lunghezza  , di   spire, ruota con velocità angolare   costante attorno ad un asse normale al suo asse di simmetria e passante per il centro del solenoide. Se esso è immerso in un campo magnetico uniforme il cui vettore di induzione magnetica è diretto all'istante iniziale lungo l'asse del solenoide con intensità  .


a) Determinare il valore efficace della forza elettromotrice indotta ai capi del solenoide.

b) Se viene chiuso su una resistenza   (grande rispetto alla resistenza del filo del solenoide che quindi si trascura) quanto vale la potenza media dissipata (l'induttanza del solenoide non è trascurabile a queste frequenze).


(dati del problema  ,  ,  ,  ,  ,  )


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8. Circuito risonante con 2 RModifica

Consideriamo un generatore di corrente alternata come in figura. L'ampiezza del generatore vale   con in serie una resistenza  , una induttanza   e in serie un condensatore   con in parallelo la sua resistenza di perdita   che può avere tre valori  ,   e  .

Determinare la frequenza di risonanza, il fattore di merito e la tensione ai capi della capacità nei tre casi: detti a), b) e c).


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9. Circuito risonante con 2 CModifica

Il circuito mostrato in figura è composto di un generatore in tensione alternata di ampiezza costante e pulsazione variabile:

 

La maglia è composta di una induttanza   e due condensatori in serie il primo, con perdite, rappresentate dalla resistenza   in parallelo, ed il secondo di capacità   praticamente senza perdite.

a) Determinare la frequenza   per cui la corrente efficace nella maglia sia massima

b) Il valore di tale corrente efficace.

c) Il valore del fattore di merito  , di valore elevato, ipotesi che si può verificare a posteriori.

Suggerimento: dai dati numerici l'intervallo di interesse è quello per cui  , approssimare i conti ove possibile tenendo conto di tale fatto.

(dati del problema:  ,  ,  ,  ,  ).


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10. Trasformatore con caricoModifica


Un generatore di tensione alternata a   con tensione efficace   è collegato ad un trasformatore come in figura.

Determinare la potenza fornita dal generatore per i due valori di   dati.


(dati del problema  ,  ,  ,  ,  ,  )


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11. Luce da palcoscenicoModifica

Il circuito mostrato in figura è lo schema del funzionamento di una lampada da palcoscenico. La funzione dell'induttanza variabile (indicata in figura dal simbolo dell'induttanza con una freccia sovrapposta) è di variare la potenza dissipata in media nella lampada (indicata dalla resistenza) e quindi la sua luminosità.

Il generatore di tensione alternata alla frequenza   ha una ampiezza  . Determinare: a) il valore di   sapendo che quando   la potenza media dissipata dalla resistenza vale  ; b) la potenza media dissipata quando l'induttanza assume il suo valore massimo  .

(dati del problema  ,  ,  ,  )


Determinare la potenza fornita dal generatore per i due valori di   dati.

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12. Circuito RCModifica

Determinare il valore della frequenza per cui lo sfasamento tra corrente è tensione nella maglia è   ed a tale frequenza determinare la potenza media fornita dal generatore. Con   si indica il valore della tensione efficace del generatore in corrente alternata.

(dati del problema  ,  ,  ,   )


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13. Circuito risonante paralleloModifica

Il circuito mostrato in figura è alimentato con un generatore   di cui può essere variata la frequenza. L'induttanza vale  , la capacità vale  , le due resistenze   e  . Determinare: a) la corrente efficace fornita dal generatore se la pulsazione vale   ; b) la tensione efficace ai capi di   per una pulsazione   ; c) la pulsazione di risonanza ; d) l'impedenza alla frequenza di risonanza.

(se è possibile approssimare non fare conti esatti) → Vai alla soluzione

14. Circuito risonante oscillanteModifica

Il circuito mostrato è costituito da un condensatore di capacità   che prima di aprire l'interruttore ha una carica  . Mentre l'induttanza vale   e la resistenza vale  . Determinare a) l'andamento della carica in funzione del tempo e in particolare dopo uno pseudoperiodo; b) l'andamento della corrente nella maglia nel tempo e in particolare dopo un 1/4 di pseudoperiodo (dove la corrente raggiunge il primo massimo); c) la percentuale di energia persa in 1/4 di pseudoperiodo.

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15. Circuito RLC smorzatoModifica

Il circuito mostrato è costituito da un condensatore di capacità   che prima di aprire l'interruttore ha una carica  . Mentre l'induttanza vale   e la resistenza vale  . Determinare : a) l'andamento della carica in funzione del tempo e a  ; b) l'andamento della corrente nella maglia nel tempo e a  ; c) la percentuale di energia persa dopo  .

