1. Fascio catodico Modifica In un tubo a raggi catodici di un televisore gli elettroni attraversano una regione con moto rettilineo, sottoposti ad una accelerazione costante. Sapendo che la regione è lunga
d
{\displaystyle d\ }
v
1
{\displaystyle v_{1}\ }
v
2
{\displaystyle v_{2}\ }
Determinare: Il valore dell'accelerazione a cui sono sottoposti gli elettroni ed il tempo di attraversamento della regione stessa.
(dati del problema
d
=
5
c
m
{\displaystyle d=5\ cm\ }
v
2
=
9
⋅
10
6
m
/
s
{\displaystyle v_{2}=9\cdot 10^{6}\ m/s\ }
v
1
=
2
⋅
10
4
m
/
s
{\displaystyle v_{1}=2\cdot 10^{4}\ m/s\ }
→ Vai alla soluzione
Un'auto parte da ferma con accelerazione uguale a 4 m/s².
Si determini quanto tempo impiega a raggiungere la velocità di 120 km/h e quanto spazio percorre durante la fase di accelerazione.
→ Vai alla soluzione
Un treno parte da una stazione e si muove con accelerazione costante. Passato un certo tempo dalla partenza la sua velocità è divenuta
v
1
{\displaystyle v_{1}\ }
d
{\displaystyle d\ }
v
2
{\displaystyle v_{2}\ }
Determinare accelerazione, tempo per percorre il tratto
d
{\displaystyle d\ }
v
1
{\displaystyle v_{1}\ }
(dati del problema
d
=
160
m
{\displaystyle d=160\ m\ }
v
1
=
33
m
/
s
{\displaystyle v_{1}=33\ m/s\ }
v
2
=
40
m
/
s
{\displaystyle v_{2}=40\ m/s\ }
→ Vai alla soluzione
In un tratto speciale di un rally automobilistico un pilota deve percorrere nel tempo minimo un tratto
d
{\displaystyle d\ }
a
m
a
x
{\displaystyle a_{max}\ }
a
m
i
n
{\displaystyle a_{min}\ }
d
=
500
m
{\displaystyle d=500\ m\ }
a
m
a
x
=
2
m
/
s
2
{\displaystyle a_{max}=2\ m/s^{2}\ }
a
m
i
n
=
−
3
m
/
s
2
{\displaystyle a_{min}=-3\ m/s^{2}\ }
→ Vai alla soluzione
5. Moto armonico semplice Modifica Una particella vibra di moto armonico semplice con ampiezza
x
0
{\displaystyle x_{0}\ }
a
0
{\displaystyle a_{0}\ }
Determinare: La velocità quando passa per il centro ed il periodo del moto.
(Dati:
x
0
=
2
m
m
{\displaystyle x_{0}=2\ mm}
a
0
=
8
×
10
3
m
/
s
2
{\displaystyle a_{0}=8\times 10^{3}\ m/s^{2}}
→ Vai alla soluzione
Due punti materiali uno in salita e l'altro in caduta libera 6. Punti materiali in verticale Modifica Due punti materiali A e B sono disposti sulla stessa verticale, A sul pavimento e B sul soffitto, come mostrato in figura. All’istante
t
=
0
{\displaystyle t=0\ }
v
O
A
{\displaystyle v_{OA}\ }
h
{\displaystyle h\ }
v
O
A
{\displaystyle v_{OA}\ }
h
{\displaystyle h\ }
→ Vai alla soluzione
7. Moto parabolico Modifica Le equazioni parametriche di un punto materiale sono
x
=
a
+
b
t
{\displaystyle x=a+bt\ }
y
=
c
t
2
{\displaystyle y=ct^{2}\ }
Determinare l'equazione della traiettoria e la velocità in modulo al tempo
t
1
{\displaystyle t_{1}\ }
(dati del problema
t
1
=
7
s
{\displaystyle t_{1}=7\ s}
a
=
0.02
m
{\displaystyle a=0.02\ m}
b
=
30
m
/
s
{\displaystyle b=30\ m/s}
c
=
3
m
/
s
2
{\displaystyle c=3\ m/s^{2}}
→ Vai alla soluzione
8. Moto circolare non uniforme Modifica Un punto materiale si muove su un'orbita circolare, orizzontale di raggio
R
{\displaystyle R\ }
ω
(
t
)
=
A
t
{\displaystyle \omega (t)=A{\sqrt {t}}\ }
Determinare: a) il modulo dell'accelerazione quando
t
=
t
1
{\displaystyle t=t_{1}}
(dati del problema
A
=
2
r
a
d
s
−
3
/
2
{\displaystyle A=2\ rad\ s^{-3/2}\ }
t
1
=
0.4
s
{\displaystyle t_{1}=0.4\ s}
R
=
10
m
{\displaystyle R=10\ m}
→ Vai alla soluzione
Una palla viene lanciata verso l'alto con velocità iniziale
v
0
{\displaystyle v_{0}\ }
t
1
{\displaystyle t_{1}\ }
h
1
{\displaystyle h_{1}\ }
v
0
{\displaystyle v_{0}\ }
h
2
{\displaystyle h_{2}\ }
(dati del problema
t
1
=
0.4
s
{\displaystyle t_{1}=0.4\ s}
h
1
=
4
m
{\displaystyle h_{1}=4\ m}
→ Vai alla soluzione
10. Macchina in frenata Modifica Per fermare un'auto, passa prima di tutto un certo tempo di reazione per dare inizio alla frenata, poi vi è un tempo di frenata fino all'arresto. Nel lasso di tempo di reazione, si può assumere che la velocità si mantenga costante. A parità di accelerazione di frenata e tempo di reazione partendo da una velocità
v
1
{\displaystyle v_{1}\ }
d
1
{\displaystyle d_{1}\ }
v
2
{\displaystyle v_{2}\ }
d
2
{\displaystyle d_{2}\ }
Determinare: a) La decelerazione; b) il tempo di reazione del guidatore
(dati del problema
d
1
=
57
m
{\displaystyle d_{1}=57\ m}
v
1
=
80
k
m
/
h
{\displaystyle v_{1}=80\ km/h}
v
2
=
52
k
m
/
h
{\displaystyle v_{2}=52\ km/h}
d
2
=
25
m
{\displaystyle d_{2}=25\ m}
→ Vai alla soluzione
11. Ampiezza moto armonico Modifica Una particella vibra di moto armonico semplice attorno all'origine. All'istante iniziale si trova in
x
1
{\displaystyle x_{1}\ }
v
1
{\displaystyle v_{1}\ }
T
{\displaystyle T\ }
(Dati:
x
1
=
20
c
m
{\displaystyle x_{1}=20\ cm}
v
1
=
0.3
m
/
s
{\displaystyle v_{1}=0.3\ m/s}
T
=
3
s
{\displaystyle T=3\ s}
→ Vai alla soluzione
12. Moto ellittico Modifica Le equazioni parametriche di un punto materiale, che descrive una ellisse intorno all'origine, sono:
x
=
a
sin
ω
t
y
=
b
cos
ω
t
{\displaystyle x=a\sin \omega t\qquad y=b\cos \omega t}
Determinare, quando si è fatto un quarto di giro a partire dall'istante iniziale, quale sia la distanza dal centro, la velocità e l'accelerazione in modulo del punto materiale.
