1. Un elettrone in un campo magnetico Modifica
Un elettrone, accelerato da una differenza di potenziale V viene a trovarsi in un campo di
induzione magnetica
|
B
|
{\displaystyle |B|\ }
. La sua velocità forma un angolo
ϑ
{\displaystyle \vartheta \ }
con la direzione di
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {B}}\ }
. Determinare:
a) Il periodo
T
{\displaystyle T\ }
di rotazione
b) Il passo
p
{\displaystyle p\ }
(la distanza percorsa nella direzione del campo dopo ogni
giro)
c) Il raggio
r
{\displaystyle r\ }
dell'elica cilindrica descritta.
(dati del problema
V
=
100
V
{\displaystyle V=100V\ }
,
|
B
|
=
10
−
4
T
{\displaystyle |B|=10^{-4}\ T}
,
ϑ
=
π
/
3
{\displaystyle \vartheta =\pi /3}
)
→ Vai alla soluzione
2. Spira circolare Modifica
Determinare il rapporto tra il campo magnetico nel centro di
una bobina circolare di raggio
R
{\displaystyle R\ }
e quello in un punto sul suo asse a distanza
R
/
2
{\displaystyle R/2\ }
.
→ Vai alla soluzione
3. Un dipolo ruotante Modifica
Un dipolo elettrico di momento
p
{\displaystyle p\ }
è formato da due cariche separate da
una distanza
d
{\displaystyle d\ }
. Se il dipolo è posto in rotazione attorno ad un asse
ortogonale alla congiungente che dista
d
/
4
{\displaystyle d/4\ }
dalla carica negativa compiendo
n
{\displaystyle n\ }
giri al secondo.
Determinare:
a) Il momento di dipolo magnetico equivalente del sistema.
b) Il campo di induzione magnetica a
100
d
{\displaystyle 100d\ }
dal centro di
rotazione (anche solo approssimato)
sull'asse di rotazione.
c) Il campo di induzione magnetica nel centro di rotazione.
(dati del problema:
p
=
10
−
3
C
m
{\displaystyle p=10^{-3}\ Cm}
,
d
=
2
⋅
10
−
2
m
{\displaystyle d=2\cdot 10^{-2}\ m}
,
n
=
1000
{\displaystyle n=1000\ \ }
)
→ Vai alla soluzione
4. Forza tra spire Modifica
Due bobine circolari di raggio
R
=
50
c
m
{\displaystyle R=50\ cm}
, ciascuna di 10 spire, aventi lo stesso asse sono poste in piani paralleli orizzontali distanti
d
=
3
m
m
{\displaystyle d=3\ mm}
.
La spira superiore è appesa al piatto di una bilancia. Se non vi è corrente circolante la bilancia è in equilibrio. Se circola sulle sue spire una corrente di
I
=
1
A
{\displaystyle I=1\ A}
concorde per ristabilire l'equilibrio occorre aggiungere sull'altro piatto della bilancia una massa
m
{\displaystyle m\ }
da determinare.
→ Vai alla soluzione
5. Una spira quadrata Modifica
Dato un punto a distanza
α
l
{\displaystyle \alpha l\ }
sull'asse di una spira quadrata
di lato
l
{\displaystyle l\ }
percorsa da una corrente
I
{\displaystyle I\ }
. Determinare il rapporto
tra il campo magnetico generato dalla spira e quello del dipolo
magnetico equivalente. In particolare eseguire il calcolo per
α
=
2
{\displaystyle \alpha =2\ }
.
→ Vai alla soluzione
6. Un disco ruotante Modifica
Un disco conduttore di raggio
R
{\displaystyle R\ }
ruota attorno al proprio asse con
velocità angolare
ω
{\displaystyle \omega \ }
. La carica totale è
Q
{\displaystyle Q\ }
, essendo il
disco sottile, la densità di carica superficiale sopra il disco
varia con la distanza dal centro
r
{\displaystyle r\ }
con la legge:
σ
=
A
R
2
−
r
2
{\displaystyle \sigma ={\frac {A}{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}\ }
.
Determinare:
a) Il valore di
A
{\displaystyle A\ }
.
b) Il campo di induzione magnetica generato nel centro
di un anello di pari carica e raggio, ruotante alla stessa velocità
angolare.
c) Il campo di induzione magnetica nel centro del disco.
(dati del problema
Q
=
3.14
n
C
{\displaystyle Q=3.14\ nC}
,
ω
=
10
3
r
a
d
/
s
{\displaystyle \omega =10^{3}\ rad/s\ }
,
R
=
2
m
{\displaystyle R=2\ m}
)
→ Vai alla soluzione
Una spira quadrata indeformabile soggetta alla forza peso con massa
m
=
1
g
{\displaystyle m=1\ g}
e lato
a
{\displaystyle a\ }
ed un filo rettilineo infinito sono situati nel
medesimo piano verticale e percorsi dalla stessa corrente
i
{\displaystyle i\ }
. Il
filo è parallelo al lato superiore della spira, con distanza a dal lato superiore e 2a da quello inferiore. Quale deve essere il valore della corrente perché la spira si trovi in equilibrio ad una distanza
x
=
a
{\displaystyle x=a\ }
(dove
x
{\displaystyle x\ }
è la distanza dal lato più vicino alla spira al filo)
→ Vai alla soluzione
8. Dipolo magnetico e spira Modifica
Determinare il rapporto tra il campo magnetico sull'asse di una spira circolare di raggio
R
{\displaystyle R\ }
a distanza
α
R
{\displaystyle \alpha R\ }
dal centro e quello approssimato calcolato con la formula del dipolo per
α
=
0.5
{\displaystyle \alpha =0.5\ }
ed
α
=
2
{\displaystyle \alpha =2\ }
.
→ Vai alla soluzione
9. Campo magnetico terrestre Modifica
Il campo magnetico terrestre è simile a quello di un dipolo magnetico
m
{\displaystyle m\ }
disposto al centro della terra diretto da Sud a Nord. Determinare con questa ipotesi a) Il campo magnetico al polo Nord b) Il campo magnetico all'equatore c) Quale dovrebbe essere l'intensità di corrente in una spira che circondasse la terra all'equatore per annullare il campo magnetico terrestre a grande distanza.
(dati del problema:
m
=
8
⋅
10
22
A
m
2
{\displaystyle m=8\cdot 10^{22}\ Am^{2}}
, il raggio terrestre medio vale
r
T
=
6367
K
m
{\displaystyle r_{T}=6367\;Km}
)
Si ricorda che il campo di induzione magnetica di un dipolo magnetico vale:
B
→
=
μ
∘
4
π
r
5
[
3
(
m
→
⋅
r
→
)
r
→
−
r
2
m
→
]
{\displaystyle {\overrightarrow {B}}={\frac {\mu _{\circ }}{4\pi r^{5}}}\left[3({\overrightarrow {m}}\cdot {\overrightarrow {r}}){\overrightarrow {r}}-r^{2}{\overrightarrow {m}}\right]}
→ Vai alla soluzione
10. Nastro percorso da corrente Modifica
Un nastro conduttore rettilineo, di spessore trascurabile e molto lungo, ha larghezza
w
{\displaystyle w\ }
ed è percorso da una corrente
I
{\displaystyle I\ }
uniformemente distribuita sulla sezione del nastro.
Considerare un punto P sul piano del nastro distante
d
=
1.5
w
{\displaystyle d=1.5\ w}
dal centro del nastro, determinare il valore del campo magnetico generato dal nastro.
(Dati del problema
w
=
3
c
m
{\displaystyle w=3\ cm}
,
I
=
15
A
{\displaystyle I=15\ A}
)
→ Vai alla soluzione
11.Bobina di Helmholtz Modifica
Si chiamano bobine di Helmholtz due bobine circolari percorsi dalla stessa corrente, concordi coassiali
e a distanza
h
{\displaystyle h\ }
. Si determini il valore di
h
{\displaystyle h\ }
per cui la variazione del campo magnetico al centro sia minima.
Determinare il valore del campo al centro del sistema quando si ha tale minima variazione del campo. Si indica con
N
{\displaystyle N\ }
il numero di spire di ogni bobina ed
I
{\displaystyle I\ }
la corrente che le percorre.
→ Vai alla soluzione
1. Un elettrone in un campo magnetico Modifica
→ Vai alla traccia
Essendo:
1
2
m
v
2
=
e
V
{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=eV\ }
|
v
|
=
2
e
V
m
=
5.93
⋅
10
6
m
/
s
{\displaystyle |v|={\sqrt {\frac {2eV}{m}}}=5.93\cdot 10^{6}\ m/s}
quindi la componente di v nella direzione del campo vale:
v
p
a
=
|
v
|
cos
ϑ
=
2.96
⋅
10
6
m
/
s
{\displaystyle v_{pa}=|v|\cos \vartheta =2.96\cdot 10^{6}\ m/s}
mentre in quella perpendicolare vale:
v
⊥
=
|
v
|
sin
ϑ
=
5.13
⋅
10
6
m
/
s
{\displaystyle v_{\perp }=|v|\sin \vartheta =5.13\cdot 10^{6}\ m/s}
a) quindi:
T
=
2
π
m
e
|
B
|
=
358
n
s
{\displaystyle T={\frac {2\pi m}{e|B|}}=358\ ns}
b)
p
=
v
p
a
T
=
1.06
m
{\displaystyle p=v_{pa}T=1.06\ m}
c)
R
=
v
⊥
ω
=
v
⊥
2
π
T
=
0.292
m
{\displaystyle R={\frac {v_{\perp }}{\omega }}={\frac {v_{\perp }}{2\pi }}T=0.292\ m}
2. Spira circolare Modifica
→ Vai alla traccia
Il campo magnetico di una spira circolare sul proprio asse e diretta lungo l'asse ( assunto come asse delle z) e vale:
B
z
(
0
,
0
,
z
)
=
μ
∘
I
R
2
2
(
R
2
+
z
2
)
3
/
2
{\displaystyle B_{z}(0,0,z)={\frac {\mu _{\circ }IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}\ }
Non si può usare l'approssimazione del dipolo magnetico in quanto entrambi i punti sono troppo vicini alla spira, per
z
=
0
{\displaystyle z=0\ }
:
B
z
=
μ
∘
I
2
R
{\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{\circ }I}{2R}}\ }
mentre per
z
=
R
/
2
{\displaystyle z=R/2\ }
:
B
z
=
μ
∘
I
R
2
2
(
R
2
+
R
2
/
4
)
3
/
2
=
μ
∘
I
2
R
(
5
/
4
)
3
/
2
{\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{\circ }IR^{2}}{2(R^{2}+R^{2}/4)^{3/2}}}={\frac {\mu _{\circ }I}{2R(5/4)^{3/2}}}\ }
Quindi il rapporto vale:
(
5
/
4
)
3
/
2
=
1.40
{\displaystyle (5/4)^{3/2}=1.40\ }
3. Un dipolo ruotante Modifica
→ Vai alla traccia
a) Il periodo vale:
T
=
1
n
=
1
m
s
{\displaystyle T={\frac {1}{n}}=1\ ms}
Quindi la carica positiva
q
=
p
d
=
0.05
C
{\displaystyle q={\frac {p}{d}}=0.05\ C}
equivale ad una spira di raggio
3
d
/
4
{\displaystyle 3d/4\ }
percorsa da una corrente
I
=
q
T
=
n
p
d
=
50
A
{\displaystyle I={\frac {q}{T}}={\frac {np}{d}}=50\ A}
Quindi ha un momento magnetico:
m
+
=
π
(
3
d
4
)
2
I
=
3.53
×
10
−
2
A
m
2
{\displaystyle m^{+}=\pi \left({\frac {3d}{4}}\right)^{2}I=3.53\times 10^{-2}\ Am^{2}}
mentre, la carica negativa equivale ad una spira di raggio
d
/
4
{\displaystyle d/4\ }
percorsa da
una corrente di segno opposto a prima pari a:
I
=
n
p
d
{\displaystyle I={\frac {np}{d}}\ }
Quindi ha un momento magnetico:
m
−
=
−
π
(
d
4
)
2
I
=
−
3.93
×
10
−
3
A
m
2
{\displaystyle m^{-}=-\pi \left({\frac {d}{4}}\right)^{2}I=-3.93\times 10^{-3}\ Am^{2}}
Il momento magnetico totale quindi vale:
m
=
m
+
+
m
−
=
3.14
×
10
−
2
A
m
2
{\displaystyle m=m^{+}+m^{-}=3.14\times 10^{-2}\ Am^{2}}
b) Quindi a grande distanza genera un campo di induzione magnetica pari a:
B
a
=
μ
o
m
2
π
(
100
d
)
3
=
7.85
×
10
−
10
T
{\displaystyle B_{a}={\frac {\mu _{o}m}{2\pi \left(100d\right)^{3}}}=7.85\times 10^{-10}\ T}
Eguale, nei limiti della precisione del calcolo, al valore esatto:
B
=
μ
o
I
(
3
d
4
)
2
2
[
(
3
d
4
)
2
+
(
100
d
)
2
]
3
/
2
−
μ
o
I
(
d
4
)
2
2
[
(
d
4
)
2
+
(
100
d
)
2
]
3
/
2
=
7.85
×
10
−
10
T
{\displaystyle B={\frac {\mu _{o}I\left({\frac {3d}{4}}\right)^{2}}{2\left[\left({\frac {3d}{4}}\right)^{2}+\left(100d\right)^{2}\right]^{3/2}}}-{\frac {\mu _{o}I\left({\frac {d}{4}}\right)^{2}}{2\left[\left({\frac {d}{4}}\right)^{2}+\left(100d\right)^{2}\right]^{3/2}}}=7.85\times 10^{-10}\ T}
c) Al centro non si può usare l'approssimazione del dipolo, ma si deve calcolare la sovrapposizione dei campi delle due spire:
B
=
μ
o
I
2
⋅
[
1
(
3
d
4
)
−
1
(
d
4
)
]
=
−
4.19
×
10
−
3
T
{\displaystyle B={\frac {\mu _{o}I}{2}}\cdot \left[{\frac {1}{\left({\frac {3d}{4}}\right)}}-{\frac {1}{\left({\frac {d}{4}}\right)}}\right]=-4.19\times 10^{-3}\ T}
4. Forza tra spire Modifica
→ Vai alla traccia
Essendo
d
≪
R
{\displaystyle d\ll R\ }
posso considerarli come due fili paralleli indefiniti.
Tra di essi agisce una forza attrattiva di:
|
F
|
=
N
2
μ
o
2
π
d
I
2
2
π
R
=
N
2
μ
o
R
I
2
d
{\displaystyle |F|={\frac {N^{2}\mu _{o}}{2\pi d}}I^{2}2\pi R={\frac {N^{2}\mu _{o}RI^{2}}{d}}\ }
L'equilibrio viene ristabilito se:
m
g
=
μ
o
R
N
2
I
2
d
{\displaystyle mg={\frac {\mu _{o}RN^{2}I^{2}}{d}}\ }
m
=
μ
o
R
N
2
I
2
g
d
=
2.14
g
{\displaystyle m={\frac {\mu _{o}RN^{2}I^{2}}{gd}}=2.14\ g}
5. Una spira quadrata Modifica
→ Vai alla traccia
Scelto un sistema di coordinate cartesiane con centro coincidente
con l'asse della spira ed assi
x
{\displaystyle x\ }
ed
y
{\displaystyle y\ }
paralleli alle spire stesse.
Un elemento del lato di destra parallelo all'asse
y
{\displaystyle y\ }
ha coordinate
d
l
1
→
=
(
0
,
d
y
,
0
)
{\displaystyle {\vec {dl_{1}}}=(0,dy,0)\ }
è a distanza
r
→
=
(
−
l
/
2
,
y
,
α
l
)
{\displaystyle {\vec {r}}=(-l/2,y,\alpha l)\ }
dal punto sull'asse per cui:
d
l
1
→
×
r
→
=
α
l
d
y
i
→
+
l
2
d
y
k
→
{\displaystyle {\vec {dl_{1}}}\times {\vec {r}}=\alpha ldy{\vec {i}}+{\frac {l}{2}}dy{\vec {k}}\ }
Quindi la componente parallela all'asse,
l'unica esistente per ragioni di simmetria, generata da tutto il lato
vale:
B
z
1
=
μ
o
4
π
l
2
I
∫
−
l
2
l
2
d
y
[
(
l
2
)
2
+
y
2
+
(
α
l
)
2
]
3
/
2
{\displaystyle B_{z}^{1}={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}{\frac {l}{2}}I\int _{-{\frac {l}{2}}}^{\frac {l}{2}}{\frac {dy}{\left[({\frac {l}{2}})^{2}+y^{2}+(\alpha l)^{2}\right]^{3/2}}}\ }
B
z
1
=
μ
o
4
π
l
2
I
[
y
(
l
2
)
2
+
(
α
l
)
2
1
(
l
2
)
2
+
y
2
+
(
α
l
)
2
]
−
l
2
l
2
{\displaystyle B_{z}^{1}={\frac {\mu _{o}}{4\pi }}{\frac {l}{2}}I\left[{\frac {y}{({\frac {l}{2}})^{2}+(\alpha l)^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {({\frac {l}{2}})^{2}+y^{2}+(\alpha l)^{2}}}}\right]_{-{\frac {l}{2}}}^{\frac {l}{2}}\ }
Quindi per i 4 lati:
B
z
=
4
B
z
1
=
μ
o
2
π
l
I
4
2
(
1
+
4
α
2
)
1
+
2
α
2
{\displaystyle B_{z}=4B_{z}^{1}={\frac {\mu _{o}}{2\pi l}}I{\frac {4{\sqrt {2}}}{(1+4\alpha ^{2}){\sqrt {1+2\alpha ^{2}}}}}\ }
Mentre il campo generato sull'asse del dipolo equivalente
vale:
B
d
z
=
μ
o
2
π
I
l
2
α
3
l
3
=
μ
o
2
π
I
α
3
l
{\displaystyle B_{dz}={\frac {\mu _{o}}{2\pi }}{\frac {Il^{2}}{\alpha ^{3}l^{3}}}={\frac {\mu _{o}}{2\pi }}{\frac {I}{\alpha ^{3}l}}\ }
Quindi il loro rapporto vale:
R
=
B
z
B
d
z
=
4
α
3
2
(
1
+
4
α
2
)
1
+
2
α
2
{\displaystyle R={\frac {B_{z}}{B_{dz}}}={\frac {4\alpha ^{3}{\sqrt {2}}}{(1+4\alpha ^{2}){\sqrt {1+2\alpha ^{2}}}}}\ }
In particolare per
α
=
2
{\displaystyle \alpha =2\ }
vale;
R
=
0.89
{\displaystyle R=0.89\ }
6. Un disco ruotante Modifica
→ Vai alla traccia
a)
Q
=
∫
0
R
A
2
π
r
d
r
R
2
−
r
2
=
2
π
A
R
{\displaystyle Q=\int _{0}^{R}{\frac {A2\pi rdr}{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}=2\pi AR\ }
A
=
Q
2
π
R
=
2.5
×
10
−
10
C
/
m
{\displaystyle A={\frac {Q}{2\pi R}}=2.5\times 10^{-10}\ C/m}
b) Nel caso dell'anello
I
=
Q
T
=
Q
2
π
ω
{\displaystyle I={\frac {Q}{T}}={\frac {Q}{2\pi }}\omega \ }
B
z
=
μ
o
I
2
R
=
μ
o
Q
ω
4
π
R
=
1.57
×
10
−
13
T
{\displaystyle B_{z}=\mu _{o}{\frac {I}{2R}}=\mu _{o}{\frac {Q\omega }{4\pi R}}=1.57\times 10^{-13}\ T\ }
c) Nel caso del disco, consideriamo una generica corona circolare di spessore
infinitesimo
d
r
{\displaystyle dr\ }
:
d
Q
=
σ
2
π
r
d
r
{\displaystyle dQ=\sigma 2\pi rdr\ }
d
I
=
d
Q
2
π
ω
=
σ
2
π
r
d
r
ω
2
π
=
A
R
2
−
r
2
r
d
r
ω
{\displaystyle dI={\frac {dQ}{2\pi }}\omega ={\frac {\sigma 2\pi rdr\omega }{2\pi }}={\frac {A}{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}rdr\omega \ }
d
B
z
=
μ
o
d
I
2
r
=
μ
o
A
d
r
ω
2
R
2
−
r
2
=
μ
o
Q
ω
d
r
4
π
R
R
2
−
r
2
{\displaystyle dB_{z}=\mu _{o}{\frac {dI}{2r}}=\mu _{o}{\frac {Adr\omega }{2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}}=\mu _{o}{\frac {Q\omega dr}{4\pi R{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}}\ }
quindi:
B
z
=
μ
o
∫
0
R
Q
ω
d
r
4
π
R
R
2
−
r
2
=
μ
o
Q
ω
4
π
R
[
arcsin
r
R
]
0
R
=
μ
o
Q
ω
8
R
=
2.5
×
10
−
13
T
{\displaystyle B_{z}=\mu _{o}\int _{0}^{R}{\frac {Q\omega dr}{4\pi R{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}}={\frac {\mu _{o}Q\omega }{4\pi R}}\left[\arcsin {\frac {r}{R}}\right]_{0}^{R}={\frac {\mu _{o}Q\omega }{8R}}=2.5\times 10^{-13}\ T}
→ Vai alla traccia
Il campo generato dal filo vale, nel lato superiore in modulo:
B
1
=
μ
o
2
π
1
x
{\displaystyle B_{1}={\frac {\mu _{o}}{2\pi }}{\frac {1}{x}}}
in quello inferiore sempre in modulo:
B
2
=
μ
o
2
π
1
x
+
a
{\displaystyle B_{2}={\frac {\mu _{o}}{2\pi }}{\frac {1}{x+a}}\ }
La corrente sulla spira deve essere tale da essere concorde sul lato superiore a quella del filo.
Le forze agenti sui lati verticali della spira sono opposte e contrarie, per
cui la risultante è nulla, mentre sul lato superiore agisce
una forza diretta come la verticale in modulo eguale a:
F
1
=
μ
o
i
2
a
2
π
x
{\displaystyle F_{1}={\frac {\mu _{o}i^{2}a}{2\pi x}}\ }
sul lato inferiore in senso opposto e in modulo:
F
2
=
μ
o
i
2
a
2
π
(
x
+
a
)
{\displaystyle F_{2}={\frac {\mu _{o}i^{2}a}{2\pi (x+a)}}\ }
imponendo quindi che:
F
1
−
F
2
=
m
g
{\displaystyle F_{1}-F_{2}=mg\ }
μ
o
i
2
4
π
=
m
g
{\displaystyle {\frac {\mu _{o}i^{2}}{4\pi }}=mg\ }
i
=
4
π
m
g
μ
o
=
313
A
{\displaystyle i={\sqrt {\frac {4\pi mg}{\mu _{o}}}}=313\ A}
8. Dipolo magnetico e spira Modifica
→ Vai alla traccia
Il campo di una spira sul suo asse vale:
|
B
|
e
s
a
t
t
o
=
μ
o
I
R
2
2
(
R
2
+
z
2
)
3
/
2
=
μ
o
I
R
2
2
(
R
2
+
α
2
R
2
)
3
/
2
=
μ
o
I
2
R
(
1
+
α
2
)
3
/
2
{\displaystyle |B|_{esatto}={\frac {\mu _{o}IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}={\frac {\mu _{o}IR^{2}}{2(R^{2}+\alpha ^{2}R^{2})^{3/2}}}={\frac {\mu _{o}I}{2R(1+\alpha ^{2})^{3/2}}}}
La spira è un dipolo di momento:
|
m
|
=
I
π
R
2
{\displaystyle |m|=I\pi R^{2}}
Mentre la formula del dipolo:
B
→
=
μ
o
4
π
r
5
[
3
(
m
→
⋅
r
→
)
r
→
−
r
2
m
→
]
{\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{o}}{4\pi r^{5}}}\left[3({\vec {m}}\cdot {\vec {r}}){\vec {r}}-r^{2}{\vec {m}}\right]}
che lungo l'asse diventa:
B
→
=
μ
o
2
π
r
3
m
→
=
μ
o
2
π
α
3
R
3
m
→
{\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{o}}{2\pi r^{3}}}{\vec {m}}={\frac {\mu _{o}}{2\pi \alpha ^{3}R^{3}}}{\vec {m}}}
|
B
|
a
p
p
r
o
s
s
=
μ
o
2
α
3
R
I
{\displaystyle |B|_{appross}={\frac {\mu _{o}}{2\alpha ^{3}R}}I}
Il loro rapporto vale:
R
a
p
p
=
|
B
|
e
s
a
t
t
o
/
|
B
|
a
p
p
r
o
s
s
=
α
3
(
1
+
α
2
)
3
/
2
{\displaystyle Rapp=|B|_{esatto}/|B|_{appross}={\frac {\alpha ^{3}}{(1+\alpha ^{2})^{3/2}}}}
R
a
p
p
(
α
=
0.5
)
=
0.089
{\displaystyle Rapp(\alpha =0.5)=0.089}
R
a
p
p
(
α
=
2
)
=
0.72
{\displaystyle Rapp(\alpha =2)=0.72}
9. Campo magnetico terrestre Modifica
→ Vai alla traccia
a)
In questo al polo Nord:
B
z
=
μ
∘
|
m
|
2
π
r
T
3
=
62
μ
T
{\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{\circ }|m|}{2\pi r_{T}^{3}}}=62\mu T}
b)
Mentre all'equatore:
B
z
=
−
μ
∘
|
m
|
4
π
r
T
3
=
−
31
μ
T
{\displaystyle B_{z}=-{\frac {\mu _{\circ }|m|}{4\pi r_{T}^{3}}}=-31\mu T}
c)
Nella spira dovrà circolare una corrente oraria e imponendo che il
momento di dipolo magnetico sia eguale a quello della terra:
I
π
r
T
2
=
m
{\displaystyle I\pi r_{T}^{2}=m}
da cui segue che:
I
=
m
π
r
2
=
0.62
⋅
10
9
A
{\displaystyle I={\frac {m}{\pi r^{2}}}=0.62\cdot 10^{9}\ A}
10. Nastro percorso da corrente Modifica
→ Vai alla traccia
Se dividiamo il nastro in strisce sottili di larghezza
d
x
{\displaystyle dx\ }
percorse da una corrente:
d
I
=
I
d
x
w
{\displaystyle dI=I{\frac {dx}{w}}\ }
Il campo di induzione magnetica, entrante nel piano della figura, generato nel punto
P
{\displaystyle P}
sarà pari a:
|
d
B
|
=
μ
o
2
π
x
d
I
=
μ
o
2
π
x
I
d
x
w
{\displaystyle |dB|={\frac {\mu _{o}}{2\pi x}}dI={\frac {\mu _{o}}{2\pi x}}I{\frac {dx}{w}}\ }
per cui il campo globalmente generato vale:
|
B
|
=
∫
d
−
w
/
2
d
+
w
/
2
|
d
B
|
=
μ
o
I
2
π
w
∫
d
−
w
/
2
d
+
w
/
2
d
x
x
=
μ
o
I
2
π
w
ln
d
+
w
/
2
d
−
w
/
2
=
μ
o
I
2
π
w
ln
2
=
6.9
⋅
10
−
5
T
{\displaystyle |B|=\int _{d-w/2}^{d+w/2}|dB|={\frac {\mu _{o}I}{2\pi w}}\int _{d-w/2}^{d+w/2}{\frac {dx}{x}}={\frac {\mu _{o}I}{2\pi w}}\ln {\frac {d+w/2}{d-w/2}}={\frac {\mu _{o}I}{2\pi w}}\ln 2=6.9\cdot 10^{-5}\ T}
non molto differente da quello approssimato:
B
a
=
μ
o
2
π
d
I
=
μ
o
2
π
1.5
w
I
=
6.7
⋅
10
−
5
T
{\displaystyle B_{a}={\frac {\mu _{o}}{2\pi d}}I={\frac {\mu _{o}}{2\pi 1.5w}}I=6.7\cdot 10^{-5}\ T\ }
11.Bobina di Helmholtz Modifica
→ Vai alla traccia
Scelta come origine delle coordinate il centro del sistema, detta
z
{\displaystyle z\ }
la coordinata lungo l'asse
delle bobine il campo generato in un generico punto sull'asse vale (la combinazione dei campi generati da due spire circolari):
B
z
=
μ
o
I
N
R
2
2
{
1
[
R
2
+
(
z
−
h
/
2
)
2
]
3
/
2
+
1
[
R
2
+
(
z
+
h
/
2
)
2
]
3
/
2
}
{\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{o}INR^{2}}{2}}\left\{{\frac {1}{[R^{2}+(z-h/2)^{2}]^{3/2}}}+{\frac {1}{[R^{2}+(z+h/2)^{2}]^{3/2}}}\right\}\ }
Se facciamo la derivata rispetto alla distanza tra le spire:
∂
B
z
∂
h
=
μ
o
I
N
R
2
2
{
−
3
(
z
−
h
/
2
)
[
R
2
+
(
z
−
h
/
2
)
2
]
5
/
2
−
3
(
z
+
h
/
2
)
[
R
2
+
(
z
+
h
/
2
)
2
]
5
/
2
}
{\displaystyle {\frac {\partial B_{z}}{\partial h}}={\frac {\mu _{o}INR^{2}}{2}}\left\{-{\frac {3(z-h/2)}{[R^{2}+(z-h/2)^{2}]^{5/2}}}-{\frac {3(z+h/2)}{[R^{2}+(z+h/2)^{2}]^{5/2}}}\right\}\ }
Tale derivata è nulla sempre per
z
=
0
{\displaystyle z=0\ }
in quanto al centro si ha un massimo o un minimo o un flesso.
Cioè se
h
≪
R
{\displaystyle h\ll R\ }
mi aspetto un massimo al centro, se
h
≫
R
{\displaystyle h\gg R\ }
mi aspetto un minimo, quello che voglio trovare quando si ha un flesso (passaggio dal massimo al minimo).
Si ha un flesso quando anche la derivata seconda è nulla al centro, la derivata seconda è:
∂
2
B
z
∂
h
2
=
μ
o
I
N
R
2
2
{
−
3
[
R
2
+
(
z
−
h
/
2
)
2
]
5
/
2
+
15
(
z
−
h
/
2
)
2
[
R
2
+
(
z
−
h
/
2
)
2
]
7
/
2
−
3
[
R
2
+
(
z
+
h
/
2
)
2
]
5
/
2
+
15
(
z
+
h
/
2
)
2
[
R
2
+
(
z
+
h
/
2
)
2
]
7
/
2
}
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial h^{2}}}={\frac {\mu _{o}INR^{2}}{2}}\left\{-{\frac {3}{[R^{2}+(z-h/2)^{2}]^{5/2}}}+{\frac {15(z-h/2)^{2}}{[R^{2}+(z-h/2)^{2}]^{7/2}}}-{\frac {3}{[R^{2}+(z+h/2)^{2}]^{5/2}}}+{\frac {15(z+h/2)^{2}}{[R^{2}+(z+h/2)^{2}]^{7/2}}}\right\}}
E per
z
=
0
{\displaystyle z=0\ }
(al centro) si riduce a :
∂
2
B
z
∂
h
2
|
z
=
0
=
μ
o
I
N
R
2
2
{
−
6
[
R
2
+
h
2
/
4
]
5
/
2
+
30
h
2
/
4
[
R
2
+
h
2
/
4
]
7
/
2
}
=
μ
o
I
N
R
2
2
−
6
R
2
+
6
h
2
(
R
2
+
h
2
/
4
)
7
/
2
{\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial h^{2}}}\right|_{z=0}={\frac {\mu _{o}INR^{2}}{2}}\left\{-{\frac {6}{[R^{2}+h^{2}/4]^{5/2}}}+{\frac {30h^{2}/4}{[R^{2}+h^{2}/4]^{7/2}}}\right\}={\frac {\mu _{o}INR^{2}}{2}}{\frac {-6R^{2}+6h^{2}}{(R^{2}+h^{2}/4)^{7/2}}}\ }
che quindi si annulla quando:
−
6
R
2
+
6
h
2
=
0
{\displaystyle -6R^{2}+6h^{2}=0\ }
cioè si ha minima variazione del campo se la distanza delle bobine è pari al raggio:
h
=
R
{\displaystyle h=R\ }
Nella figura è rappresentata la funzione:
B
z
=
μ
o
I
N
2
R
{
1
[
1
+
(
z
/
R
−
1
/
2
)
2
]
3
/
2
+
1
[
1
+
(
z
/
R
+
1
/
2
)
2
]
3
/
2
}
=
{\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{o}IN}{2R}}\left\{{\frac {1}{[1+(z/R-1/2)^{2}]^{3/2}}}+{\frac {1}{[1+(z/R+1/2)^{2}]^{3/2}}}\right\}=\ }
In particolare il campo vale al centro quindi:
B
z
(
z
=
0
)
=
(
4
5
)
3
/
2
μ
0
N
I
R
{\displaystyle B_{z}(z=0)={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}NI}{R}}\ }