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SoluzioniModifica

1. Circuito RC in corrente alternataModifica

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Soluzione:

L'equazione della maglia è (eliminando la variabile tempo esplicitamente dall'equazione):

 

 

Quindi:

 

Per quanto riguarda lo sfasamento tra corrente e generatore:

 

quindi dall'algebra dei numeri complessi:

 

Quindi:

 

 

Lo sfasamento con il generatore è lo stesso della corrente, essendo   un numero reale. Mentre:

 

 

In questo caso:

 

Quindi lo sfasamento tra tensione ai capi del condensatore e generatore vale:

 

Se la frequenza diminuisse la parte della impedenza dovuta alla capacità in serie aumenterebbe al limite rendendo trascurabile la resistenza: il circuito diventerebbe molto simile ad un semplice condensatore, la tensione ai capi della resistenza sarebbe trascurabile: un circuito di questo genere, si usa per elimare le basse frequenze e si chiama infatti taglia basso. Notiamo come la pulsazione che delimita il passaggio tra la bassa e l'alta frequenza è quella per cui le due impedenze in modulo si equivalgono:

  cioè:

 

  Quindi a   la frequenza è bassa.

2. Circuito RL in corrente alternataModifica

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L'equazione della maglia è (eliminando la variabile tempo esplicitamente dall'equazione):

 
 

Quindi:

 

Per quanto riguarda lo sfasamento tra la corrente I(t) (in fase con Vr) e la tensione V(t) del generatore si ha:

 

quindi dall'algebra dei numeri complessi:

 

Quindi:

 
 

Lo sfasamento tra V(t) e Vl si ottiene come segue:

 
 

Quindi lo sfasamento tra la tensione V(t) del generatore e la tensione Vl ai capi di L è:

 

Se la frequenza aumentasse la parte della impedenza dovuta alla induttanza in serie aumenterebbe al limite rendendo trascurabile la resistenza: il circuito diventerebbe molto simile ad un semplice induttore, la tensione ai capi della resistenza sarebbe trascurabile.

3. Motore in corrente alternataModifica

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definendo  

a) Essendo:

 

 


 


b)

Quindi:

 

ed    

c)

L'impedenza totale nel caso della capacità di rifasamento vale:

 

questo vuol dire che:

 

Eliminando la soluzione  

Che corrisponde a  , escluso dai dati del problema. Rimane:

 

da cui:

 


 


4. Circuito RCL in corrente alternataModifica

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a) La corrente che scorre alla risonanza, per cui il generatore fornisce una

 

ai capi della resistenza vi sono quindi   mentre detta:

 

La tensione ai capi del condensatore vale:


e ovviamente la stessa ai capi dell'induttanza:

 

b)

La potenza media vale:

 

quindi in un periodo:

 

da cui:

 

c)

Basta imporre che:

 

 

 

5. Circuito RCRL in corrente alternataModifica

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a)

L'impedenza totale del circuito vale:

 

la parte immaginaria vale:

 

che si annulla per:

 

mentre la pulsazione approssimata di risonanza vale:

 

quindi:

 

b)

 

c)

 


6. Limite circuito risonanteModifica

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La parte reale dell'impedenza vale:

 

Mentre quella immaginaria:

 

La parte immaginaria si annulla se:

 

Cioè solo se:

 

 

In questo caso specifico con  :

 

 

ed il fattore di merito vale:

 


7. Solenoide ruotanteModifica

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a) Il flusso che attraversa ogni spira del solenoide vale:

 

Quindi dalla legge di Faraday-Newman-Lentz applicata al solenoide di   spire:

 

 

b) L'induttanza del solenoide vale:

 

L'impedenza totale del circuito vale:

 

Quindi la corrente efficace:

 

Lo sfasamento tra corrente e tensione vale:

 

Quindi della potenza totale dissipata:

 

8. Circuito risonante con 2 RModifica

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L'impedenza del parallelo tra capacità e resistenza   vale:

 
 

Quindi la parte reale dell'impedenza vale:

 

mentre la immaginaria:

 

La immaginaria si annulla se:

 

cioè se:

 
 

ma essendo in tutti e tre i casi:

  (nel caso b) vale  ) si ha che trascurando nella radice   rispetto a  .

