Esercizi di fisica con soluzioni/Cinematica


EserciziModifica

1. Fascio catodicoModifica

In un tubo a raggi catodici di un televisore gli elettroni attraversano una regione con moto rettilineo, sottoposti ad una accelerazione costante. Sapendo che la regione è lunga   e che gli elettroni entrano nella regione con velocità   ed escono con velocità  .

Determinare: Il valore dell'accelerazione a cui sono sottoposti gli elettroni ed il tempo di attraversamento della regione stessa.

(dati del problema  ,  ,  )

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2. AutomobileModifica

Un'auto parte da ferma con accelerazione uguale a 4 m/s². Si determini quanto tempo impiega a raggiungere la velocità di 120 km/h e quanto spazio percorre durante la fase di accelerazione.

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3. TrenoModifica

Un treno parte da una stazione e si muove con accelerazione costante. Passato un certo tempo dalla partenza la sua velocità è divenuta  , a questo punto percorre un tratto   e la velocità diventa  .

Determinare accelerazione, tempo per percorre il tratto   e la distanza percorsa dalla stazione al punto in cui la velocità è  .

(dati del problema  ,  ,  )


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4. RallyModifica

In un tratto speciale di un rally automobilistico un pilota deve percorrere nel tempo minimo un tratto  , partendo e arrivando da fermo. Le caratteristiche dell'auto sono tali che l'accelerazione massima vale  , mentre in frenata la decelerazione massima vale  . Supponendo che il moto sia rettilineo, determinare il rapporto tra il tempo di accelerazione e di decelerazione, e la velocità massima raggiunta.


(dati del problema  ,  ,  )


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5. Moto armonico sempliceModifica

Una particella vibra di moto armonico semplice con ampiezza  , attorno all'origine, e la sua accelerazione all'estremo della traiettoria vale  . All'istante iniziale passa per il centro.

Determinare: La velocità quando passa per il centro ed il periodo del moto.

(Dati:  ,  )


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6. Caduta con attrito viscosoModifica

Un oggetto viene lasciato cadere, da fermo ad una quota  , sotto l'azione combinata della accelerazione di gravità e di una decelerazione proporzionale alla velocità (dovuta all'attrito viscoso) secondo la legge  . La velocità di regime vale  . Determinare: a)Dopo quanto tempo la decelerazione dovuta all'attrito viscoso vale 0.9 della accelerazione di gravità (ovviamente con segno opposto); b) a quale quota si trova nel caso a); c) il tempo approssimativo di caduta (la formula esatta è non ottenibile semplicemente)

(dati del problema  ,  )


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7. Moto parabolicoModifica

Le equazioni parametriche di un punto materiale sono

 

 

Determinare l'equazione della traiettoria e la velocità in modulo al tempo  

(dati del problema  ,  ,  ,  ).


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8. Moto circolare non uniformeModifica

Un punto materiale si muove su un'orbita circolare, orizzontale di raggio   e la sua velocità angolare segue la legge:

 

Determinare: a) il modulo dell'accelerazione quando  ; b) il tempo necessario a fare un giro a partire dall'istante iniziale.

(dati del problema  ,  ,  )


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9. Palla in altoModifica

Una palla viene lanciata verso l'alto con velocità iniziale  ; dopo un tempo   passa di fronte ad un ragazzo ad altezza   dal suolo e continua a salire verso l'alto. Determinare: a) velocità iniziale  ; b) La quota massima  .

(dati del problema  ,  )


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10. Macchina in frenataModifica

Per fermare un'auto, passa prima di tutto un certo tempo di reazione per dare inizio alla frenata, poi vi è un tempo di frenata fino all'arresto. Nel lasso di tempo di reazione, si può assumere che la velocità si mantenga costante. A parità di accelerazione di frenata e tempo di reazione partendo da una velocità   la macchina frena in  , mentre ad una velocità di regime di   frena in  .

Determinare: a) La decelerazione; b) il tempo di reazione del guidatore

(dati del problema  ,  ,  ,  , il moto dopo il tempo di reazione è un moto accelerato uniforme)


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11. Ampiezza moto armonicoModifica

Una particella vibra di moto armonico semplice attorno all'origine. All'istante iniziale si trova in   e la sua velocità vale   ed il periodo vale  . Determinare il massimo allontanamento dalla posizione di equilibrio e dopo quanto tempo dall'istante iniziale la velocità si è annullata.

(Dati:  ,  ,  )


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12. Moto ellitticoModifica

Le equazioni parametriche di un punto materiale, che descrive una ellisse intorno all'origine, sono:

 

Determinare, quando si è fatto un quarto di giro a partire dall'istante iniziale, quale sia la distanza dal centro, la velocità e l'accelerazione in modulo del punto materiale.

(dati del problema  ,  ,  ).

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13. Moto a spiraleModifica

Le equazioni parametriche di un punto materiale che descrive una curva a spirale con partenza nell'origine, di un sistema di riferimento  , sono:

 
 

Determinare: a) la distanza del punto materiale dal centro dopo un giro; b) la sua velocità in modulo dopo mezzo giro; c) la sua accelerazione in modulo dopo un giro; d) la sua accelerazione tangenziale dopo un giro.

(dati del problema  ,  )

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14. Altezza di un pozzoModifica

Determinare la profondità di un pozzo sapendo che il tempo tra l'istante in cui si lascia cadere un sasso, senza velocità iniziale, e quello in cui si ode il rumore, in conseguenza dell'urto del sasso con il fondo del pozzo, è  . Si trascuri la resistenza dell'aria e si assuma che la velocità del suono sia  .

(dati del problema  ,   )

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15. Moto con accelerazione frenanteModifica

Un punto materiale all'istante iniziale ha una velocità   e subisce una decelerazione nella direzione del moto proporzionale alla velocità istantanea secondo la legge   e si ferma dopo avere percorso   metri. Determinare: a) l'equazione del moto e lo spazio percorso dopo  ; b) la velocità quando ha percorso  .

(dati del problema  ,  ,   )

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16. Auto e CamionModifica

Nel momento in cui un semaforo volge al verde, un'auto parte con accelerazione costante  . Nello stesso istante un camion che viaggia a velocità costante   sorpassa l'auto. a) A quale distanza oltre il semaforo l'auto sorpasserà il camion? b) Quale sarà la velocità dell'auto nel momento del sorpasso?

(dati del problema  ,  )

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17. Collina semisfericaModifica

Una persona in piedi sul culmine di una roccia semisferica di raggio   colpisce con un calcio un pallone impremendogli una velocità iniziale   (tangente al culmine della roccia).

a) Quale deve essere la minima velocità iniziale del pallone affinché esso non colpisca mai la roccia? b) Con questo modulo della velocità iniziale e a quale distanza dalla base della semisfera il pallone colpirà il suolo?

(dati del problema  , suggerimento il requisito di non toccare è più stringente all'inizio della traiettoria)

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18. ProiettileModifica

Un proiettile attraversa una lastra di legno di spessore  . La velocità del proiettile prima di entrare nella lastra vale  , mentre all'uscita vale  . Immaginando la accelerazione costante all'interno della lastra, determinare a) il valore di tale accelerazione e il tempo di attraversamento; b) calcolare che spessore sarebbe necessario per fermare la pallottola se l'accelerazione rimanesse costante.

(dati del problema  ,  ,  )

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19. Moto viscosoModifica

Un punto materiale all'istante iniziale ha una velocità   e subisce una decelerazione nella direzione del moto proporzionale alla velocità istantanea secondo la legge   e si ferma dopo avere percorso   metri.

Determinare: a) l'equazione del moto e lo spazio percorso dopo  ; b) la velocità quando ha percorso  .

(dati del problema  ,  ,   )

→ Vai alla soluzione

 
Due punti materiali uno in salita e l'altro in caduta libera

20. Punti materiali in verticaleModifica

Due punti materiali A e B sono disposti sulla stessa verticale, A sul pavimento e B sul soffitto, come mostrato in figura. All’istante  , A viene lanciato verso l’alto con velocità iniziale  , mentre B viene lasciato cadere partendo da fermo. Considerando che la distanza pavimento-soffitto è  , si determini la condizione su  , in funzione di  , affinché i due punti materiali si incontrino mentre A è ancora in fase ascendente

→ Vai alla soluzione

.

.