(dati del problema
a
=
2
m
{\displaystyle a=2\ m}
b
=
3
m
{\displaystyle b=3\ m}
ω
=
0.2
r
a
d
/
s
{\displaystyle \omega =0.2\ rad/s}
→ Vai alla soluzione
13. Moto a spirale Modifica Le equazioni parametriche di un punto materiale che descrive una curva a spirale con partenza nell'origine, di un sistema di riferimento
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)\ }
x
=
A
t
sin
ω
t
{\displaystyle x=At\sin \omega t\ }
y
=
A
t
cos
ω
t
{\displaystyle y=At\cos \omega t\ }
Determinare: a) la distanza del punto materiale dal centro dopo un giro; b) la sua velocità in modulo dopo mezzo giro; c) la sua accelerazione in modulo dopo un giro; d) la sua accelerazione tangenziale dopo un giro.
(dati del problema
A
=
0.15
m
/
s
{\displaystyle A=0.15\ m/s}
ω
=
1.2
r
a
d
/
s
{\displaystyle \omega =1.2\ rad/s\ }
→ Vai alla soluzione
14. Altezza di un pozzo Modifica Determinare la profondità di un pozzo sapendo che il tempo tra l'istante in cui si lascia cadere un sasso, senza velocità iniziale, e quello in cui si ode il rumore, in conseguenza dell'urto del sasso con il fondo del pozzo, è
Δ
t
{\displaystyle \Delta t\ }
v
s
{\displaystyle v_{s}\ }
(dati del problema
Δ
t
=
4.8
s
{\displaystyle \Delta t=4.8\ s\ }
v
s
=
340
m
/
s
{\displaystyle v_{s}=340\ m/s\ }
→ Vai alla soluzione
15. Moto con accelerazione frenante Modifica Un punto materiale all'istante iniziale ha una velocità
v
o
{\displaystyle v_{o}\ }
b
⋅
v
{\displaystyle b\cdot v\ }
c
{\displaystyle c\ }
t
1
{\displaystyle t_{1}\ }
c
/
2
{\displaystyle c/2\ }
(dati del problema
v
o
=
3
m
/
s
{\displaystyle v_{o}=3\ m/s\ }
c
=
150
m
{\displaystyle c=150\ m\ }
t
1
=
10
s
{\displaystyle t_{1}=10\ s\ }
→ Vai alla soluzione
16. Auto e Camion Modifica Nel momento in cui un semaforo volge al verde, un'auto parte con accelerazione costante
a
{\displaystyle a\ }
v
c
{\displaystyle v_{c}\ }
(dati del problema
a
=
2.2
m
/
s
2
{\displaystyle a=2.2\ m/s^{2}\ }
v
c
=
34
k
m
/
h
{\displaystyle v_{c}=34\ km/h\ }
→ Vai alla soluzione
17. Collina semisferica Modifica Una persona in piedi sul culmine di una roccia semisferica di raggio
R
{\displaystyle R\ }
v
1
{\displaystyle v_{1}\ }
a) Quale deve essere la minima velocità iniziale del pallone affinché esso non colpisca mai la roccia? b) Con questo modulo della velocità iniziale, a quale distanza dalla base della semisfera il pallone colpirà il suolo?
(dati del problema
R
=
10
m
{\displaystyle R=10\ m\ }
→ Vai alla soluzione
Un proiettile attraversa una lastra di legno di spessore
d
{\displaystyle d\ }
v
1
{\displaystyle v_{1}\ }
v
2
{\displaystyle v_{2}\ }
(dati del problema
v
1
=
720
k
m
/
h
{\displaystyle v_{1}=720\ km/h\ }
v
2
=
216
k
m
/
h
{\displaystyle v_{2}=216\ km/h\ }
d
=
3
c
m
{\displaystyle d=3\ cm\ }
→ Vai alla soluzione
1. Fascio catodico Modifica → Vai alla traccia
L'equazioni del moto dopo avere attraversato la regione, detto
t
x
{\displaystyle t_{x}\ }
d
=
1
2
a
t
x
2
+
v
1
t
x
{\displaystyle d={\frac {1}{2}}at_{x}^{2}+v_{1}t_{x}\ }
Mentre la velocità diviene:
v
2
=
a
t
x
+
v
1
{\displaystyle v_{2}=at_{x}+v_{1}\ }
Sono due equazioni in due incognite
a
{\displaystyle a\ }
t
x
{\displaystyle t_{x}\ }
t
x
{\displaystyle t_{x}\ }
d
=
1
2
(
v
2
−
v
1
)
2
a
+
v
1
v
2
−
v
1
a
{\displaystyle d={\frac {1}{2}}{\frac {(v_{2}-v_{1})^{2}}{a}}+v_{1}{\frac {v_{2}-v_{1}}{a}}\ }
Da cui:
a
=
1
2
d
(
v
2
2
−
v
1
2
)
=
8.1
⋅
10
14
m
/
s
2
{\displaystyle a={\frac {1}{2d}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=8.1\cdot 10^{14}\ m/s^{2}\ }
e quindi
t
x
=
v
2
−
v
1
a
=
11
×
10
−
9
=
11
n
s
{\displaystyle t_{x}={\frac {v_{2}-v_{1}}{a}}=11\times 10^{-9}=11\ ns\ }
→ Vai alla traccia
Troviamo per prima cosa la velocità espressa in
m
/
s
{\displaystyle m/s}
120
k
m
/
h
=
33.33
m
/
s
{\displaystyle 120km/h=33.33m/s}
Poiché il moto è uniformemente accelerato la velocità è regolata dalla legge
v
(
t
)
=
v
(
0
)
+
a
t
{\displaystyle v(t)=v(0)+at}
v
(
0
)
{\displaystyle v(0)}
0
{\displaystyle 0}
t
=
v
a
=
8.33
s
{\displaystyle t={\frac {v}{a}}\ =8.33\ s\ }
Inoltre per un moto uniformemente accelerato la legge del moto è
s
(
t
)
=
s
(
0
)
+
v
(
0
)
t
+
1
/
2
a
t
2
{\displaystyle s(t)=s(0)+v(0)t+1/2at^{2}}
Fissiamo il punto
s
(
0
)
=
0
{\displaystyle s(0)=0}
t
=
8.33
s
{\displaystyle t=8.33s}
x
(
t
)
=
1
2
a
t
2
=
139
m
{\displaystyle x(t)={\frac {1}{2}}\ at^{2}=139\ m\ }
→ Vai alla traccia
Assunta come origine delle coordinate spaziali la stazione e del tempo l'istante di partenza.
L'equazioni del moto sono:
x
=
1
2
a
t
2
{\displaystyle x={\frac {1}{2}}at^{2}\ }
v
=
a
t
{\displaystyle v=at\ }
Dai dati del problema:
v
1
=
a
t
1
{\displaystyle v_{1}=at_{1}\ }
v
2
=
a
t
2
{\displaystyle v_{2}=at_{2}\ }
da cui:
t
1
=
v
1
a
{\displaystyle t_{1}={\frac {v_{1}}{a}}\ }
t
2
=
v
2
a
{\displaystyle t_{2}={\frac {v_{2}}{a}}\ }
Imponendo che:
d
=
1
2
a
t
2
2
−
1
2
a
t
1
2
=
1
2
a
(
v
2
2
−
v
1
2
)
{\displaystyle d={\frac {1}{2}}at_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}at_{1}^{2}={\frac {1}{2a}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})\ }
a
=
1
2
d
(
v
2
2
−
v
1
2
)
=
1.6
m
/
s
2
{\displaystyle a={\frac {1}{2d}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=1.6\ m/s^{2}\ }
Il tempo per fare il tratto
d
{\displaystyle d\ }
t
=
t
2
−
t
1
=
v
2
a
−
v
1
a
=
4.4
s
{\displaystyle t=t_{2}-t_{1}={\frac {v_{2}}{a}}-{\frac {v_{1}}{a}}=4.4\ s\ }
La distanza dalla stazione di partenza:
t
1
=
20.7
s
{\displaystyle t_{1}=20.7\ s\ }
d
1
=
1
2
a
t
1
2
=
341
m
{\displaystyle d_{1}={\frac {1}{2}}at_{1}^{2}=341\ m\ }
→ Vai alla traccia
Perché il tempo di percorrenza sia il minimo deve essere un moto accelerato fino alla massima velocità e poi decelerato fino a fermarsi: non si deve avere una velocità costante. Quindi è un moto accelerato e decelerato.
Definisco
t
1
{\displaystyle t_{1}\ }
t
2
{\displaystyle t_{2}\ }
v
m
a
x
=
a
m
a
x
t
1
=
−
a
m
i
n
t
2
{\displaystyle v_{max}=a_{max}t_{1}=-a_{min}t_{2}\ }
da cui:
R
=
t
1
t
2
=
−
a
m
i
n
a
m
a
x
=
1.5
{\displaystyle R={\frac {t_{1}}{t_{2}}}=-{\frac {a_{min}}{a_{max}}}=1.5\ }
Imponendo che lo spazio percorso sia
d
{\displaystyle d\ }
1
2
a
m
a
x
t
1
2
+
v
m
a
x
t
2
+
1
2
a
m
i
n
t
2
2
=
d
{\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{max}t_{1}^{2}+v_{max}t_{2}+{\frac {1}{2}}a_{min}t_{2}^{2}=d\ }
1
2
a
m
a
x
R
2
t
2
2
−
a
m
i
n
t
2
2
+
1
2
a
m
i
n
t
2
2
=
d
{\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{max}R^{2}t_{2}^{2}-a_{min}t_{2}^{2}+{\frac {1}{2}}a_{min}t_{2}^{2}=d\ }
1
2
t
2
2
(
R
2
a
m
a
x
−
a
m
i
n
)
=
d
{\displaystyle {\frac {1}{2}}t_{2}^{2}(R^{2}a_{max}-a_{min})=d\ }
t
2
2
=
2
d
R
2
a
m
a
x
−
a
m
i
n
{\displaystyle t_{2}^{2}={\frac {2d}{R^{2}a_{max}-a_{min}}}\ }
t
2
=
2
d
R
2
a
m
a
x
−
a
m
i
n
=
11.55
s
{\displaystyle t_{2}={\sqrt {\frac {2d}{R^{2}a_{max}-a_{min}}}}=11.55\ s\ }
t
1
=
R
t
2
=
17.32
s
{\displaystyle t_{1}=Rt_{2}=17.32\ s\ }
v
m
a
x
=
a
m
a
x
t
1
=
34.64
m
/
s
=
124.56
k
m
/
h
{\displaystyle v_{max}=a_{max}t_{1}=34.64\ m/s=124.56\ km/h\ }
5. Moto armonico semplice Modifica → Vai alla traccia
Dai dati del problema:
x
=
x
0
sin
(
ω
t
)
{\displaystyle x=x_{0}\sin(\omega t)\ }
v
=
x
0
ω
cos
(
ω
t
)
{\displaystyle v=x_{0}\omega \cos(\omega t)\ }
a
=
−
x
0
ω
2
sin
(
ω
t
)
{\displaystyle a=-x_{0}\omega ^{2}\sin(\omega t)\ }
Quindi:
ω
=
a
0
x
0
=
2000
r
a
d
/
s
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {a_{0}}{x_{0}}}}=2000\ rad/s}
Quindi nella posizione centrale:
v
0
=
x
0
ω
=
x
0
a
0
=
4
m
/
s
{\displaystyle v_{0}=x_{0}\omega ={\sqrt {x_{0}a_{0}}}=4\ m/s\ }
T
=
2
π
ω
=
2
π
x
0
a
0
=
3.14
×
10
−
3
s
{\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {x_{0}}{a_{0}}}}=3.14\times 10^{-3}\ s\ }
6. Punti materiali in verticale Modifica → Vai alla traccia
Conviene definire un sistema di riferimento con un asse verticale y, avente origine in corrispondenza del pavimento. Le leggi orarie per le posizioni di A e B in tale sistema di riferimento sono:
y
A
(
t
)
=
v
0
A
t
−
1
2
g
t
2
{\displaystyle y_{A}(t)=v_{0A}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}\ }
y
B
(
t
)
=
h
−
1
2
g
t
2
{\displaystyle y_{B}(t)=h-{\frac {1}{2}}gt^{2}\ }
Al momento dell'urto
t
1
{\displaystyle t_{1}\ }
y
A
(
t
1
)
=
y
B
(
t
1
)
{\displaystyle y_{A}(t_{1})=y_{B}(t_{1})\ }
v
0
A
t
1
−
1
2
g
t
1
2
=
h
−
1
2
g
t
1
2
⇒
t
1
=
h
v
0
A
{\displaystyle v_{0A}t_{1}-{\frac {1}{2}}gt_{1}^{2}=h-{\frac {1}{2}}gt_{1}^{2}\Rightarrow t_{1}={\frac {h}{v_{0A}}}\ }
ovvero si pone un vincolo al tempo dell’incontro, che in particolare è pari al tempo che impiegherebbe A per coprire la distanza
h
{\displaystyle h\ }
v
0
A
{\displaystyle v_{0A}\ }
t
1
{\displaystyle t_{1}\ }
t
1
{\displaystyle t_{1}\ }
v
A
(
t
1
)
=
v
0
A
−
g
t
i
≥
0
⇒
v
0
A
≥
g
t
1
{\displaystyle v_{A}(t_{1})=v_{0A}-gt_{i}\geq 0\Rightarrow v_{0A}\geq gt_{1}\ }
Sostituendo l'espressione di
t
1
{\displaystyle t_{1}\ }
v
0
A
≥
g
h
v
0
A
⇒
v
0
A
≥
g
h
{\displaystyle v_{0A}\geq g{\frac {h}{v_{0A}}}\Rightarrow v_{0A}\geq {\sqrt {gh}}\ }
7. Moto parabolico Modifica → Vai alla traccia
Eliminando il tempo tra le due equazioni:
y
=
c
b
2
(
x
−
a
)
2
{\displaystyle y={\frac {c}{b^{2}}}(x-a)^{2}\ }
cioè l'equazione di una parabola.
Derivando rispetto al tempo l'equazioni parametriche:
v
x
=
b
{\displaystyle v_{x}=b\ }
v
y
=
2
c
t
{\displaystyle v_{y}=2ct\ }
quindi il modulo della velocità:
v
(
t
)
=
b
2
+
4
c
2
t
2
{\displaystyle v(t)={\sqrt {b^{2}+4c^{2}t^{2}}}\ }
che per
t
=
t
o
{\displaystyle t=t_{o}\ }
v
(
t
o
)
=
b
2
+
4
c
2
t
o
2
=
51.6
m
/
s
{\displaystyle v(t_{o})={\sqrt {b^{2}+4c^{2}t_{o}^{2}}}=51.6\ m/s\ }
8. Moto circolare non uniforme Modifica → Vai alla traccia
a)
Nel moto circolare non uniforme vi è una accelerazione tangenziale
a
T
=
R
d
ω
d
t
=
1
2
A
R
t
1
=
15.8
m
/
s
2
{\displaystyle a_{T}=R{\frac {d\omega }{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {AR}{\sqrt {t_{1}}}}=15.8\ m/s^{2}}
assieme a quella centripeta (che è pesente anche nel moto circolare uniforme):
a
c
=
ω
2
R
=
A
2
t
R
=
16
m
/
s
2
{\displaystyle a_{c}=\omega ^{2}R=A^{2}tR=16\ m/s^{2}}
quindi in modulo:
|
a
|
=
a
T
2
+
a
c
2
=
22.5
m
/
s
2
{\displaystyle |a|={\sqrt {a_{T}^{2}+a_{c}^{2}}}=22.5\ m/s^{2}}
b)
Dai dati del problema essendo:
ω
=
d
θ
d
t
=
A
t
{\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}=A{\sqrt {t}}}
Che integrata diviene:
θ
=
2
A
3
t
3
/
2
+
θ
o
{\displaystyle \theta ={\frac {2A}{3}}t^{3/2}+\theta _{o}}
Imponendo che:
2
π
=
2
A
3
t
3
/
2
{\displaystyle 2\pi ={\frac {2A}{3}}t^{3/2}\ }
t
=
2.8
s
{\displaystyle t=2.8\ s}
→ Vai alla traccia
L'equazione del moto è:
x
=
v
o
t
−
1
2
g
t
2
{\displaystyle x=v_{o}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}\ }
Essendo
x
=
h
1
{\displaystyle x=h_{1}\ }
t
=
t
1
{\displaystyle t=t_{1}\ }
h
1
=
v
o
t
1
−
1
2
g
t
1
2
{\displaystyle h_{1}=v_{o}t_{1}-{\frac {1}{2}}gt_{1}^{2}\ }
v
o
=
2
h
1
+
g
t
1
2
2
t
1
=
12
m
/
s
{\displaystyle v_{o}={\frac {2h_{1}+gt_{1}^{2}}{2t_{1}}}=12\ m/s}
La massima altezza viene raggiunta quando
v
(
t
2
)
=
0
{\displaystyle v(t_{2})=0\ }
v
o
=
g
t
2
{\displaystyle v_{o}=gt_{2}\ }
t
2
=
1.22
s
{\displaystyle t_{2}=1.22\ s}
Ad una altezza di:
h
2
=
v
o
t
2
−
1
2
g
t
2
2
=
7.3
m
{\displaystyle h_{2}=v_{o}t_{2}-{\frac {1}{2}}gt_{2}^{2}=7.3\ m}
10. Macchina in frenata Modifica → Vai alla traccia
Nel caso generale: la velocità iniziale è
v
{\displaystyle v\ }
t
r
{\displaystyle t_{r}\ }
t
{\displaystyle t\ }
d
{\displaystyle d\ }
a
{\displaystyle a\ }
d
=
v
t
r
+
v
t
−
1
2
a
t
2
{\displaystyle d=vt_{r}+vt-{\frac {1}{2}}at^{2}\ }
Posso determinare il tempo di frenata dei due casi, dalla condizione che la velocità si annulli, cioè:
v
1
−
a
t
1
=
0
{\displaystyle v_{1}-at_{1}=0\ }
v
2
−
a
t
2
=
0
{\displaystyle v_{2}-at_{2}=0\ }
Da cui ricavo che
t
1
=
v
1
/
a
{\displaystyle t_{1}=v_{1}/a\ }
t
2
=
v
2
/
a
{\displaystyle t_{2}=v_{2}/a\ }
Dalle equazione dei due moti:
d
1
=
v
1
t
r
+
v
1
t
1
−
1
2
a
t
1
2
=
v
1
t
r
+
v
1
2
2
a
{\displaystyle d_{1}=v_{1}t_{r}+v_{1}t_{1}-{\frac {1}{2}}at_{1}^{2}=v_{1}t_{r}+{\frac {v_{1}^{2}}{2a}}\ }
d
2
=
v
2
t
r
+
v
2
t
2
−
1
2
a
t
2
2
=
v
2
t
r
+
v
2
2
2
a
{\displaystyle d_{2}=v_{2}t_{r}+v_{2}t_{2}-{\frac {1}{2}}at_{2}^{2}=v_{2}t_{r}+{\frac {v_{2}^{2}}{2a}}}
Risolvendo il sistema nelle due incognite
a
{\displaystyle a\ }
t
r
{\displaystyle t_{r}\ }
a)
a
=
1
2
v
1
2
v
2
−
v
1
v
2
2
v
2
d
1
−
v
1
d
2
=
4.66
m
/
s
2
{\displaystyle a={\frac {1}{2}}{\frac {v_{1}^{2}v_{2}-v_{1}v_{2}^{2}}{v_{2}d_{1}-v_{1}d_{2}}}=4.66\ m/s^{2}}
b)
t
r
=
d
2
v
2
−
1
2
v
2
a
=
0.18
s
{\displaystyle t_{r}={\frac {d_{2}}{v_{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {v_{2}}{a}}=0.18\ s}
11. Ampiezza moto armonico Modifica → Vai alla traccia
La pulsazione del moto vale:
ω
=
2
π
T
=
2.1
r
a
d
/
s
{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2.1\ rad/s}
Mentre posso scrivere in generale che:
x
(
t
)
=
x
o
sin
(
ω
t
+
φ
)
{\displaystyle x(t)=x_{o}\sin(\omega t+\varphi )\ }
ed:
v
(
t
)
=
x
o
ω
cos
(
ω
t
+
φ
)
{\displaystyle v(t)=x_{o}\omega \cos(\omega t+\varphi )\ }
Dalle condizioni iniziali:
x
1
=
x
o
sin
(
φ
)
{\displaystyle x_{1}=x_{o}\sin(\varphi )\ }
v
1
=
x
o
ω
cos
(
φ
)
{\displaystyle v_{1}=x_{o}\omega \cos(\varphi )\ }
Facendo il rapporto:
tan
(
φ
)
=
x
1
ω
v
1
{\displaystyle \tan(\varphi )={\frac {x_{1}\omega }{v_{1}}}\ }
φ
=
0.95
r
a
d
=
54
o
{\displaystyle \varphi =0.95\ rad=54^{o}\ }
La massima elongazione vale:
x
o
=
x
1
sin
φ
=
0.25
m
{\displaystyle x_{o}={\frac {x_{1}}{\sin \varphi }}=0.25\ m}
Mentre la velocità si annulla quando a partire dall'istante iniziale:
ω
t
1
+
φ
=
π
2
{\displaystyle \omega t_{1}+\varphi ={\frac {\pi }{2}}\ }
t
1
=
0.3
s
{\displaystyle t_{1}=0.3\ s}
12. Moto ellittico Modifica → Vai alla traccia
Per compiere un quarto di giro occorre che:
ω
t
1
=
π
/
2
{\displaystyle \omega t_{1}=\pi /2\ }
essendo:
v
x
=
a
ω
cos
ω
t
{\displaystyle v_{x}=a\omega \cos \omega t\ }
v
y
=
−
b
ω
sin
ω
t
{\displaystyle v_{y}=-b\omega \sin \omega t\ }
ed
a
x
=
−
a
ω
2
sin
ω
t
{\displaystyle a_{x}=-a\omega ^{2}\sin \omega t\ }
a
y
=
−
b
ω
2
cos
ω
t
{\displaystyle a_{y}=-b\omega ^{2}\cos \omega t\ }
dopo 1/4 di giro si ha che
sin
ω
t
1
=
1
{\displaystyle \sin \omega t_{1}=1\ }
cos
ω
t
1
=
0
{\displaystyle \cos \omega t_{1}=0\ }
x
(
t
1
)
=
a
{\displaystyle x(t_{1})=a\ }
y
(
t
1
)
=
0
{\displaystyle y(t_{1})=0\ }
d
=
a
=
2
m
{\displaystyle d=a=2\ m\ }
e
v
x
(
t
1
)
=
0
{\displaystyle v_{x}(t_{1})=0\ }
v
y
(
t
1
)
=
−
b
ω
{\displaystyle v_{y}(t_{1})=-b\omega \ }
|
v
|
=
b
ω
=
0.6
m
/
s
{\displaystyle |v|=b\omega =0.6\ m/s\ }
e
a
x
(
t
1
)
=
−
a
ω
2
{\displaystyle a_{x}(t_{1})=-a\omega ^{2}\ }
a
y
(
t
1
)
=
0
{\displaystyle a_{y}(t_{1})=0\ }
|
a
|
=
a
ω
2
=
0.08
m
/
s
2
{\displaystyle |a|=a\omega ^{2}=0.08\ m/s^{2}\ }
13. Moto a spirale Modifica → Vai alla traccia
a)
t
g
=
2
π
ω
=
5.2
s
{\displaystyle t_{g}={\frac {2\pi }{\omega }}=5.2\ s\ }
quindi la distanza dal centro dopo un giro è:
d
=
y
(
t
g
)
=
A
2
π
ω
=
0.78
m
{\displaystyle d=y(t_{g})={\frac {A2\pi }{\omega }}=0.78\ m\ }
b)
Le componenti della velocità sono:
v
x
=
A
sin
ω
t
+
A
t
ω
cos
ω
t
{\displaystyle v_{x}=A\sin \omega t+At\omega \cos \omega t\ }
v
y
=
A
cos
ω
t
−
A
t
ω
sin
ω
t
{\displaystyle v_{y}=A\cos \omega t-At\omega \sin \omega t\ }
Per fare mezzo giro impiega un tempo pari a:
t
m
=
π
ω
{\displaystyle t_{m}={\frac {\pi }{\omega }}\ }
Dopo mezzo giro:
v
x
(
t
m
)
=
−
A
t
m
ω
=
−
A
π
v
y
(
t
m
)
=
−
A
{\displaystyle v_{x}(t_{m})=-At_{m}\omega =-A\pi \qquad v_{y}(t_{m})=-A\ }
Quindi
|
v
(
t
m
)
|
=
v
x
(
t
m
)
2
+
v
y
(
t
m
)
2
=
A
π
2
+
1
=
0.49
m
/
s
{\displaystyle |v(t_{m})|={\sqrt {v_{x}(t_{m})^{2}+v_{y}(t_{m})^{2}}}=A{\sqrt {\pi ^{2}+1}}=0.49\ m/s\ }
c)
La accelerazione ha componenti:
a
x
=
2
A
ω
cos
ω
t
−
A
t
ω
2
sin
ω
t
{\displaystyle a_{x}=2A\omega \cos \omega t-At\omega ^{2}\sin \omega t\ }
a
y
=
−
2
A
ω
sin
ω
t
−
A
t
ω
2
cos
ω
t
{\displaystyle a_{y}=-2A\omega \sin \omega t-At\omega ^{2}\cos \omega t\ }
Dopo un giro:
a
x
=
2
A
ω
{\displaystyle a_{x}=2A\omega \ }
a
y
=
−
A
t
g
ω
2
=
−
A
2
π
ω
{\displaystyle a_{y}=-At_{g}\omega ^{2}=-A2\pi \omega \ }
In modulo:
|
a
(
t
g
)
|
=
2
A
ω
1
+
π
2
=
1.19
m
/
s
2
{\displaystyle |a(t_{g})|=2A\omega {\sqrt {1+\pi ^{2}}}=1.19\ m/s^{2}\ }
d)
Il versore tangenziale dopo un giro è diretto come la velocità:
v
x
(
t
g
)
=
A
2
π
{\displaystyle v_{x}(t_{g})=A2\pi \ }
v
y
(
t
g
)
=
A
{\displaystyle v_{y}(t_{g})=A\ }
u
^
t
x
(
t
g
)
=
2
π
4
π
2
+
1
{\displaystyle {\hat {u}}_{tx}(t_{g})={\frac {2\pi }{\sqrt {4\pi ^{2}+1}}}\ }
u
^
t
y
(
t
g
)
=
1
4
π
2
+
1
{\displaystyle {\hat {u}}_{ty}(t_{g})={\frac {1}{\sqrt {4\pi ^{2}+1}}}\ }
a
t
(
t
g
)
=
a
x
u
^
t
x
+
a
y
u
^
t
y
=
2
A
ω
2
π
4
π
2
+
1
−
A
2
π
ω
1
4
π
2
+
1
=
2
π
A
ω
4
π
2
+
1
=
0.18
m
/
s
2
{\displaystyle a_{t}(t_{g})=a_{x}{\hat {u}}_{tx}+a_{y}{\hat {u}}_{ty}=2A\omega {\frac {2\pi }{\sqrt {4\pi ^{2}+1}}}-A2\pi \omega {\frac {1}{\sqrt {4\pi ^{2}+1}}}={\frac {2\pi A\omega }{\sqrt {4\pi ^{2}+1}}}=0.18\ m/s^{2}\ }
La componente centripeta è prevalente e vale (mettiamo il segno meno per indicare che è diretta verso il centro):
a
c
(
t
g
)
=
−
a
(
t
g
)
2
−
a
t
(
t
g
)
2
=
−
1.17
m
/
s
2
{\displaystyle a_{c}(t_{g})=-{\sqrt {a(t_{g})^{2}-a_{t}(t_{g})^{2}}}=-1.17\ m/s^{2}\ }
14. Altezza di un pozzo Modifica → Vai alla traccia
Indico con
h
{\displaystyle h\ }
t
c
{\displaystyle t_{c}\ }
t
s
{\displaystyle t_{s}\ }
Δ
t
=
t
c
+
t
s
{\displaystyle \Delta t=t_{c}+t_{s}\ }
t
s
=
Δ
t
−
t
c
{\displaystyle t_{s}=\Delta t-t_{c}\ }
Calcolo la profondità del pozzo in base all'equazione del moto
del suono (moto rettilineo uniforme):
h
=
v
s
t
s
=
v
s
Δ
t
−
v
s
t
c
{\displaystyle h=v_{s}t_{s}=v_{s}\Delta t-v_{s}t_{c}\ }
Calcolo la profondità del pozzo in base all'equazione del moto del sasso (moto uniforme accelerato):
h
=
1
2
g
t
c
2
=
1
2
g
t
c
2
{\displaystyle h={\frac {1}{2}}gt_{c}^{2}={\frac {1}{2}}gt_{c}^{2}\ }
Eguagliando le due equazioni trovate, si ha:
1
2
g
t
c
2
=
v
s
Δ
t
−
v
s
t
c
{\displaystyle {\frac {1}{2}}gt_{c}^{2}=v_{s}\Delta t-v_{s}t_{c}\ }
1
2
g
t
c
2
+
v
s
t
c
−
v
s
Δ
t
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2}}gt_{c}^{2}+v_{s}t_{c}-v_{s}\Delta t=0\ }
Che ha due soluzioni, l'unica che ha senso fisico è quella positiva (la negativa determina un tempo che precede il lancio):
t
c
=
−
v
s
+
v
s
2
+
2
v
s
Δ
t
g
g
≈
4.51
s
{\displaystyle t_{c}={\frac {-v_{s}+{\sqrt {v_{s}^{2}+2v_{s}\Delta tg}}}{g}}\approx 4.51\ s\ }
Quindi la profondità del pozzo, sostituendo il valore di
t
c
{\displaystyle t_{c}\ }
h
=
1
2
g
t
2
≈
100
m
{\displaystyle h={\frac {1}{2}}gt^{2}\approx 100\ m\ }
15. Moto con accelerazione frenante Modifica → Vai alla traccia
a) Il moto di questo punto materiale può essere considerato un moto
rettilineo smorzato esponenzialmente dato che è caratterizzato da una decelerazione che è pari a:
−
a
=
b
⋅
v
{\displaystyle -a=b\cdot v\ }
−
d
v
d
t
=
b
⋅
v
{\displaystyle -{\frac {dv}{dt}}=b\cdot v\ }
Cioè è una equazione differenziale in cui si possono separare le variabili:
d
v
v
=
−
b
d
t
{\displaystyle {\frac {dv}{v}}=-bdt\ }
Che integrata il primo membro tra
v
o
{\displaystyle v_{o}}
v
′
{\displaystyle v'}
0
{\displaystyle 0}
t
′
{\displaystyle t'}
∫
v
o
v
′
d
v
v
=
−
∫
0
t
′
b
d
t
{\displaystyle \int _{v_{o}}^{v'}{\frac {dv}{v}}=-\int _{0}^{t'}bdt\ }
ln
v
′
v
o
=
−
b
t
′
{\displaystyle \ln {\frac {v'}{v_{o}}}=-bt'\ }
Cambiando il nome alle variabili, facendo l'esponenziale dei due membri:
v
=
v
o
e
−
b
t
{\displaystyle v=v_{o}e^{-bt}\ }
Tale equazione può essere espressa come:
d
x
d
t
=
v
o
e
−
b
t
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v_{o}e^{-bt}\ }
Separando le variabili:
d
x
=
v
o
e
−
b
t
d
t
{\displaystyle dx=v_{o}e^{-bt}dt\ }
Che integrata su una distanza generica x':
∫
0
x
′
d
x
=
∫
0
t
′
v
o
e
−
b
t
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{x'}dx=\int _{0}^{t'}v_{o}e^{-bt}dt\ }
L'equazione del moto è:
x
′
=
v
o
b
(
1
−
e
−
b
t
′
)
{\displaystyle x'={\frac {v_{o}}{b}}\left(1-e^{-bt'}\right)\ }
Imponendo che
t
′
=
∞
{\displaystyle t'=\infty }
x
′
=
c
{\displaystyle x'=c}
c
=
v
o
b
{\displaystyle c={\frac {v_{o}}{b}}\ }
b
=
v
o
c
=
0.02
s
−
1
{\displaystyle b={\frac {v_{o}}{c}}=0.02\ s^{-1}\ }
Quindi l'equazione del moto è:
x
′
=
c
(
1
−
e
−
b
t
′
)
{\displaystyle x'=c\left(1-e^{-bt'}\right)\ }
Quindi dopo
t
1
=
10
s
{\displaystyle t_{1}=10\ s}
x
(
t
1
)
=
c
(
1
−
e
−
b
t
1
)
=
27
m
{\displaystyle x(t_{1})=c\left(1-e^{-bt_{1}}\right)=27\ m\ }
b)
Il legame tra la generica velocità e lo spazio eliminando il tempo dall'epressioni della velocità e dello spazio:
x
=
−
c
v
o
v
+
c
{\displaystyle x=-{\frac {c}{v_{o}}}v+c\ }
Per
x
=
c
/
2
{\displaystyle x=c/2\ }
v
=
v
o
2
=
1.5
m
/
s
{\displaystyle v={\frac {v_{o}}{2}}=1.5\ m/s\ }
16. Auto e Camion Modifica → Vai alla traccia
L'istante in cui la macchina sorpassa il camion è quando:
1
2
a
t
2
=
v
c
t
{\displaystyle {\frac {1}{2}}at^{2}=v_{c}t\ }
t
=
2
v
c
a
{\displaystyle t={\frac {2v_{c}}{a}}\ }
a)
quindi la distanza è:
d
=
v
c
t
=
2
v
c
2
a
=
81
m
{\displaystyle d=v_{c}t={\frac {2v_{c}^{2}}{a}}=81\ m\ }
b)
La velocità dell'auto in quel momento vale:
v
=
a
t
=
2
v
c
=
18.8
m
/
s
=
68
k
m
/
h
{\displaystyle v=at=2v_{c}=18.8\ m/s=68\ km/h\ }
17. Collina semisferica Modifica → Vai alla traccia
Detto
z
{\displaystyle z\ }
x
{\displaystyle x\ }
x
=
v
1
t
{\displaystyle x=v_{1}t\ }
z
=
R
−
1
2
g
t
2
{\displaystyle z=R-{\frac {1}{2}}gt^{2}\ }
a)
Quindi la traiettoria parabolica (eliminando il tempo) è descritta dalla equazione:
z
=
R
−
1
2
g
x
2
v
1
2
{\displaystyle z=R-{\frac {1}{2}}g{\frac {x^{2}}{v_{1}^{2}}}\ }
Mentre l'equazione della semisfera vale:
z
2
+
x
2
=
R
2
{\displaystyle z^{2}+x^{2}=R^{2}\ }
perché non tocchi mai occorre che:
(
R
−
1
2
g
x
2
v
1
2
)
2
+
x
2
>
R
2
{\displaystyle \left(R-{\frac {1}{2}}g{\frac {x^{2}}{v_{1}^{2}}}\right)^{2}+x^{2}>R^{2}\ }
Cioè:
R
2
−
g
x
2
R
v
1
2
+
g
2
x
4
4
v
1
4
+
x
2
>
R
2
{\displaystyle R^{2}-{\frac {gx^{2}R}{v_{1}^{2}}}+{\frac {g^{2}x^{4}}{4v_{1}^{4}}}+x^{2}>R^{2}\ }
g
2
x
4
4
v
1
4
+
x
2
>
g
x
2
R
v
1
2
{\displaystyle {\frac {g^{2}x^{4}}{4v_{1}^{4}}}+x^{2}>{\frac {gx^{2}R}{v_{1}^{2}}}\ }
La parabola ha il minimo raggio di curvatura nel punto più alto. Per cui da quel momento in poi
il raggio di curvatura aumenta. Quindi la condizione va posta per
x
→
0
{\displaystyle x\rightarrow 0\ }
v
1
2
>
g
R
{\displaystyle v_{1}^{2}>gR\ }
per cui la minima velocità vale:
v
1
=
g
R
=
9.9
m
/
s
{\displaystyle v_{1}={\sqrt {gR}}=9.9\ m/s\ }
Allo stesso risultato si arrivava imponendo che sul culmine della parabola l'unica accelerazione era quella centripeta causata dalla accelerazione di gravità: per cui si ottiene il raggio di curvatura (minimo) della parabola.
b)
Il punto in cui tocca terra è quello per cui:
0
=
R
−
g
x
1
2
2
v
1
2
=
R
−
g
x
1
2
2
g
R
{\displaystyle 0=R-g{\frac {x_{1}^{2}}{2v_{1}^{2}}}=R-g{\frac {x_{1}^{2}}{2gR}}\ }
x
1
=
2
R
{\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}R\ }
Quindi la distanza dalla base vale:
d
=
x
1
−
R
=
(
2
−
1
)
R
=
4.14
m
{\displaystyle d=x_{1}-R=({\sqrt {2}}-1)R=4.14\ m\ }
→ Vai alla traccia
L'equazioni del moto dopo avere attraversato la regione, detto
t
x
{\displaystyle t_{x}\ }
d
=
1
2
a
t
x
2
+
v
1
t
x
{\displaystyle d={\frac {1}{2}}at_{x}^{2}+v_{1}t_{x}\ }
v
2
=
a
t
x
+
v
1
{\displaystyle v_{2}=at_{x}+v_{1}\ }
Sono due equazioni in due incognite
a
{\displaystyle a\ }
t
x
{\displaystyle t_{x}\ }
a)
d
=
1
2
(
v
2
−
v
1
)
2
a
+
v
1
v
2
−
v
1
a
{\displaystyle d={\frac {1}{2}}{\frac {(v_{2}-v_{1})^{2}}{a}}+v_{1}{\frac {v_{2}-v_{1}}{a}}\ }
e quindi:
a
=
1
2
d
(
v
2
2
−
v
1
2
)
=
−
6.1
⋅
10
5
m
/
s
2
{\displaystyle a={\frac {1}{2d}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=-6.1\cdot 10^{5}\ m/s^{2}\ }
t
x
=
v
2
−
v
1
a
=
231
μ
s
{\displaystyle t_{x}={\frac {v_{2}-v_{1}}{a}}=231\ \mu s\ }
b)
La pallottola si arresta per un tempo
t
2
{\displaystyle t_{2}\ }
v
1
+
a
t
2
=
0
{\displaystyle v_{1}+at_{2}=0\ }
t
2
=
−
v
1
a
{\displaystyle t_{2}=-{\frac {v_{1}}{a}}\ }
Lo spessore che arresterebbe la pallottola vale quindi:
d
x
=
v
1
t
2
+
1
2
a
t
2
2
=
v
1
2
d
v
1
2
−
v
2
2
=
0.033
m
{\displaystyle d_{x}=v_{1}t_{2}+{\frac {1}{2}}at_{2}^{2}={\frac {v_{1}^{2}d}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}}=0.033\ m\ }