 

Alla frequenza di risonanza la parte reale vale:

 

In questo caso si ha che: a)  , b)   e c)  

Quindi essendo il fattore di merito:

 

nei tre casi vale:

a)  , b)   e c)  

La corrente massima che scorre nel circuito alla risonanza vale:

 

nei tre casi vale: a)  , b)   e c)  

La corrente nel nodo vale:

 

Con   corrente nella capacità e   nel ramo della resistenza   (entrambe in genere immaginarie al contrario di  ), inoltre:

 

Quindi, combinando le due equazioni e approssimando   si ha che:

 

trascurando il termine immaginario, quindi la tensione ai capi del condensatore vale:

 

che vale in modulo:

 

nei tre casi vale: a)  , b)   e c)  

9. Circuito risonante con 2 CModifica

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L'impedenza totale della maglia utilizzando l'algebra dei numeri complessi:

 

dove:

 
 

quando siamo in bassa frequenza:

 
 

Quindi la parte reale è costante.

Mentre quella immaginaria:

 

diverge a bassa frequenza essendo nel nostro caso:

 

Ad alta frequenza invece:

 
 

mentre la parte immaginaria:

 

è composto da una induttanza   ed una capacità equivalente:

 

a)

Quindi la pulsazione di risonanza:

 

la frequenza di risonanza:

 

b)

A tale frequenza la parte immaginaria si annulla quindi rimane solo la parte reale:

 

c)

Il fattore di merito vale:

 

10. Trasformatore con caricoModifica

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Il circuito equivalente è mostrato in figura. Quindi l'impedenza vista dal generatore è:

 

Razionalizzando:

 

Quindi la parte immaginaria vale:

 

e quella reale:

 

Lo sfasamento vale:

 

Mentre:

 

Quindi essendo:

 

La potenza vale:

 

nei due casi (sostituendo i dati numerici):

 
 

11. Luce da palcoscenicoModifica

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a)

L'ampiezza della corrente vale:

 

Se   la potenza dissipata è semplicemente:

 

quindi:

 

b)

Mentre se  :

 
 

mentre lo sfasamento tra corrente e tensione vale:

 

quindi:

 

12. Circuito RCModifica

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L'equazione della maglia con il metodo simbolico è:

 

Dall'algebra dei numeri complessi:

 
 
 

Quindi:

 

Quindi la potenza media fornita dal generatore vale:

 

13. Circuito risonante paralleloModifica

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a)

La pulsazione   è piccola essendo   e  , per cui il parallelo è praticamente la sola resistenza   e quindi la corrente vale:

 

b)

La pulsazione   è grande essendo   e  , per cui il parallelo è l'impedenza della sola capacità che molto piccola, quindi la caduta di potenziale è solo ai capi di   ed è:

 

c)

Usando il metodo simbolico, l'impedenza totale vista dal generatore è:

 

Razionalizzando la frazione:

 

Annullando il numeratore della parte immaginaria:

 
 

d)

 

14. Circuito risonante oscillanteModifica

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Le condizioni iniziali del problema sono:   e  .

Mentre l'equazione della maglia è:

 

Essendo:   si può anche scrivere:

 

La soluzione generica di una equazione differenziale di questo genere è la combinazione lineare di due soluzioni esponenziali, infatti sostituendo a   una generica   si ha che la equazione differenziale diventa equivalente a :

 

Che quindi diventa una equazione di II grado in  :

 

le cui soluzioni sono:

 
 

Le due soluzioni non sono reali in quanto:

 

quindi se definiamo:   (cioè  ) e   La soluzione generale è:

 

Si definisce pseudoperiodo   e quindi:

 

b)

La corrente è data da:

 
 

Chiaramente il seno ha un massimo quando   cioè per  :

 

c)

L'energia iniziale vale:

 

Mentre l'energia immagazzinata nella induttanza dopo   vale:

 

Quindi la variazione percentuale vale:

 

In realtà al tempo   vi è della carica nella capacità:

 

Quindi vi anche una energia immagazzinata:

 

trascurabile rispetto a quella nella induttanza.

15. Circuito RLC smorzatoModifica

→ Vai alla traccia

Le condizioni iniziali del problema sono:   e  .

Mentre l'equazione della maglia è:

 

Essendo:   si può anche scrivere:

 

La soluzione generica di una equazione differenziale di questo genere è la combinazione lineare di due soluzioni esponenziali, infatti sostituendo a   una generica   si ha che la equazione differenziale diventa equivalente a :

 

Che quindi diventa una equazione di II grado in  :

 

le cui soluzioni sono:

 
 

Le due soluzioni sono reali in quanto:

 

Detti   e   La carica nel tempo vale:

 

Mentre la corrente:

 

Imponendo le condizioni iniziali:

 
 

segue che:

 
 

a)

Quindi:

 

b)

 

c)

L'energia iniziale vale:

 

Dopo   nel condensatore vi è:

 

Mentre l'energia immagazzinata nella induttanza è trascurabile:

 

Quindi la variazione percentuale vale: