Esercizi di fisica con soluzioni/Quantità di moto


EserciziModifica

1. Urto elasticoModifica

Un corpo di massa m1 si muove con velocità costante v0, quando urta in modo elastico un corpo di massa m2 inizialmente fermo. Calcolare le velocità v1 e 2 dei due corpi dopo l'urto approssimando alla prima cifra dopo la virgola. (se il risultato dovesse venire negativo è necessario far precedere il segno " - " prima del numero senza lasciare spazi, es:" -9 ". Il segno " + " può anche essere omesso

Questa esercitazione si divide in tre casi possibili:

  1. m1 > m2 (m1 =6kg; m2 =4kg; v0 =4m/s)
  2. m1 = m2 (m1 =5Kg; m2 =5Kg; v0 =6m/s)
  3. m1 < m2 (m1 =2Kg; m2 =8Kg; v0 =5m/s)

1 m1 > m2

v1

m/s
v2

m/s

2 m1 = m2

v1 0 m/s
v2

m/s

3 m1 < m2

v1

m/s
v2

m/s


→ Vai alla soluzione

2. EsplosioneModifica

Una massa che inizialmente presenta uno stato di quiete, esplode e si divide in due pezzi, m1= 15Kg e m2=60Kg.

Supponendo che l'energia sprigionata dall'esplosione sia 4500 J e che tutta l'energia venga trasferita a m1 e m2 sotto forma di energia cinetica, calcolare le velocità v1 e v2 delle masse dopo l'esplosione approssimate alla seconda cifra dopo la virgola.

Muovendosi in direzioni opposte, una velocità sarà negativa.

1

v1

m/s

2

v2  

m/s


→ Vai alla soluzione

3. Esplosione in quotaModifica

Un punto materiale di massa   viene lanciato lungo la verticale da una molla di costante elastica  , con la compressione iniziale   e lunghezza a riposo  . Il punto materiale si stacca quando la molla raggiunge la posizione di riposo. Raggiunta un’altezza   dalla posizione di distacco dalla molla, (ancora in fase ascendente) il punto materiale esplode in due frammenti di massa   e   come illustrato in figura. Gli angoli formati dalle direzioni delle due velocità   e   dei due frammenti subito dopo l'esplosione rispetto all'orizzontale sono  ,  .

Si chiede di calcolare (trascurando l'attrito): a) La velocità   del punto materiale subito dopo il distacco dalla molla; b)le velocità   e   dei due punti materiali subito dopo l'esplosione; c) L’altezza massima raggiunta da   rispetto alla posizione dell'esplosione; d) La distanza   rispetto alla posizione del distacco in cui   cade a terra.

→ Vai alla soluzione

4. Tre carrelliModifica

Tre carrelli di masse eguali   sono posti su una guida orizzontale senza attrito, uno dietro l'altro, e collegati mediante due corde (inestensibili). Le corde sono allentate la prima è lunga  , la seconda  . Al tempo   al primo carrello viene impartita una velocità   verso destra della figura. Notare come agiscano solo forze interne al sistema e che via via che i carrelli vengono messi in moto le corde rimangono tese. Il processo agli effetti del calcolo è simile una sequenza di urti completamente anelastici.

Determinare: a) la velocità del terzo carrello quando inizia a muoversi; b) Quando ( ) il terzo carrello comincia a muoversi; c) l'energia meccanica dissipata.

→ Vai alla soluzione

5. BombaModifica

Una bomba, inizialmente ferma, esplode in tre frammenti  ,   e   di stessa massa  . L'energia cinetica complessiva   dei tre frammenti si conosce (dal tipo di esplosivo e dalla sua quantità). Le direzioni di volo dei frammenti sono mostrate in figura, determinare il modulo della velocità di ogni frammento.

(Dati del problema  ,  )


→ Vai alla soluzione

6. AltalenaModifica

Un bambino è seduto su un'altalena di un parco giochi. Il sistema è schematizzabile come un pendolo semplice costituito da un filo inestensibile di lunghezza   al quale è applicata una massa puntiforme  . A partire dalla posizione di equilibrio (sistema fermo in verticale) l'altalena raggiunge l'angolo massimo (  rispetto alla verticale) attraverso una sequenza di   spinte eguali. Ad ogni spinta, esercitata quando la massa ha velocità istantanea nulla, nel punto più alto ogni volta raggiunto, viene fornito un impulso   che ha sempre lo stesso modulo e direzione tangente alla traiettoria della massa (arco di circonferenza).

Determinare: a) Il modulo dell'impulso   dato ad ogni spinta ; b) l'angolo massimo dell'altalena rispetto alla verticale dopo la prima spinta ; c) la tensione massima del filo che sorregge l'altalena.


→ Vai alla soluzione

7. Sbarra sospesaModifica

Una sbarretta di massa   è sospesa agli estremi da due molle eguali di costante elastica   che a causa della sospensione della sbarretta sono di lunghezza  . Un piccolo oggetto di massa   cade dall'alto da altezza   e rimbalza in maniera elastica nel centro della sbarretta. Determinare a) la lunghezza a riposo delle due molle; b) la velocità di impatto e di rimbalzo dell'oggetto di massa  ; c) la altezza a cui rimbalza; d) la velocità della sbarra subito dopo l'urto e la sua ampiezza di oscillazione.

(dati del problema  ,  ,  ,  ,  )

→ Vai alla soluzione

SoluzioniModifica

1. Urto elasticoModifica

→ Vai alla traccia

Questo esercizio può avere tre soluzioni, a seconda che la massa urtante sia uguale, maggiore o minore di quella urtata.

Prima verrà analizzata la formula generale, successivamente verranno affrontate caso per caso tutte le soluzioni.

Espressione generale

 

Possiamo dividere per m2 la prima equazione (che sicuramente sarà diversa da 0) e moltiplicare per 2 la seconda ottenendo:

 

Isolando il termine in v2 nelle due equazioni otterremo:

 

Sostituendo v2 nella seconda equazione otterremo:

 

Semplificando m1/m2 e per (v0-v1) si avrà:

 

per trovare v1

 

Per trovare v2

 

Possiamo notare che la velocità v2 avrà sempre lo stesso segno di v0, mentre invece v1 potrà assere negativa, positiva o nulla a seconda che m1 sia maggiore, minore o uguale a m2.
Analizziamo ora i casi che possiamo incontrare
m1 < m2

m1= 2Kg
m2= 8Kg
v0=5m/s
 
 

La massa m1 rimbalza dopo l'urto.
m1 > m2

m1=6Kg
m2=4Kg
v0=4m/s
 
 

La massa m1 prosegue dopo l'urto e m2 acquista una velocità maggiore di m1 prima dell'urto.
m1 = m2

m1=5Kg
m2=5Kg
v0=6m/s
 
 

La massa m1 si arresta dopo l'urto e m2 acquista una velocità UGUALE a quella di m1 prima dell'urto, cioè la quantità di moto e l'energia cinetica si trasferiscono interamente dalla massa m1 ad m2.

2. EsplosioneModifica

→ Vai alla traccia

La quantità di moto iniziale uguale a 0 perché il sistema è fermo.

L'esplosione, che una forza interna, fa sì che la quantità di moto complessiva resti nulla anche dopo l'esplosione. Se l'energia sprigionata dall'esplosione si trasforma in sola energia cinetica e i due frammenti non ruotano, possiamo scrivere due equazioni. Si noti che i due frammenti si muovono sulla stessa retta.

 

Dividendo la prima equazione per m1 e moltiplicando la seconda per 2 si ha:

 

 

 

 

 

Le velocità sono inversamente proporzionali alle masse e hanno segno opposto.

3. Esplosione in quotaModifica

→ Vai alla traccia

a)

La velocità al momento del distacco dalla molla si può calcolare utilizzando la conservazione dell’energia meccanica, ricordandosi anche del contributo dato dalla variazione dell’energia potenziale gravitazionale:

 

da cui:

 

Notiamo che con questa velocità iniziale potrebbe arrivare fino ad  , essendo:

 
 

b)

Subito prima di esplodere la velocità  , si ricava dalla conservazione dell'energia:

 
 

Poiché la divisione avviene a causa di sole forze interne si conserva la quantità di moto durante il distacco, perciò imponendo tale conservazione nella direzione orizzontale:

 

si può calcolare la relazione tra le velocità   e  :

 

Quindi dalla conservazione della quantità di moto nella direzione verticale:

 

sostituendo:

 
 
 


c)

L’altezza massima del punto   può essere calcolata applicando la conservazione dell’energia alla parte di energia cinetica dovuta alla componente verticale della velocità (che viene trasformata in energia potenziale gravitazionale):

 

da cui:

 

d)

La quota massima dista da terra:

 

Per via cinematica è invece possibile calcolare il punto di caduta di  :

 
 

Imponendo   si ricava il tempo di volo, che permette di calcolare la gittata  :

 
 

4. Tre carrelliModifica

→ Vai alla traccia

a)

La q.m. si conserva quindi quando il I filo si tende e si muove il II carrello, entrambi si muoveranno con velocità   tale che:

 
 

quando il II filo si tende e si muove il III carrello, tutti si muoveranno con velocità $v_2$ tale che:

 
 

b)

Il tempo che impiega il primo filo a tendersi vale:

 

Il tempo che impiega il secondo filo a tendersi vale:

 

Quindi in totale:

 

c)

L'energia meccanica iniziale vale:

 

Quella finale:

 

Quindi l'energia dissipata vale:

 

5. BombaModifica

→ Vai alla traccia

Dalla conservazione della quantità di moto sull'asse verticale:

 

Quindi:

 

Dalla conservazione della quantità di moto sull'asse orizzontale

 
 

Quindi:

 
 
 

6. AltalenaModifica

→ Vai alla traccia

a) In ciascuna spinta il modulo della quantità di moto della massa passa da zero a  , corrispondentemente l'energia cinetica passa da zero a:

 

L'energia meccanica totale in ogni spinta subisce il medesimo incremento  .

In totale debbo imporre che:

 

Quindi:

 

La variazione dell'energia meccanica totale dalla configurazione iniziale di equilibrio a quella corrispondente all'angolo massimo di   vale  , pertanto

 

b)

Applicando la conservazione dell'energia meccanica dopo la prima spinta, l'angolo massimo   risulta:

 

ovvero

 

c)

La massima tensione della fune viene esercitata nell'ultima oscillazione quando la massa ha la velocità massima trovandosi nel punto più basso.

 

La fune deve supportare la forza peso e fornire la necessaria ulteriore forza centripeta, pertanto:

 

7. Sbarra sospesaModifica

→ Vai alla traccia

a)

Imponendo che la sbarra sia inizialmente in equilibrio:

 

segue che:

 

b)

La velocità di impatto si ricava dalla conservazione della energia:

 
 

(segno meno in quanto diretta verso il basso).

Nell'urto si conserva la quantità di moto:

 

dove   e   sono la velocità del punto materiale e della sbarra. Ma si conserva anche l'energia:

 

Da cui:

 

c)

Quindi dopo l'urto il punto materiale rimbalza ad una altezza:

 
 

d)

Dalla conservazione della quantità di moto:

 

Quindi oscillando tutta la sua energia cinetica diventa energia potenziale (attorno ad  ) di ampiezza (le molle sono due):