SoluzioniModifica

1. Fascio catodicoModifica

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L'equazioni del moto dopo avere attraversato la regione, detto   il tempo incognito, è:

 

Mentre la velocità diviene:

 

Sono due equazioni in due incognite   e  , sostituendo   ricavabile dalla seconda equazione nella prima si ha:

 

Da cui:

 

e quindi

 

2. AutomobileModifica

→ Vai alla traccia

Troviamo per prima cosa la velocità espressa in  :  

Poiché il moto è uniformemente accelerato la velocità è regolata dalla legge  .

  vale   poiché l'auto parte da ferma, si ricava quindi  

Inoltre per un moto uniformemente accelerato la legge del moto è  .

Fissiamo il punto   come punto di partenza dell'auto e calcoliamo lo spazio percorso in un tempo  .

 

3. TrenoModifica

→ Vai alla traccia

Assunta come origine delle coordinate spaziali la stazione e del tempo l'istante di partenza. L'equazioni del moto sono:

 
 

Dai dati del problema:

 
 

da cui:

 
 

Imponendo che:

 
 

Il tempo per fare il tratto  :

 

La distanza dalla stazione di partenza:

 
 

4. RallyModifica

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Definisco   il tempo di accelerazione e   quello di decelerazione:

 

da cui:

 

Imponendo che lo spazio percorso sia  :

 
 
 
 
 
 
 

5. Moto armonico sempliceModifica

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Dai dati del problema:

 
 

Quindi:

 

Quindi nella posizione centrale:

 
 

6. Caduta con attrito viscosoModifica

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a)

Da dati del problema (notare che   è negativo se g è diretto verso il basso):

 

Quindi:

 

Se chiamiamo   il tempo per cui;   Ma essendo:

 

segue che:

 

Cioè:

 
 

b)

 

c)

Il termine esponenziale nell'espressione ha un valore trascurabile per cui:

 

Cioè il termine esponenziale è trascurabile.

 

Notare che il valore esatto (tenendo conto del termine esponenziale e risolvendo in maniera numerica per approssimazioni successive) vale:

 

7. Moto parabolicoModifica

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Eliminando il tempo tra le due equazioni:

 

cioè l'equazione di una parabola.

Derivando rispetto al tempo l'equazioni parametriche:

 
 

quindi il modulo della velocità:

 

che per  :

 

8. Moto circolare non uniformeModifica

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a)

 
 

quindi in modulo:

 

b)

Dai dati del problema essendo:

 
 

Imponendo che:

 
 

9. Palla in altoModifica

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L'equazione del moto è:

 

Essendo   per  :

 
 

La massima altezza viene raggiunta quando  :

 
 

Ad una altezza di:

 

10. Macchina in frenataModifica

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Nel caso generale: la velocità iniziale è  ,   il tempo di reazione,   il tempo di frenata,   lo spazio di frenata, possiamo scrivere che:

 

Ma nel nostro caso specifico sostituendo nell'equazione del moto i dati del problema:

 
 

Da cui ricavo   e   di frenata.

Nel nostro caso specifico:

 
 

Risolvendo il sistema nelle due incognite   e  :

a)

 

b)

 

11. Ampiezza moto armonicoModifica

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La pulsazione del moto vale:

 

Mentre posso scrivere in generale che:

 

ed:

 

Dalle condizioni iniziali:

 
 

Facendo il rapporto:

 
 

La massima elongazione vale:

 

Mentre la velocità si annulla quando a partire dall'istante iniziale:

 
 

12. Moto ellitticoModifica

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Per compiere un quarto di giro occorre che:

 

essendo:

 
 

ed

 
 

dopo 1/4 di giro si ha che   e   quindi:

 
 
 

e

 
 
 

e

 
 
 

13. Moto a spiraleModifica

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a)


Per fare un giro impiega un tempo pari a:

 

quindi la distanza dal centro dopo un giro è:

 

b)

Le componenti della velocità sono:

 
 

Per fare mezzo giro impiega un tempo pari a:

 

Dopo mezzo giro:

 

Quindi

 

c)


La accelerazione ha componenti:

 
 

Dopo un giro:

 
 

In modulo:

 

d)

Il versore tangenziale dopo un giro è diretto come la velocità:

 
 
 
 
 

La componente centripeta è prevalente e vale (mettiamo il segno meno per indicare che è diretta verso il centro):

 


14. Altezza di un pozzoModifica

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Indico con   l'altezza del pozzo, con   il tempo impiegato dal sasso a raggiungere il fondo e con   il tempo impiegato dal suono a risalire il pozzo. Si ha:

 
 

Calcolo la profondità del pozzo in base all'equazione del moto del suono (moto rettilineo uniforme):

 

Calcolo la profondità del pozzo in base all'equazione del moto del sasso (moto uniforme accelerato):

 

Eguagliando le due equazioni trovate, si ha:

 
 

Che ha due soluzioni, l'unica che ha senso fisico è quella positiva (la negativa determina un tempo che precede il lancio):

 

Quindi la profondità del pozzo, sostituendo il valore di  :

 

15. Moto con accelerazione frenanteModifica

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a) Il moto di questo punto materiale può essere considerato un moto rettilineo smorzato esponenzialmente dato che è caratterizzato da una decelerazione che è pari a:

 

la velocità più generale che da tale accelerazione è:

 

Dovendosi fermare per   inoltre essendo per     si ha che:

 
 

Tale equazione integrata diventa:

 

Con:

 

quindi:

 

per  :

 

b)

Dall'equazione precedente

 

Per  :

 

16. Auto e CamionModifica

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L'istante in cui la macchina sorpassa il camion è quando:

 
 

a)

quindi la distanza è:

 

b)

La velocità dell'auto in quel momento vale:

 

17. Collina semisfericaModifica

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Detto   l'asse verticale e   quello orizzontale, le equazioni del moto sono:

 
 

a)

Quindi la traiettoria parabolica (eliminando il tempo) è descritta dalla equazione:

 

Mentre l'equazione della semisfera vale:

 

perché non tocchi mai occorre che:

 

Cioè:

 
 

Per   (inizio parabola) il primo termine diviene trascurabile,

 

per cui la minima velocità vale:

 

Allo stesso risultato si arrivava imponendo che sul culmine della parabola l'unica accelerazione era quella centripeta causata dalla accelerazione di gravità: per cui si ottiene il raggio di curvatura (minimo) della parabola.

b)

Il punto in cui tocca terra è quello per cui:

 
 

Quindi la distanza dalla base vale:

 

18. ProiettileModifica

→ Vai alla traccia

L'equazioni del moto dopo avere attraversato la regione, detto   il tempo incognito, sono:

 
 

Sono due equazioni in due incognite   e  , da cui segue:

a)

 

e quindi:

 
 

b)

La pallottola si arresta per un tempo   tale che:

 
 

Lo spessore che arresterebbe la pallottola vale quindi:

 

19. Moto viscosoModifica

→ Vai alla traccia

a) Il moto di questo punto materiale può essere considerato un moto rettilineo smorzato esponenzialmente dato che è caratterizzato da una decelerazione che è pari a:

 

Da tale espressione dell'accelerazione segue che:

 

La costante di integrazione segue dal fatto che si deve fermare per  . Inoltre poiché   si ha che:

 

Quindi l'espressione delle velocità nel tempo vale;

 

Integrando tale equazione si ha la equazione del moto:

 

Imponendo che la sua derivata nel tempo sia pari a:

 

si ha che:

 

quindi al tempo  :

 

b)

Dall'equazione precedente

 

Per  :

 

20. Punti materiali in verticaleModifica

→ Vai alla traccia

Conviene definire un sistema di riferimento con un asse verticale y, avente origine in corrispondenza del pavimento. Le leggi orarie per le posizioni di A e B in tale sistema di riferimento sono:

 
 

Al momento dell'urto   si ha che  . Da cui:

 

ovvero si pone un vincolo al tempo dell’incontro, che in particolare è pari al tempo che impiegherebbe A per coprire la distanza   se si muovesse con moto uniforme a velocità  . L’incontro avviene con A in fase ascendente se la sua velocità al tempo   è ancora positiva. Nel sistema di riferimento scelto, velocità negative di A indicherebbero infatti un moto discendente. Imponendo questa condizione nella legge oraria della velocità di A al tempo  :

 

Sostituendo l'espressione di   nell'ultima equazione si trova la condizione richiesta nel problema: